6.3 Sannsynlighet - introduksjon | Matematikk 8. klasse

Grunnleggende sannsynlighetsregning og eksperimenter.

45 min

12 oppgaver

SannsynlighetUtfallGunstige utfallEksperimenterSimuleringPython

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kva er sannsyn?

Sannsyn er eit mål på kor sannsynleg det er at noko skjer. Sannsynet er alltid eit tal mellom 0 og 1.

- P = 0: Umogleg
- P = 1: Sikkert

Grunnleggjande omgrep

- Utfall : Eit mogleg resultat av eit forsøk - Utfallsrom : Mengda av alle moglege utfall - Hending : Ei samling av utfall - Gunstige utfall : Utfall som gir den hendinga vi ser på

Sannsyn ved like sannsynlege utfall

P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}

✏️Eksempel 1

Vi kastar ein vanleg terning. Finn sannsynet for å få:

a) 4
b) Eit partal
c) Eit tal større enn 4

Løysing:

Utfallsrommet er {1, 2, 3, 4, 5, 6} (6 moglege utfall)

a) Gunstige utfall: {4} (1 utfall)
$\displaystyle P(4) = \frac{1}{6}$

b) Partal: {2, 4, 6} (3 utfall)
$\displaystyle P(\text{partall}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

c) Større enn 4: {5, 6} (2 utfall)
$\displaystyle P(>4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

📝Oppgave 1

Du kastar ein vanleg terning. Finn sannsynet for å få:

Eit oddetal (1, 3 eller 5)

Eit tal mindre enn 3

Eit tal frå 1 til 6

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2

I ein pose er det 3 raude, 5 blå og 2 grøne kuler. Du trekkjer éi kule tilfeldig. Finn sannsynet for å trekkje:

a) Ei raud kule
b) Ei blå kule
c) Ei kule som ikkje er grøn

Løysing:

Totalt tal på kuler: $3 + 5 + 2 = 10$

a) $\displaystyle P(\text{rød}) = \frac{3}{10}$

b) $\displaystyle P(\text{blå}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

c) Ikkje grøn = raud eller blå = $3 + 5 = 8$ kuler
$\displaystyle P(\text{ikke grønn}) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

📝Oppgave 2

I ein pose er det 4 raude, 6 blå og 5 kvite kuler. Finn sannsynet for å trekkje:

Ei raud kule

Ei kvit kule

Ei kule som ikkje er blå

Ei raud eller blå kule

Løs oppgaven Tren

Komplementærhending

Komplementet til ei hending A er hendinga "ikkje A".

$P(\text{ikke } A) = 1 - P(A)$

Dette er nyttig når det er enklare å rekne ut sannsynet for det motsette.

✏️Eksempel 3

Sannsynet for at det regnar i morgon er 0,3. Kva er sannsynet for at det ikkje regnar?

Løysing:

$P(\text{ikke regn}) = 1 - P(\text{regn}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$

Det er 70% sjanse for at det ikkje regnar.

📝Oppgave 3

Bruk komplementregelen

P(A) = 0{,}4

. Finn

P(\text{ikke } A)

P(\text{vinne}) = 0{,}15

. Finn

P(\text{tape})

P(\text{bestå}) = 0{,}8

. Finn

P(\text{stryke})

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4

Du kastar ein mynt to gonger. List opp utfallsrommet og finn sannsynet for å få:

a) To krone
b) Minst éin mynt

Løysing:

Utfallsrom: {KK, KM, MK, MM} (4 utfall)

a) To krone: {KK} (1 utfall)
$\displaystyle P(\text{KK}) = \frac{1}{4}$

b) Minst éin mynt: {KM, MK, MM} (3 utfall)
$\displaystyle P(\text{minst én M}) = \frac{3}{4}$

(Eller: $\displaystyle P = 1 - P(\text{KK}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ )

📝Oppgave 4

Du kastar ein mynt tre gonger. Utfallsrom: {KKK, KKM, KMK, KMM, MKK, MKM, MMK, MMM}. Finn sannsynet for:

Tre krone

Nøyaktig éin mynt

Minst to mynt

Ingen mynt

Løs oppgaven Tren

Utforske sannsyn med programmering

Vi kan bruke Python til å simulere tilfeldige forsøk mange gonger. Ved å gjenta eit forsøk tusenvis av gonger kan vi sjekke om det teoretiske sannsynet stemmer med det vi observerer.

Python har ein modul som heiter random som kan generere tilfeldige tal.

✏️Eksempel: Simulere terningkast

Skriv eit Python-program som kastar ein terning 10 000 gonger og tel kor ofte vi får ein seksar.

import random

antall_kast = 10000
antall_seksere = 0

for i in range(antall_kast):
    kast = random.randint(1, 6)
    if kast == 6:
        antall_seksere += 1

relativ_frekvens = antall_seksere / antall_kast
print(f'Antall seksere: {antall_seksere}')
print(f'Relativ frekvens: {relativ_frekvens:.4f}')
print(f'Teoretisk sannsynlighet: {1/6:.4f}')

Når vi køyrer programmet, får vi ein relativ frekvens nær $\displaystyle \frac{1}{6} \approx 0{,}1667$ . Jo fleire kast vi gjer, dess nærare kjem vi det teoretiske sannsynet. Dette kallast dei store tals lov.

📝Oppgave 5

Programmering med sannsyn

Skriv eit program som simulerer å kaste to terningar 10 000 gonger og tel kor ofte summen blir 7.

Endre programmet slik at det tel alle moglege summar (2-12) og skriv ut frekvensen for kvar.

Køyr programmet og samanlikn med dei teoretiske sannsyna frå oppgåvene tidlegare i kapittelet. Kva observerer du?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Sannsyn: Eit tal mellom $0$ (umogleg) og $1$ (sikkert) som beskriv sjansen for ei hending
- Utfallsrom: Mengda av alle moglege utfall i eit forsøk
- Rekne ut sannsyn: $\displaystyle P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}$
- Komplementærhending: $P(\text{ikke } A) = 1 - P(A)$
- Samansette forsøk: List opp alle utfall systematisk (f.eks. mynt kasta fleire gonger)
- Simulering med programmering: Bruke Python og random-modulen til å simulere tilfeldige forsøk og samanlikne relativ frekvens med teoretisk sannsyn

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Sannsyn	Mål på sjansen for at noko skjer ( $0$ til $1$ )
Utfall	Eitt mogleg resultat av eit forsøk
Utfallsrom	Alle moglege utfall samla
Hending	Ei samling av utfall vi er interesserte i
Gunstige utfall	Utfall som gir hendinga vi ser på
Komplementhending	Det motsette av hendinga — «ikkje A»
Simulering	Gjenta eit forsøk mange gonger med programmering
Relativ frekvens	Delen gonger ei hending inntreff i simuleringa
Dei store tals lov	Jo fleire forsøk, dess nærare kjem relativ frekvens det teoretiske sannsynet

Viktige formlar

\displaystyle P(A) = \frac{\text{gunstige utfall}}{\text{mulige utfall}}

P(\text{ikke } A) = 1 - P(A)

0 \leq P(A) \leq 1

- Relativ frekvens

\displaystyle = \frac{\text{antall treff}}{\text{antall forsøk}}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.