6.3 Sannsynlighet - introduksjon

Kan vi måle usikkerhet?

Livet er fullt av ting vi ikke vet sikkert. Vil det regne i morgen? Kommer du til å kaste en sekser? Vinner laget ditt neste kamp? Vi snakker ofte om sjanse og flaks, men visste du at matematikken har presise verktøy for å måle usikkerhet?

Sannsynlighet er et tall som forteller oss hvor sannsynlig noe er. Det er et tall mellom $0$ og $1$:
- $0$ betyr umulig (det kan aldri skje)
- $1$ betyr sikkert (det vil alltid skje)
- Alt mellom $0$ og $1$ er ulike grader av usikkerhet

Vi kan også uttrykke sannsynlighet som prosent mellom $0\,\%$ og $100\,\%$.

For eksempel: Sannsynligheten for å få krone med en rettferdig mynt er $\displaystyle \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%$. Det betyr ikke at annethvert kast gir krone -- men over mange kast vil omtrent halvparten være krone.

Utfall og utfallsrom

Når vi gjør et forsøk (for eksempel kaster en terning), kaller vi de mulige resultatene for utfall. Mengden av alle mulige utfall kalles utfallsrommet.

Eksempel 1: Terningkast
Utfallsrommet er $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ -- seks mulige utfall.

Eksempel 2: Myntkast
Utfallsrommet er $\{\text{krone, mynt}\}$ -- to mulige utfall.

Eksempel 3: Trekke et kort fra en kortstokk
Utfallsrommet har $52$ mulige utfall (alle kortene).

En hendelse er noe vi er interessert i -- for eksempel «kaste en sekser» eller «trekke et hjerterkort». En hendelse er en delmengde av utfallsrommet.

Hendelsen «kaste et partall» med en terning består av utfallene $\{2, 4, 6\}$ -- tre av seks mulige utfall. Hendelsen «kaste et tall større enn $4$» består av $\{5, 6\}$ -- to av seks mulige utfall.

Beregne sannsynlighet

Når alle utfall er like sannsynlige (som med en rettferdig terning eller mynt), kan vi beregne sannsynligheten med denne formelen:

$$P(\text{hendelse}) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}$$

$P$ står for «probability» (sannsynlighet på engelsk). «Gunstige utfall» er de utfallene som gjør at hendelsen inntreffer.

Eksempel 1: Sannsynligheten for å kaste en sekser med en terning:
$$P(\text{sekser}) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167 = 16{,}7\,\%$$

Det er $1$ gunstig utfall (sekser) av $6$ mulige.

Eksempel 2: Sannsynligheten for å kaste et partall:
$$P(\text{partall}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%$$

Det er $3$ gunstige utfall ($2, 4, 6$) av $6$ mulige.

Eksempel 3: En pose inneholder $4$ røde, $3$ blå og $2$ grønne kuler ($9$ totalt). Sannsynligheten for å trekke en rød kule:
$$P(\text{rød}) = \frac{4}{9} \approx 0{,}44 = 44\,\%$$

Viktig: Formelen gjelder bare når alle utfall er like sannsynlige! En skjev terning eller en lastet mynt har ikke like sannsynlige utfall.

Komplementærhendelsen

Noen ganger er det lettere å beregne sannsynligheten for at noe ikke skjer. Komplementærhendelsen til en hendelse $A$ er det motsatte -- alt som ikke er $A$.

$$P(\text{ikke } A) = 1 - P(A)$$

Eksempel 1: Sannsynligheten for å ikke kaste en sekser:
$$P(\text{ikke sekser}) = 1 - P(\text{sekser}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$$

Eksempel 2: I en bolle med $10$ frukter er $3$ epler. Sannsynligheten for å trekke noe annet enn et eple:
$$P(\text{ikke eple}) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$$

Komplementregelen er spesielt nyttig når det er mange gunstige utfall for det du ikke vil beregne. I stedet for å telle alle de gunstige utfallene for en komplisert hendelse, kan du noen ganger enklere beregne det motsatte og trekke fra.

Legg merke til at $P(A) + P(\text{ikke } A) = 1$ alltid. Det betyr at sannsynligheten for at noe skjer pluss sannsynligheten for at det ikke skjer, alltid summerer til $1$ ($100\,\%$). Det gir mening -- enten skjer det, eller så skjer det ikke!

Eksperiment og relativ frekvens

Noen ganger vet vi ikke den teoretiske sannsynligheten. Hva er sannsynligheten for at en brødskive lander med smørsiden ned? For at du treffer blink i dart? Her finnes det ingen formel -- men vi kan eksperimentere.

Hvis du gjør et forsøk mange ganger, kan du estimere sannsynligheten ved hjelp av relativ frekvens:

$$\text{Relativ frekvens} = \frac{\text{antall ganger hendelsen inntreffer}}{\text{totalt antall forsøk}}$$

Eksempel: Du kaster en mynt $50$ ganger og får krone $28$ ganger.

$$\text{Relativ frekvens for krone} = \frac{28}{50} = 0{,}56 = 56\,\%$$

Det er litt mer enn $50\,\%$, men det er normalt med så få forsøk. Jo flere ganger du kaster, jo nærmere vil den relative frekvensen komme den sanne sannsynligheten ($50\,\%$). Med $1000$ kast ville du sannsynligvis fått et resultat nærmere $50\,\%$.

Dette prinsippet kalles de store talls lov: med mange forsøk nærmer den relative frekvensen seg den sanne sannsynligheten.

Du kan også bruke programmering for å simulere mange forsøk raskt! En datamaskin kan «kaste en terning» tusenvis av ganger på under et sekund og beregne den relative frekvensen.

Oppsummering

Sannsynlighet er et tall mellom $0$ (umulig) og $1$ (sikkert) som beskriver hvor sannsynlig en hendelse er.

Utfallsrommet er mengden av alle mulige utfall. En hendelse er en delmengde av utfallsrommet.

Når alle utfall er like sannsynlige:
$$P(\text{hendelse}) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}$$

Komplementregelen:
$$P(\text{ikke } A) = 1 - P(A)$$

Relativ frekvens estimerer sannsynligheten basert på eksperimenter:
$$\text{Relativ frekvens} = \frac{\text{antall ganger hendelsen inntreffer}}{\text{totalt antall forsøk}}$$

De store talls lov: Jo flere forsøk du gjør, jo nærmere kommer den relative frekvensen den sanne sannsynligheten.

Sannsynlighet gir oss et presist språk for å snakke om usikkerhet -- fra terningkast til værmeldinger!