3.3 Pytagoras og trigonometri | Matematikk 2P-Y

Pytagoras' setning

I ein rettvinkla trekant gjeld:

$a^2 + b^2 = c^2$

Der $c$ er hypotenusen (lengste sida, motståande den rette vinkelen) og $a$ og $b$ er katetane.

Dette blir brukt til å finne ukjende lengder i rettvinkla trekantar.

✏️Eksempel 1: Stige mot vegg

Ein stige på 6 m lener mot ein vegg. Foten av stigen står 2 m frå veggen.

a) Kor høgt opp på veggen rekk stigen?
b) Kva er vinkelen mellom stigen og bakken?

Løysing:

a) Bruker Pytagoras:
$a^2 + b^2 = c^2$
$2^2 + h^2 = 6^2$
$4 + h^2 = 36$
$h^2 = 32$
$h = \sqrt{32} \approx 5{,}66 \text{ m}$

b) Bruker cosinus:
$\cos(v) = \frac{\text{hosliggande}}{\text{hypotenus}} = \frac{2}{6} = 0{,}333$
$v = \cos^{-1}(0{,}333) \approx 70{,}5°$

📊Utforsk: Stige mot vegg

Trekanten viser ein stige som står 1,5 m frå veggen og når 4 m opp. Stigen (hypotenusen) er $\sqrt{1{,}5^2 + 4^2} \approx 4{,}3$ m, og vinkelen $\alpha$ mot bakken blir vist i figuren. Dra i toppunktet og sjå korleis stigelengd og vinkel endrar seg.

Trigonometriske forhold

v

📝Oppgave 3.9

Ein tømrar skal byggje eit skråtak. Taket har ei spennvidd på 8 m og takvinkel på 30°.

a) Kor høgt blir mønet (høgaste punkt) over ytterveggen?
b) Kor langt blir takflata frå ytterkant til møne?

Mønehøgd

Takflate

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.10

Ein elektrikar skal trekkje kabel diagonalt gjennom eit rom. Rommet er 4,5 m langt og 3,2 m breitt.

a) Kor lang må kabelen vere for å gå diagonalt langs golvet?
b) Dersom kabelen òg skal gå opp til taket (2,8 m høgt) i motsett hjørne, kor lang blir han totalt?

Diagonal langs golv

Romdiagonal

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.11

Ei rampe for rullestol skal ha maksimalt 8 % stigning (8 cm høgd per 100 cm lengd).

a) Kva er vinkelen til ei rampe med 8 % stigning?
b) Dersom rampa skal nå opp til ei høgd på 60 cm, kor lang må den horisontale lengda vere?
c) Kor lang blir sjølve rampa (skrålengda)?

Vinkel

Horisontal lengd

Skrålengd

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.12

Ein kranførar skal løfte ei last opp til 5. etasje. Krana står 12 m frå bygningen. Høgda til 5. etasje er 16 m over bakken.

a) Kor langt må utliggjaren til krana rekkje (minimum)?
b) Kva vinkel har utliggjaren med horisontalplanet?
c) Dersom krana må stå 18 m frå bygningen (pga. tre), kor lang må utliggjaren vere då?
d) Kva blir vinkelen i dette tilfellet?

Utliggjarlengd (12 m)

Vinkel (12 m)

Utliggjarlengd (18 m)

Vinkel (18 m)

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Pytagoras' setning: I ein rettvinkla trekant er $a^2 + b^2 = c^2$ , der $c$ er hypotenusen.
- Setninga kan brukast begge vegar: til å finne ei ukjend side, og til å sjekke om ein vinkel er rett (snikkartrikset 3-4-5).
- Trigonometri i rettvinkla trekant: $\sin v = \dfrac{\text{motståande}}{\text{hypotenus}}$ , $\cos v = \dfrac{\text{hosliggande}}{\text{hypotenus}}$ , $\tan v = \dfrac{\text{motståande}}{\text{hosliggande}}$ .
- Vinklar finn du med dei inverse funksjonane ( $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ , $\tan^{-1}$ ) på kalkulatoren.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Hypotenus	Den lengste sida, motsett den rette vinkelen
Katet	Kvar av dei to sidene som dannar den rette vinkelen
$\sin$ , $\cos$ , $\tan$	Forhold mellom sider i rettvinkla trekant

Viktige formlar

a^2 + b^2 = c^2

\tan v = \dfrac{\text{motståande}}{\text{hosliggande}}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver