3.3 Pytagoras og trigonometri

Stigen mot veggen

Taktekkeren Jonas setter stigen sin mot husveggen. Stigen er 6 m lang, og av sikkerhetshensyn plasserer han foten 2 m fra veggen. Men før han klatrer, vil han vite to ting: Hvor høyt opp på veggen rekker stigen? Og er vinkelen mot bakken bratt nok til å være trygg?

Begge svarene ligger gjemt i en figur du møter overalt i praktiske yrker: den rettvinklede trekanten. Veggen står vinkelrett på bakken, stigen danner skråsiden, og dermed har vi en trekant med én vinkel på nøyaktig 90 grader.

To matematiske verktøy låser opp alt en slik trekant kan fortelle. Pytagoras' setning kobler de tre sidelengdene sammen, slik at du kan finne en ukjent side når du kjenner de to andre. Trigonometrien — sinus, cosinus og tangens — kobler sidene til vinklene, slik at du kan finne vinkler fra lengder og lengder fra vinkler.

Snekkere bruker dette til å sjekke at hjørner er rette, taktekkere til å beregne takvinkler, elektrikere til kabelstrekk over skrå flater. I dette kapittelet lærer du begge verktøyene — og det gamle snekkertrikset som har holdt vegger rette i tusenvis av år.

Pytagoras' setning

I en rettvinklet trekant kalles den lengste siden — den som ligger rett overfor den rette vinkelen — hypotenusen, mens de to sidene som danner den rette vinkelen, kalles kateter. Pytagoras' setning sier at

$$a^2 + b^2 = c^2$$

der $c$ er hypotenusen og $a$ og $b$ er katetene.

La oss bruke den på Jonas' stige. Stigen er hypotenusen ($c = 6$), avstanden fra veggen er den ene kateten ($a = 2$), og høyden på veggen er den ukjente kateten $h$:

$$2^2 + h^2 = 6^2 \quad\Rightarrow\quad 4 + h^2 = 36 \quad\Rightarrow\quad h^2 = 32$$

$$h = \sqrt{32} \approx 5{,}66 \text{ m}$$

Stigen rekker altså omtrent 5,66 m opp på veggen.

Setningen virker også baklengs — og det er snekkerens hemmelige våpen. Skal du sjekke om et hjørne er nøyaktig 90 grader, måler du 3 enheter langs den ene veggen, 4 langs den andre, og kontrollerer at diagonalen mellom punktene er nøyaktig 5. For hvis $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$, må vinkelen være rett. Dette 3-4-5-trikset brukes hver dag på byggeplasser, ved forskaling og når terrasser skal settes ut — helt uten vinkelmåler.

Sinus, cosinus og tangens

Pytagoras gir oss sidene — men hva med vinklene? Til det trenger vi de tre trigonometriske forholdene. I en rettvinklet trekant med vinkel $v$ kaller vi kateten rett overfor vinkelen for motstående katet og kateten inntil vinkelen for hosliggende katet. Da er

$$\sin(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} \qquad \cos(v) = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}} \qquad \tan(v) = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}$$

En klassisk huskeregel er SOH-CAH-TOA: Sin er Opposite over Hypotenuse, Cos er Adjacent over Hypotenuse, Tan er Opposite over Adjacent.

Nå kan vi finne vinkelen mellom Jonas' stige og bakken. Sett fra bakkevinkelen er avstanden til veggen (2 m) hosliggende katet, og stigen (6 m) er hypotenusen:

$$\cos(v) = \frac{2}{6} \approx 0{,}333$$

For å hente ut selve vinkelen bruker vi den inverse funksjonen på kalkulatoren: $v = \cos^{-1}(0{,}333) \approx 70{,}5°$. Arbeidstilsynet anbefaler cirka 75 grader for stiger, så Jonas bør flytte foten litt inn.

Trigonometrien virker også andre veien — fra vinkel til lengde. Kjenner du hypotenusen og vinkelen, er motstående katet lik hypotenusen ganger sinus til vinkelen: med hypotenus 6 m og vinkel 30° blir motstående katet $6 \cdot \sin(30°) = 6 \cdot 0{,}5 = 3$ m. Vinkler og lengder er dermed to sider av samme sak: kjenner du noen av dem, gir trigonometrien deg resten.

Oppsummering

Jonas fikk begge svarene sine før han satte foten på første trinn: stigen rakk 5,66 m opp, og vinkelen på 70,5 grader var i underkant av anbefalingen. Verktøyene var de samme som bærer hele den praktiske geometrien.

Pytagoras' setning, $a^2 + b^2 = c^2$, kobler sidene i en rettvinklet trekant: kjenn to sider, og den tredje følger. Husk at $c$ alltid er hypotenusen — den lengste siden, rett overfor den rette vinkelen. Setningen brukes også baklengs til å sjekke rette vinkler, slik snekkere gjør med 3-4-5-trikset.

Trigonometrien kobler sider til vinkler: $\sin v$ er motstående over hypotenus, $\cos v$ er hosliggende over hypotenus, og $\tan v$ er motstående over hosliggende — SOH-CAH-TOA. Fra et forholdstall finner du vinkelen med inversfunksjonene $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ og $\tan^{-1}$ på kalkulatoren, og fra en vinkel finner du lengder ved å gange.

Rettvinklede trekanter gjemmer seg i stiger, takstoler, kabelstrekk og rampekonstruksjoner. Nå har du nøklene til dem alle.