3.3 Pytagoras og trigonometri | Matematikk 2P-Y

Pytagoras setning

I en rettvinklet trekant gjelder:

$a^2 + b^2 = c^2$

Der $c$ er hypotenusen (lengste side, motstående den rette vinkelen) og $a$ og $b$ er katetene.

Dette brukes til å finne ukjente lengder i rettvinklede trekanter.

✏️Eksempel 1: Stige mot vegg

En stige på 6 m lener mot en vegg. Foten av stigen står 2 m fra veggen.

a) Hvor høyt opp på veggen rekker stigen?
b) Hva er vinkelen mellom stigen og bakken?

Løsning:

a) Bruker Pytagoras:
$a^2 + b^2 = c^2$
$2^2 + h^2 = 6^2$
$4 + h^2 = 36$
$h^2 = 32$
$h = \sqrt{32} \approx 5{,}66 \text{ m}$

b) Bruker cosinus:
$\cos(v) = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}} = \frac{2}{6} = 0{,}333$
$v = \cos^{-1}(0{,}333) \approx 70{,}5°$

📊Utforsk: Stige mot vegg

Trekanten viser en stige som står 1,5 m fra veggen og når 4 m opp. Stigen (hypotenusen) er $\sqrt{1{,}5^2 + 4^2} \approx 4{,}3$ m, og vinkelen $\alpha$ mot bakken vises i figuren. Dra i toppunktet og se hvordan stigelengde og vinkel endrer seg.

Trigonometriske forhold

v

📝Oppgave 3.9

En tømrer skal bygge et skråtak. Taket har en spennvidde på 8 m og takvinkel på 30°.

a) Hvor høy blir mønet (høyeste punkt) over ytterveggen?
b) Hvor langt blir takflaten fra ytterkant til møne?

Mønehøyde

Takflate

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.10

En elektriker skal trekke kabel diagonalt gjennom et rom. Rommet er 4,5 m langt og 3,2 m bredt.

a) Hvor lang må kabelen være for å gå diagonalt langs gulvet?
b) Hvis kabelen også skal gå opp til taket (2,8 m høyt) i motsatt hjørne, hvor lang blir den totalt?

Diagonal langs gulv

Romdiagonal

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.11

En rampe for rullestol skal ha maksimalt 8 % stigning (8 cm høyde per 100 cm lengde).

a) Hva er vinkelen til en rampe med 8 % stigning?
b) Hvis rampen skal nå opp til en høyde på 60 cm, hvor lang må den horisontale lengden være?
c) Hvor lang blir selve rampen (skrålengden)?

Vinkel

Horisontal lengde

Skrålengde

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3.12

En kranfører skal løfte en last opp til 5. etasje. Kranen står 12 m fra bygningen. Høyden til 5. etasje er 16 m over bakken.

a) Hvor langt må kranens utligger rekke (minimum)?
b) Hvilken vinkel har utliggeren med horisontalplanet?
c) Hvis kranen må stå 18 m fra bygningen (pga. trær), hvor lang må utliggeren være da?
d) Hva blir vinkelen i dette tilfellet?

Utliggerlengde (12 m)

Vinkel (12 m)

Utliggerlengde (18 m)

Vinkel (18 m)

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Pytagoras' setning: I en rettvinklet trekant er $a^2 + b^2 = c^2$ , der $c$ er hypotenusen.
- Setningen kan brukes begge veier: til å finne en ukjent side, og til å sjekke om en vinkel er rett (snekkertrikset 3-4-5).
- Trigonometri i rettvinklet trekant: $\sin v = \dfrac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}$ , $\cos v = \dfrac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}$ , $\tan v = \dfrac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}$ .
- Vinkler finnes med de inverse funksjonene ( $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ , $\tan^{-1}$ ) på kalkulatoren.

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Hypotenus	Den lengste siden, motsatt den rette vinkelen
Katet	Hver av de to sidene som danner den rette vinkelen
$\sin$ , $\cos$ , $\tan$	Forhold mellom sider i rettvinklet trekant

Viktige formler

a^2 + b^2 = c^2

\tan v = \dfrac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver