7.1 Likningar med ein ukjend | Matematikk 2P

Løyse likningar av fyrste grad med praktiske bruksområde.

50 min

10 oppgaver

LikningUkjendLøysingKontrollFormel

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

7.2Likningssett 7.3Ulikheter

Likningar med ein ukjend

Ei likning seier at to uttrykk er like. Å løyse likninga tyder å finne verdien av den ukjende.

I dette kapittelet lærer du:
- Å løyse fyrstegradslikningar
- Å handtere parentesar og brøk
- Å setje opp likningar frå tekst
- Å setje inn i, forenkle og snu formlar

Likning

\text{venstre side} = \text{høgre side}

✏️Likning med parentes

Løys $3(x - 4) + 2 = 2x + 5$ .

3(x - 4) + 2 = 2x + 5

$3x - 12 + 2 = 2x + 5$

$3x - 10 = 2x + 5$

$3x - 2x = 5 + 10$

$x = 15$

Kontroll: $3(15 - 4) + 2 = 35$ og $2 \cdot 15 + 5 = 35$

Svar: $x = 15$

✏️Praktisk likning

Treningsstudio A kostar 299 kr per månad pluss 50 kr per besøk. Treningsstudio B kostar 799 kr per månad uansett kor mange gonger du trenar. Ved kor mange besøk per månad kostar dei to studioa like mykje?

La $x$ vere talet på besøk per månad.

$299 + 50x = 799$

$50x = 500$

$x = 10$

Svar: Ved 10 besøk per månad kostar studioa like mykje.

Set alltid svaret tilbake i likninga for kontroll.

📝Oppgave 1

Løys $5x - 3 = 2x + 12$ .

📝Oppgave 2

Løys $4(2x+1) - 3(x-2) = 25$ .

📝Oppgave 3

Ein handverkar tek 450 kr i utrykkingsgebyr og 380 kr per time. Rekninga vart på 2 350 kr. Kor mange timar arbeidde handverkaren?

✏️Likning med brøk

Løys $\displaystyle \frac{x}{4} + 1 = \frac{x}{6} + 2$ .

Fellesnemnaren er 12. Vi gongar kvart ledd med 12.

$\displaystyle 12 \cdot \frac{x}{4} + 12 \cdot 1 = 12 \cdot \frac{x}{6} + 12 \cdot 2$

$3x + 12 = 2x + 24$

$3x - 2x = 24 - 12$

$x = 12$

Kontroll: $\displaystyle \frac{12}{4} + 1 = 4$ og $\displaystyle \frac{12}{6} + 2 = 4$

Svar: $x = 12$

📝Oppgave 4

Løys $\displaystyle \frac{x}{3}+2 = \frac{x}{2}-1$ .

📝Oppgave 5

Lisa har 800 kr og set inn 150 kr kvar veke. Markus har 350 kr og set inn 250 kr kvar veke. Etter kor mange veker har Markus meir pengar enn Lisa?

Algebraiske uttrykk og formlar

Eit algebraisk uttrykk består av tal, bokstavar og rekneoperasjonar, til dømes $3x + 2y - 5$ . Delane som er skilde med pluss eller minus, blir kalla ledd. Ein formel er ei likning som viser samanhengen mellom fleire storleikar, til dømes $s = v \cdot t$ (strekning = fart · tid).

Med formlar gjer vi tre ting:
- set inn kjende verdiar og reknar ut den storleiken vi manglar
- forenklar uttrykk ved å løyse opp parentesar og samle ledd av same slag
- snur formelen, det vil seie løyser han for ein annan storleik

✏️Setje inn i ein formel

Leigeprisen for ei hytte er $P = 1\,200 + 450n$ kroner, der $n$ er talet på døgn. Kva kostar det å leige hytta i 6 døgn?

P = 1\,200 + 450 \cdot 6

$P = 1\,200 + 2\,700$

$P = 3\,900$

Svar: Det kostar 3 900 kr å leige hytta i 6 døgn.

Reglar for å forenkle uttrykk

4a + 3a = 7a

✏️Forenkle uttrykk

Forenkle uttrykka.

a) $5x + 3y - 2x + y$

b) $4(2a - 3) - 2(a - 5)$

$5x + 3y - 2x + y$

$= 5x - 2x + 3y + y$

$= 3x + 4y$

Svar: $3x + 4y$

$4(2a - 3) - 2(a - 5)$

$= 8a - 12 - 2a + 10$

$= 6a - 2$

Svar: $6a - 2$

Å snu ein formel

Å snu ein formel tyder å løyse han for ein annan storleik enn den som står åleine. Vi bruker dei same reglane som for likningar: vi gjer det same på begge sider til storleiken vi ønskjer, står åleine på den eine sida.

✏️Snu enkle formlar

a) Formelen $s = v \cdot t$ gir strekninga $s$ når farten er $v$ og tida er $t$ . Løys formelen for $t$ .

b) Arealet av ein trekant er $\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2}$ . Løys formelen for $h$ .

$s = v \cdot t$

$\displaystyle \frac{s}{v} = \frac{v \cdot t}{v}$

$\displaystyle t = \frac{s}{v}$

Svar: $\displaystyle t = \frac{s}{v}$

$\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2}$

$2A = g \cdot h$

$\displaystyle \frac{2A}{g} = h$

$\displaystyle h = \frac{2A}{g}$

Kontroll: Med $g = 6$ og $h = 4$ er $\displaystyle A = \frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ , og $\displaystyle \frac{2 \cdot 12}{6} = 4$ .

Svar: $\displaystyle h = \frac{2A}{g}$

✏️Frå fahrenheit til celsius

Samanhengen mellom temperatur i grader fahrenheit, $F$ , og grader celsius, $C$ , er $F = 1{,}8C + 32$ .

a) Løys formelen for $C$ .

b) Ei amerikansk oppskrift seier at omnen skal stå på 356 °F. Kor mange grader celsius er det?

$F = 1{,}8C + 32$

$F - 32 = 1{,}8C$

$\displaystyle C = \frac{F - 32}{1{,}8}$

Svar: $\displaystyle C = \frac{F - 32}{1{,}8}$

$\displaystyle C = \frac{356 - 32}{1{,}8}$

$\displaystyle C = \frac{324}{1{,}8}$

$C = 180$

Svar: Omnen skal stå på 180 °C.

✏️Kor mykje må setjast inn?

Eit beløp $K_0$ som står i banken i $n$ år med vekstfaktor $v$ per år, veks til $K = K_0 \cdot v^n$ .

a) Løys formelen for $K_0$ .

b) Kor mykje må du setje inn i dag for å ha 50 000 kr om 5 år når renta er 4 % per år?

$K = K_0 \cdot v^n$

$\displaystyle \frac{K}{v^n} = \frac{K_0 \cdot v^n}{v^n}$

$\displaystyle K_0 = \frac{K}{v^n}$

Svar: $\displaystyle K_0 = \frac{K}{v^n}$

$v = 1{,}04$ og $n = 5$

$\displaystyle K_0 = \frac{50\,000}{1{,}04^5}$

$K_0 \approx 41\,096$

Kontroll: $41\,096 \cdot 1{,}04^5 \approx 50\,000$

Svar: Du må setje inn ca. 41 096 kr.

Kontroller ein snudd formel ved å velje tal som passar i den opphavlege formelen, og sjå at den snudde formelen gir tilbake det talet du starta med.

📝Oppgave 6

Set inn i formlane.

Arealet av ein trekant er $\displaystyle A = \frac{g \cdot h}{2}$ . Finn arealet når $g = 8$ cm og $h = 5$ cm.

Ein taxitur kostar $P = 65 + 18k$ kroner, der $k$ er talet på kilometer. Kva kostar ein tur på 12 km?

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Forenkle uttrykka.

7x - 2 + 3x + 9

2(3a + 4) + 5a

6(x - 2) - (2x - 5)

3(2p - q) - 2(p - 4q)

📝Oppgave 8

Løys formlane for den storleiken som står i parentes.

P = 4s

(

s

)

I = 250x

(

x

)

TK = 120\,000 + 80x

(

x

)

V = l \cdot b \cdot h

(

h

)

📝Oppgave 9

Gjennomsnittsfarten er $\displaystyle v = \frac{s}{t}$ , der $s$ er strekninga og $t$ er tida.

Løys formelen for $s$ .

Løys formelen for $t$ .

Ein syklist held ein gjennomsnittsfart på 18 km/h. Kor lang tid bruker ho på 45 km?

Løs oppgaven

📝Oppgave 10

Eit beløp som står i banken med 3,5 % rente per år, veks etter formelen $K = K_0 \cdot 1{,}035^n$ , der $K_0$ er beløpet som vart sett inn og $n$ er talet på år.

Løys formelen for $K_0$ .

Kor mykje må setjast inn i dag for at beløpet skal vere 100 000 kr om 8 år?

Lisa har 60 000 kr på kontoen. Pengane har stått der i 3 år. Kor mykje sette ho inn?

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Kroppsmasseindeksen er $\displaystyle \text{KMI} = \frac{m}{h^2}$ , der $m$ er massen i kilogram og $h$ er høgda i meter.

Løys formelen for $m$ .

Kor mykje veg ein person som er 1,80 m høg og har KMI 25?

Løys formelen for $h$ .

Ein person veg 72 kg og har KMI 22,5. Kor høg er personen?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært å løyse likningar med éin ukjend:

- Ei likning er ein påstand om at to uttrykk er like. Å løyse likninga vil seie å finne verdien av den ukjende som gjer påstanden sann.
- Grunnregelen: Gjer det same på begge sider av likskapsteiknet — legg til, trekk frå, gong eller del.
- Parentesar blir løyste opp fyrst: $a(b + c) = ab + ac$ .
- Samle ledd med den ukjende på den eine sida og tal på den andre.
- Sjekk svaret ved å setje løysinga inn i den opphavlege likninga.
- Mange praktiske problem kan omsetjast til ei likning: ukjend pris, tal eller tid.
- Eit algebraisk uttrykk blir forenkla ved å løyse opp parentesar og samle ledd av same slag.
- Ein formel blir snudd med dei same reglane som ei likning: gjer det same på begge sider til storleiken du ønskjer, står åleine.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Likning	Påstand om at to uttrykk er like
Ukjend	Storleiken vi skal finne, ofte kalla $x$
Løysing	Verdien som gjer likninga sann
Ledd	Del av eit uttrykk skild med pluss eller minus
Formel	Likning som viser samanhengen mellom fleire storleikar

Viktig framgangsmåte

1. Løys opp parentesar.
2. Samle

x

-ledd på éi side, tal på den andre.
3. Del på talet framfor

x

.
4. Set prøve på svaret.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.