6.3 Modellering med regresjon

Bruke regresjon til å finne matematiske modellar som skildrar datasett.

55 min

10 oppgaver

RegresjonR-kvadratEkstrapoleringInterpolering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.2Trigonometri i praksis

Brukes videre i

6.4Kritisk vurdering av modeller

Modellering med regresjon

Regresjon finn ein matematisk funksjon som best skildrar samanhengen i eit datasett.

I dette kapittelet lærer du:
- Lineær regresjon og $R^2$
- Velje mellom lineær, kvadratisk og eksponentiell modell
- Bruke modellar til føreseiingar

Regresjon og R-kvadrat

y = ax + b

✏️Temperatur og issal

Ein kiosk har registrert temperatur og issal på seks dagar:

Temperatur (°C)	Selde is
12	80
16	130
19	170
22	215
26	265
29	300

Finn ein lineær modell med regresjon i GeoGebra, og bruk han til å anslå salet ved 24 °C.

liste1 = {(12, 80), (16, 130), (19, 170), (22, 215), (26, 265), (29, 300)}

f = RegLin(liste1)

$f(x) = 13{,}13x - 77{,}96$

RKvadrat(liste1, f)

$R^2 = 0{,}999$

f(24)

$f(24) = 13{,}13 \cdot 24 - 77{,}96 \approx 237$

Svar: Modellen $f(x) = 13{,}13x - 77{,}96$ anslår eit sal på ca. 237 is ved 24 °C. $R^2 = 0{,}999$ viser svært god tilpassing.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk: Regresjonsmodell for issal

Punkta viser temperatur og issal. RegLin gjev modellen som passar best – di nærare punkta ligg linja, di høgare blir

R^2

og di betre er modellen. Dra eitt punkt langt vekk frå linja og sjå kor mykje modellen blir påverka.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

liste1 = {(12, 80), (16, 130), (19, 170), (22, 215), (26, 265), (29, 300)}
f = RegLin(liste1)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Ekstrapolering

Å bruke modellen langt utanfor dataintervallet er usikkert. Modellen $f(x) = 13{,}13x - 77{,}96$ gjev negativt sal under ca. 5,9 °C. Bruk modellen berre nær dataintervallet, her 12–29 °C.

📝Oppgave 1

Ein modell har $R^2 = 0{,}42$ . Kva tyder dette?

📝Oppgave 2

Modellen $y = 5{,}2x + 32$ skildrar samanhengen mellom talet på timar øving, $x$ , og poeng på ei prøve, $y$ . Kor mange poeng gjev modellen for 6 timar øving?

📝Oppgave 3

Ein populasjon doblar seg kvart 5. år. Kva regresjonstype passar best?

📝Oppgave 4

Talet på bakteriar i ein kultur er gitt ved $y = 100 \cdot 1{,}3^x$ , der $x$ er tida i timar. Kor mange bakteriar er det etter 5 timar?

📝Oppgave 5

Issal-modellen $f(x) = 13{,}13x - 77{,}96$ frå eksempelet gjev $f(5) \approx -12$ . Kva fortel dette?

✏️Eksempel: Andregradsmodell med RegPoly

Tabellen viser drivstofforbruket til ein bil ved ulik fart:

Fart (km/t)	Forbruk (L per 100 km)
50	6,1
60	5,6
70	5,4
80	5,5
90	5,9
100	6,6
110	7,4

Forbruket søkk først og stig så. Finn ein andregradsmodell, samanlikn med ein lineær modell, og anslå forbruket ved 85 km/t.

p = {(50, 6.1), (60, 5.6), (70, 5.4), (80, 5.5), (90, 5.9), (100, 6.6), (110, 7.4)}

f = RegPoly(p, 2)

$f(x) = 0{,}00138x^2 - 0{,}198x + 12{,}53$

RKvadrat(p, f)

$R^2 = 0{,}997$

g = RegLin(p)

RKvadrat(p, g)

$R^2 = 0{,}476$

f(85)

$f(85) \approx 5{,}67$

Svar: Andregradsmodellen passar mykje betre enn den lineære ( $R^2 = 0{,}997$ mot $0{,}476$ ). Han anslår eit forbruk på ca. 5,7 L per 100 km ved 85 km/t.

📝Oppgave 6

Temperaturen vart målt fem gonger i løpet av ein dag:

Klokkeslett	6	9	12	15	18
Temperatur (°C)	4	11	15	14	8

Finn ein andregradsmodell for temperaturen med GeoGebra.

Kva var temperaturen klokka 10 ifølgje modellen?

Når var det varmast, og kor varmt var det då ifølgje modellen?

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært om modellering med regresjon:

- Regresjon lagar ein matematisk modell frå verkelege datapunkt — til dømes ei rett linje eller ein eksponentialfunksjon.
- Forklaringsgraden $R^2$ (mellom $0$ og $1$ ) fortel kor godt modellen passar til dataa. $R^2$ nær $1$ tyder god tilpassing.
- Vel modelltype etter mønsteret i dataa: konstant differanse → lineær modell, konstant forhold → eksponentiell modell, stig og søkk → andregradsmodell (RegPoly(liste, 2)).
- Ein regresjonsmodell er mest påliteleg innanfor dataområdet (interpolering). Utanfor dataområdet (ekstrapolering) kan modellen gje urimelege svar.

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Regresjon	Å tilpasse ein modell til datapunkt
$R^2$	Forklaringsgrad — mål på tilpassing
Lineær modell	$y = ax + b$ , konstant endring
Eksponentiell modell	$y = a \cdot b^x$ , konstant prosentvis endring
Andregradsmodell	$y = ax^2 + bx + c$ , søkk og stig (eller omvendt)

Viktig å hugse

Sjølv ein modell med høg

R^2

kan bli heilt feil utanfor dataområdet — vurder alltid om svaret er rimeleg.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.