Bruk av rekneark og andre digitale verktøy.
Digitale verktøy
I matematikk 2P er det viktig å kunne bruke digitale verktøy til å løyse problem, analysere data og presentere resultat. Dei viktigaste verktøya er rekneark (som Excel eller Google Rekneark) og GeoGebra.
I dette kapittelet skal du lære:
- Bruke rekneark med formlar og cellereferansar
- Plotte grafar og utføre regresjon i GeoGebra
- Lage diagram og visualiseringar
- Løyse praktiske problem med digitale verktøy
Eit rekneark organiserer data i rader og kolonnar. Kvar rute blir kalla ei celle og har ei adresse (t.d. A1, B3, C12).
Viktige omgrep:
- Formel: Startar med (t.d. =A1+B1)
- Cellereferanse: Peikar på ei anna celle (t.d. A1)
- Relativ referanse: Endrar seg når du kopierer formelen (A1)
- Absolutt referanse: Held seg fast når du kopierer ($A$1)
- Funksjonar: Innebygde utrekningar som SUMMER(A1:A10), GJENNOMSNITT(A1:A10), MAKS(A1:A10)
Eksempel på formlar:
- =A1*B1 – multipliserer verdiane i A1 og B1
- =A1*(1+$B$1) – multipliserer A1 med ein fast vekstfaktor frå B1
- =SUMMER(A1:A10) – summerer alle verdiar frå A1 til A10
Du vil setje opp eit budsjett i rekneark. Inntekt står i celle B1 (25 000 kr). Utgifter står i B3:B8. Skildr formlane du treng.
| Celle | Innhald | Formel |
|---|---|---|
| B1 | Inntekt | 25000 |
| B3 | Husleige | 8500 |
| B4 | Straum | 1200 |
| B5 | Mat | 4000 |
| B6 | Transport | 1500 |
| B7 | Fritid | 2000 |
| B8 | Anna | 1000 |
| B10 | Sum utgifter | =SUMMER(B3:B8) |
| B11 | Til overs | =B1-B10 |
| B12 | Spareprosent | =B11/B1*100 |
Med desse tala viser B10 , B11 og B12 . Endrar du «Mat» frå 4 000 til 3 500, blir B10–B12 oppdaterte automatisk.
Svar: B10:
=SUMMER(B3:B8), B11: =B1-B10 og B12: =B11/B1*100.I eit rekneark står talet 500 i celle A1 og talet 0,05 i celle B1. Kva gir formelen =A1*(1+B1)?
Du har eit lån på 200 000 kr i celle A1 og årleg rente 4 % i celle B1.
Skriv ein formel som reknar ut rentekostnaden for første år.
Skriv ein formel i A2 som reknar ut restlånet etter at du har betalt 50 000 kr i avdrag.
Kvifor bør du bruke $B$1 i staden for B1 viss du skal kopiere renteformelen nedover?
Nyttige kommandoar i GeoGebra:
- Skrive inn f(x) = 2x + 3 i inntastingsfeltet for å plotte ein lineær funksjon
- Nullpunkt(f) – finn nullpunktet til funksjonen
- Skjering(f, g) – finn skjeringspunktet mellom to funksjonar
- RegLin(liste) – utfører lineær regresjon på ei punktliste
- RegEksp(liste) – utfører eksponentiell regresjon
Leggje inn datapunkt:
1. Opne reknearket i GeoGebra (Vis → Rekneark)
2. Skriv inn -verdiar i kolonne A og -verdiar i kolonne B
3. Marker dataa og vel «Lag liste med punkt»
4. Bruk RegLin eller RegEksp for å finne beste tilpassing
Du har målt temperaturen i ein kopp kaffi over tid:
| Minutt | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Temp (°C) | 85 | 72 | 62 | 55 | 49 | 40 |
Finn ein eksponentiell modell med GeoGebra, og bruk han til å anslå temperaturen etter 45 minutt.
p = {(0, 85), (5, 72), (10, 62), (15, 55), (20, 49), (30, 40)}f = RegEksp(p)
RKvadrat(p, f)
f(45)
Svar: passar svært godt. Modellen gir ca. 27 °C etter 45 minutt. Det er ekstrapolering, og kaffien kan aldri bli kaldare enn rommet.
Kva tyder det at i ein regresjonsanalyse?
a) Løys likninga med CAS.
b) Løys likningssettet og med CAS.
c) Kaffien i førre eksempel følgjer . Når er temperaturen 50 °C?
d) Abonnement A kostar kroner og abonnement B kostar kroner, der er talet på minutt. Når kostar dei like mykje?
a)
Løys(3(x - 2) = x + 8)
Svar:
b)
Løys({2x + y = 11, x - y = 1}, {x, y})
Svar: og
c)
NLøys(81.8*0.975^x = 50)
Grafisk:
f(x) = 81.8*0.975^x
Skjering(f, y = 50)
Svar: Etter ca. 19,4 minutt.
d)
f(x) = 199 + 0.5x
g(x) = 99 + 1.5x
Skjering(f, g)
Svar: Ved 100 minutt. Då kostar begge 249 kr.
Løys gir eksakte svar når likninga har heile tal. Har likninga desimaltal eller potensar med i eksponenten, bruker vi NLøys for å få eit desimaltal. Bruk punktum som desimalteikn i kommandoane.Ulike diagramtypar eignar seg til ulike formål:
- Søylediagram: Samanlikne verdiar i ulike kategoriar (t.d. sal per månad)
- Linjediagram: Vise utvikling over tid (t.d. temperatur gjennom døgnet)
- Sektordiagram (kakediagram): Vise delar av ein heilskap (t.d. budsjettfordeling)
- Punktdiagram (spreiingsdiagram): Vise samanhengen mellom to variablar (t.d. pris og etterspurnad)
- Histogram: Vise frekvensfordelinga av data (t.d. aldersfordeling)
Tips for gode diagram:
- Vel rett diagramtype for det du vil vise
- Ha tydelege aksetitlar og einingar
- Bruk passande skala (ikkje start y-aksen midt i for å overdrive forskjellar)
- Gi diagrammet ein skildrande tittel
Du har følgjande data og skal presentere dei visuelt:
1. Fordelinga av budsjettet ditt mellom husleige, mat, transport og fritid
2. Utviklinga i tal turistar til Noreg frå 2015 til 2024
3. Samanhengen mellom tal timar studert og poeng på eksamen
Kva for diagramtypar passar best?
1. Budsjettfordeling → Sektordiagram (kakediagram) fordi du viser delar av ein heilskap (100 % av budsjettet).
2. Turistutvikling over tid → Linjediagram fordi du viser utvikling over tid med samanhengande data.
3. Studietid og eksamenspoeng → Punktdiagram (spreiingsdiagram) fordi du undersøkjer samanhengen mellom to variablar. Du kan òg leggje inn ei regresjonslinje.
Svar: 1 sektordiagram, 2 linjediagram, 3 punktdiagram.
Du vil vise korleis salet av elbilar i Noreg har utvikla seg frå 2015 til 2024. Kva for diagramtype er best eigna?
Problemløysing med digitale verktøy
Digitale verktøy gjer det mogleg å løyse problem som ville vore svært tidkrevjande å gjere for hand. Typiske oppgåver:
- Rekneark: Setje opp nedbetalingsplanar for lån, budsjettere, simulere investeringar
- GeoGebra: Teikne funksjonsgrafar, finne skjeringspunkt, gjere regresjonsanalyse
- Kombinert bruk: Samle data i rekneark, eksportere til GeoGebra for analyse, tilbake til rekneark for utrekningar
Hugs: Digitale verktøy er hjelpemiddel. Du må framleis forstå matematikken bak for å bruke verktøya rett og tolke resultata.
Du vil lage ein nedbetalingsplan for eit annuitetslån på 100 000 kr med 5 % årleg rente over 4 år i eit rekneark. Skildr oppsettet.
Terminbeløpet står i cella H1, og alle radene hentar det med den absolutte referansen $H$1.
| A (År) | B (Restlån start) | |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 100 000 |
| 2 | 2 | =F1 |
| 3 | 3 | =F2 |
| 4 | 4 | =F3 |
| C (Rente) | D (Terminbeløp) | |
| 1 | =B1*0,05 | =$H$1 |
| 2 | =B2*0,05 | =$H$1 |
| 3 | =B3*0,05 | =$H$1 |
| 4 | =B4*0,05 | =$H$1 |
| E (Avdrag) | F (Restlån slutt) | |
| 1 | =D1-C1 | =B1-E1 |
| 2 | =D2-C2 | =B2-E2 |
| 3 | =D3-C3 | =B3-E3 |
| 4 | =D4-C4 | =B4-E4 |
Vi prøver ulike terminbeløp i H1 til restlånet i F4 blir 0. (Målsøkinga i reknearket gjer det same: set F4 til 0 ved å endre H1.)
| H1 (terminbeløp) | F4 (restlån etter 4 år) |
|---|---|
| 28 000 | 867 |
| 28 200 | 5 |
| 28 201 | 1 |
Renta i kolonne C søkk og avdraget i kolonne E aukar for kvart år.
Svar: Terminbeløpet blir ca. 28 201 kr per år.
Du sparar 1 000 kr i månaden til ein konto med 3 % årleg rente. Renta blir godskriven kvar månad med 3 %/12.
Skildr korleis du vil setje opp reknearket for å simulere 12 månader.
Kva formel bruker du i cella for «saldo etter rente» frå månad 2?
Omtrent kor stor er saldoen etter 12 månader?
Oppsummering
I dette kapittelet har du lært:
- Rekneark: Formlar, cellereferansar (relative og absolutte), innebygde funksjonar som SUMMER og GJENNOMSNITT
- GeoGebra: Plotte funksjonar, finne nullpunkt og skjeringspunkt, utføre lineær og eksponentiell regresjon
- CAS: Løys(likning), NLøys(likning) og Løys({likning1, likning2}, {x, y}) løyser likningar og likningssett
- Diagramtypar: Søylediagram, linjediagram, sektordiagram, punktdiagram – velje rett type etter formål
- Problemløysing: Bruke digitale verktøy til å setje opp budsjett, simulere lån, analysere data og presentere funn
Du har følgjande data over straumprisen (øre/kWh) i ein region:
| Månad | Pris |
|---|---|
| Jan | 185 |
| Feb | 170 |
| Mar | 130 |
| Apr | 90 |
| Mai | 55 |
| Jun | 40 |
| Jul | 35 |
| Aug | 45 |
| Sep | 80 |
| Okt | 120 |
| Nov | 155 |
| Des | 195 |
Bruk eit digitalt verktøy til å lage eit linjediagram.
Rekn ut gjennomsnittsprisen for året.
I kva for månader er prisen over gjennomsnittet?
Vurder om ein lineær modell er eigna for desse dataa.
Ein bustadprisindeks for ein by viser følgjande utvikling:
| År | Indeks |
|---|---|
| 2018 | 100 |
| 2019 | 103 |
| 2020 | 101 |
| 2021 | 110 |
| 2022 | 118 |
| 2023 | 121 |
Legg dataa inn i GeoGebra (eller rekneark) og lag eit punktdiagram.
Utfør lineær regresjon og oppgi funksjonsuttrykket.
Kva gir modellen for bustadprisindeksen i 2026?
Vurder om prediksjonen er påliteleg.
Du skal samanlikne to spareplanar over 10 år:
- Plan A: Set inn 500 kr i starten av kvar månad. Renta er 3,5 % per år og blir godskriven kvar månad med 3,5 %/12.
- Plan B: Set inn 6 000 kr i januar kvart år. Renta er 3,8 % per år og blir godskriven éin gong i året.
Set opp eit rekneark for begge planane over 10 år.
Rekn ut totalt innskot for begge planane.
Kva plan gir mest etter 10 år?
Forklar kvifor det er skilnad, sjølv om totalt innskot er likt.
Du skriv formelen =B2*$C$1 i celle D2 og kopierer han ned til D3, D4 og D5. Kva skjer med cellereferansane?
Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.