4.2 Betinget sannsynlighet | Matematikk 2P

Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser.

55 min

13 oppgaver

Betinget sannsynlighetUavhengighetBayes setningTreediagram

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 13 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Sannsynlighetsregning

Vilkårsbunde sannsyn

Nokre gonger veit vi at noko allereie har skjedd, og vi vil finne sannsynet for noko anna gitt denne informasjonen. Til dømes: Kva er sannsynet for at ein person er sjuk, gitt at ein test er positiv?

I dette kapittelet skal du lære:
- Kva vilkårsbunde sannsyn er og korleis det vert rekna ut
- Multiplikasjonssetninga
- Skilnaden mellom avhengige og uavhengige hendingar
- Bruke treediagram for vilkårsbunde sannsyn
- Praktiske bruksområde som medisinsk testing og kvalitetskontroll

Vilkårsbunde sannsyn

B

✏️Eksempel: Vilkårsbunde sannsyn med tabell

I ein klasse med 30 elevar spelar 18 fotball og 8 spelar handball. 4 elevar spelar begge delar. Ein tilfeldig elev vert vald. Kva er sannsynet for at eleven spelar handball, gitt at eleven spelar fotball?

Løysing:

$A$ : «spelar fotball», $B$ : «spelar handball»

$\displaystyle P(A) = \frac{18}{30}$ , $\displaystyle P(A \cap B) = \frac{4}{30}$

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{4/30}{18/30} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \approx 0{,}22$

Svar: Gitt at eleven spelar fotball, er sannsynet for at eleven òg spelar handball $\displaystyle \frac{2}{9} \approx 22\%$ .

📝Oppgave 1

I ei undersøking svarar 60 % av elevane at dei likar matte, og 20 % likar både matte og naturfag. Kva er sannsynet for at ein elev likar naturfag, gitt at eleven likar matte?

📝Oppgave 2

Tabellen viser fordelinga av 200 elevar etter kjønn og føretrekt fag:

Matte	Norsk	Totalt
Gut	50	40	90
Jente	60	50	110
Totalt	110	90	200

a) Kva er sannsynet for at ein tilfeldig vald elev føretrekkjer matte, gitt at eleven er jente? b) Kva er sannsynet for at eleven er gut, gitt at eleven føretrekkjer norsk?

Multiplikasjonssetninga

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

✏️Eksempel: Trekkje kuler utan tilbakelegging

Ein pose inneheld 6 raude og 4 blå kuler. Du trekkjer to kuler utan tilbakelegging. Kva er sannsynet for at begge er raude?

Løysing:

$A$ : «første kule er raud», $B$ : «andre kule er raud»

$\displaystyle P(A) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Etter at vi har trekt éi raud kule, er det 5 raude og 4 blå att (9 kuler totalt):

$\displaystyle P(B|A) = \frac{5}{9}$

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$

Svar: Sannsynet for to raude kuler er $\displaystyle \frac{1}{3} \approx 0{,}33$ .

📝Oppgave 3

I ei skål ligg 8 sjokoladar: 5 med nøtter og 3 utan nøtter. Du tek tilfeldig to sjokoladar etter kvarandre (utan tilbakelegging). a) Kva er sannsynet for at begge har nøtter? b) Kva er sannsynet for at den andre sjokoladen har nøtter, gitt at den første ikkje hadde nøtter?

Uavhengige hendingar

A

✏️Eksempel: Uavhengige hendingar

Sannsynet for at ein buss er forseinka er 0,15. To bussar køyrer uavhengig av kvarandre. Kva er sannsynet for at a) begge er forseinka, b) ingen er forseinka, c) nøyaktig éin er forseinka?

Løysing:

Lat $p = 0{,}15$ (forseinka) og $q = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$ (i rute).

a) $P(\text{begge forsinket}) = p \cdot p = 0{,}15^2 = 0{,}0225$

b) $P(\text{ingen forsinket}) = q \cdot q = 0{,}85^2 = 0{,}7225$

c) «Nøyaktig éin» kan skje på to måtar: første forseinka + andre i rute, eller omvendt.

$P(\text{nøyaktig én}) = p \cdot q + q \cdot p = 2 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85 = 0{,}255$

Kontroll: $0{,}0225 + 0{,}7225 + 0{,}255 = 1{,}00$ ✓

📝Oppgave 4

Sannsynet for å bestå ein eksamen er 0,80. To elevar tek eksamen uavhengig av kvarandre. Kva er sannsynet for at begge består?

Treediagram for vilkårsbunde sannsyn

Treediagram er spesielt nyttig for å visualisere vilkårsbunde sannsyn. Langs kvar grein skriv vi det vilkårsbundne sannsynet for det aktuelle utfallet.

For å finne sannsynet for ein bestemt sti, multipliserer vi sannsyna langs stien. For å finne det totale sannsynet for ei hending, summerer vi alle stiar som fører til hendinga.

Totalsetninga for sannsyn:
$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(A') \cdot P(B|A')$

✏️Eksempel: Treediagram -- kvalitetskontroll

Ein fabrikk har to maskiner. Maskin A produserer 60 % av varene, og maskin B produserer 40 %. Maskin A har 2 % feilrate, medan maskin B har 5 % feilrate. Kva er sannsynet for at ei tilfeldig vald vare er defekt?

Løysing:

Treediagram:
- Maskin A (0,60): Defekt (0,02) | OK (0,98)
- Maskin B (0,40): Defekt (0,05) | OK (0,95)

Totalsetninga:
$P(\text{defekt}) = P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B)$
$= 0{,}60 \cdot 0{,}02 + 0{,}40 \cdot 0{,}05$
$= 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$

Svar: Sannsynet for at ei tilfeldig vare er defekt er $3{,}2\%$ .

📝Oppgave 5

Ein sjukdom rammar 1 % av befolkninga. Ein test for sjukdomen gir positivt resultat hos 95 % av dei sjuke (sensitivitet), men gir òg falskt positivt hos 3 % av dei friske. a) Teikn eit treediagram for situasjonen. b) Kva er sannsynet for at ein tilfeldig person testar positivt? c) Kva er sannsynet for at ein person faktisk er sjuk, gitt at testen er positiv?

Praktisk bruk

Vilkårsbunde sannsyn dukkar opp i mange verkelege situasjonar:

Medisinsk testing: Sjølv ein nøyaktig test kan gi mange falske positive resultat dersom sjukdomen er sjeldan. Dette vert kalla det falske positive paradokset.

Kvalitetskontroll: Fabrikkar bruker vilkårsbunde sannsyn til å vurdere om ein feil skuldast ei bestemt maskin.

Rettsvesen: DNA-bevis og fingeravtrykk vert tolka med vilkårsbunde sannsyn -- det er viktig å skilje mellom $P(\text{match}|\text{uskyldig})$ og $P(\text{uskyldig}|\text{match})$ .

Oppsummering

- Vilkårsbunde sannsyn: $\displaystyle P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
- Multiplikasjonssetninga: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
- Uavhengige hendingar: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ når $A$ og $B$ ikkje påverkar kvarandre
- Totalsetninga: $P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(A') \cdot P(B|A')$
- Treediagram er eit kraftig verktøy for å organisere vilkårsbundne sannsyn

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Vilkårsbunde sannsyn	Sannsyn for $B$ gitt at $A$ har skjedd
Uavhengige hendingar	Hendingar der den eine ikkje påverkar den andre
Totalsetninga	Reknar ut $P(B)$ ved å summere over alle moglege vilkår
Falsk positiv	Positiv test hos ein frisk person

📝Oppgave 6

Eit flyselskap har to ruter. Rute A har 70 % av avgangane, og rute B har 30 %. Sannsynet for forseinking på rute A er 0,10, og på rute B er det 0,20. a) Kva er sannsynet for at ein tilfeldig avgang er forseinka? b) Ein avgang er forseinka. Kva er sannsynet for at han var på rute B?

📝Oppgave 7

To vener, Ole og Kari, skal uavhengig av kvarandre ta teoriprøven for førarkort. Sannsynet for at Ole består er 0,75 og for Kari 0,85. a) Kva er sannsynet for at begge består? b) Kva er sannsynet for at ingen av dei består? c) Kva er sannsynet for at minst éin av dei består?

📝Oppgave 8

Ei bedrift kjøper komponentar frå to leverandørar. Leverandør X leverer 70 % av komponentane med 3 % feilrate. Leverandør Y leverer 30 % med 7 % feilrate. a) Kva er den totale feilraten for komponentane til bedrifta? b) Ein komponent viser seg å vere defekt. Kva er sannsynet for at han kom frå leverandør Y? c) Bedrifta vurderer å byte til berre leverandør X. Kor mykje ville feilraten synke?

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.