8.4 Ikke-lineær regresjon

Polynom-, eksponential- og potensregresjon med digitale verktøy.

40 min

10 oppgaver

PolynomregresjonEksponentialregresjonPotensregresjonModellvalgr²-verdi

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.3Lineær regresjon

Brukes videre i

8.5Modellvurdering og praktisk bruk

Når den rette linja ikkje passar

I førre kapittel lærte vi om lineær regresjon. Men mange verkelege samanhengar er ikkje lineære. Dersom vi plottar datapunkta og dei dannar eit boga mønster, eller dersom residuala frå den lineære modellen viser eit systematisk mønster (t.d. først negative, så positive, så negative igjen), bør vi prøve ein ikkje-lineær modell.

Dei vanlegaste alternativa er:
- Polynomregresjon: Tilpasse eit andregrads- eller tredjegradspolynom
- Eksponentialregresjon: Tilpasse ein eksponentialfunksjon $y = a \cdot b^x$
- Potensregresjon: Tilpasse ein potensfunksjon $y = a \cdot x^b$

Residualanalyse

e_i = y_i - \hat{y}_i

Polynomregresjon

Dersom datapunkta ser ut til å følgje ein parabel (U-form eller omvend U), kan vi prøve ein andregradsmodell:

$y = ax^2 + bx + c$

Dersom kurva har eit S-forma mønster eller to vendepunkt, kan vi prøve ein tredjegradsmodell:

$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$

I GeoGebra brukar vi kommandoen RegPoly(liste, grad):
- RegPoly(liste, 2) for andregradstilpassing
- RegPoly(liste, 3) for tredjegradstilpassing

✏️Døme 1 – Polynomregresjon

Ein forskar måler farten til ein kjemisk reaksjon ( $y$ , i mol/s) ved ulike temperaturar ( $x$ , i °C):

Temp (°C)	10	20	30	40	50	60	70
Fart	0,5	1,8	4,0	7,2	11,5	17,0	24,0

Tilpass ein andregradsfunksjon og vurder om han passar godt.

I GeoGebra:

liste = {(10, 0.5), (20, 1.8), (30, 4.0), (40, 7.2), (50, 11.5), (60, 17.0), (70, 24.0)}
RegPoly(liste, 2)

Resultat: $y \approx 0{,}0037x^2 - 0{,}016x + 0{,}33$

Vi sjekkar med $r^2$ (forklaringsgrad). GeoGebra gir $r^2 \approx 0{,}999$ , som tyder at modellen forklarar 99,9 % av variasjonen i dataa. Modellen passar svært godt.

Vi kan samanlikne med ein lineær modell: $y \approx 0{,}38x - 4{,}0$ med $r^2 \approx 0{,}98$ . Den lineære modellen er ikkje dårleg, men andregradsfunksjonen fangar opp den svake krumninga i dataa betre.

Eksponentialregresjon

Dersom dataa viser eksponentiell vekst eller nedgang (verdiane doblar eller halverer seg over jamne intervall), tilpassar vi ein funksjon på forma:

$y = a \cdot b^x$

I GeoGebra brukar vi kommandoen RegExp(liste).

Eksponentialregresjon er spesielt nyttig for:
- Folkeauke
- Radioaktivt henfall
- Bakterievekst
- Rentes rente

✏️Døme 2 – Eksponentialregresjon

Tabellen viser talet på bakteriar i ei petriskål etter $t$ timar:

Timar ( $t$ )	0	1	2	3	4	5	6
Bakteriar	100	150	230	340	510	760	1140

Tilpass ein eksponentialfunksjon og rekn ut doblingstida.

I GeoGebra:

liste = {(0, 100), (1, 150), (2, 230), (3, 340), (4, 510), (5, 760), (6, 1140)}
RegExp(liste)

Resultat: $y \approx 100 \cdot 1{,}50^t$

Tolking: Startverdien er omtrent 100 bakteriar, og bestanden aukar med 50 % per time (vekstfaktor 1,50).

Doblingstid: Vi løyser $1{,}50^t = 2$ :

$t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}50} = \frac{0{,}693}{0{,}405} \approx 1{,}71 \text{ timar}$

Bakteriebestanden doblar seg omtrent kvar 1 time og 43 minutt.

Potensregresjon

Dersom samanhengen mellom $x$ og $y$ best blir beskriven med ein potensfunksjon $y = a \cdot x^b$ , brukar vi potensregresjon.

I GeoGebra brukar vi kommandoen RegPot(liste).

Potensregresjon er nyttig for:
- Fysiske lover (Keplers lov, fritt fall)
- Areal og volum som funksjon av lengdemål
- Biologiske skaleringslover (t.d. kroppsmasse vs. metabolisme)

✏️Døme 3 – Potensregresjon

Tabellen viser samanhengen mellom kroppsmassen $m$ (i kg) og hjartefrekvensen $f$ (slag per minutt) for ulike pattedyr:

Dyr	Mus	Kanin	Katt	Hund	Menneske	Hest	Elefant
Masse (kg)	0,03	2	4	20	70	500	5000
Hjartefrekvens	600	200	150	100	70	35	25

Tilpass ein potensfunksjon

f = a \cdot m^b

og tolk eksponenten.

I GeoGebra:

liste = {(0.03, 600), (2, 200), (4, 150), (20, 100), (70, 70), (500, 35), (5000, 25)}
RegPot(liste)

Resultat: $f \approx 220 \cdot m^{-0{,}25}$

Tolking av eksponenten: $\displaystyle b \approx -0{,}25 = -\frac{1}{4}$ .

Hjartefrekvensen avtek som fjerderota av kroppsmassen. Doblar vi massen, endrar hjartefrekvensen seg med ein faktor $2^{-0{,}25} \approx 0{,}84$ , altså ein reduksjon på ca. 16 %.

Denne samanhengen er kjend som Kleibers lov (i ei utvida form) og gjeld overraskande godt for svært mange pattedyr.

Modellval: Kva modell passar best?

For å velje mellom ulike modellar kan vi bruke:

1. $r^2$ -verdien (forklaringsgraden): Denne angir kor stor del av variasjonen i dataa som blir forklart av modellen. $r^2 = 1$ tyder perfekt tilpassing. Vi vel modellen med høgast $r^2$ .

2. Visuell vurdering: Plott dataa og regresjonslinja i eit spreiingsdiagram. Ser modellen ut til å fange opp mønsteret i dataa?

3. Residualanalyse: Plott residuala. Dersom dei viser eit tilfeldig mønster, passar modellen godt.

4. Fagleg kunnskap: Veit vi noko om den underliggjande mekanismen? Fysiske lover blir føretrekte framfor reint statistiske tilpassingar.

Pass opp for overtilpassing! Med nok parametrar kan vi alltid tilpasse dataa perfekt (eit

n

-te grads polynom går alltid gjennom

n+1

punkt). Men ein slik modell fangar gjerne opp tilfeldig støy og gir dårlege spådommar for nye data. Vel den enklaste modellen som gir ei god tilpassing.

📊Samanlikn regresjonstypar

Skriv inn eit datasett og samanlikn lineær, kvadratisk, eksponentiell og potensregresjon. Kva modell passar best?

📝Oppgave 1

For kvart av dei følgjande datasetta, avgjer (utan å gjere regresjon) kva modelltype som truleg passar best: lineær, kvadratisk, eksponentiell eller potens.

a) Talet på selde bilar i ein by over 10 år, der salet aukar med omtrent 500 bilar kvart år
b) Talet på bananfluger i eit glas, der bestanden doblar seg kvar tredje dag
c) Bremselengd som funksjon av fart
d) Svingetida til pendelen som funksjon av lengda

📝Oppgave 2

Tabellen viser nedkjøling av ein metallbit i vatn. Temperaturen $T$ (i °C over romtemperatur) er målt ved ulike tidspunkt $t$ (i minutt):

$t$ (min)	0	2	4	6	8	10	12
$T$ (°C)	80	58	42	30	22	16	11

Bruk GeoGebra til å tilpasse ein eksponentialfunksjon $T = a \cdot b^t$ .

Kva er halveringstida? (Når er temperaturen halvert?)

Samanlikn med ein lineær modell. Kva passar best?

📝Oppgave 3

Tabellen viser bremsestrekningar ( $d$ , i meter) for ein bil ved ulike fartar ( $v$ , i km/h):

$v$ (km/h)	30	50	70	90	110	130
$d$ (m)	5	13	25	42	62	87

Bruk GeoGebra til å tilpasse ein potensfunksjon $d = a \cdot v^b$ .

Kva fortel eksponenten oss om samanhengen?

Estimer bremsestrekninga ved 100 km/h.

📝Oppgave 4

Tabellen viser verdien av ein kunstskatt ( $y$ , i tusen kroner) ved ulike tidspunkt ( $t$ , i år etter kjøp):

$t$ (år)	0	2	5	8	10	15	20
$y$ (tusen kr)	50	58	72	90	105	150	210

Tilpass ein lineær modell, ein eksponentiell modell og ein andregradsfunksjon. Finn $r^2$ for kvar.

Kva modell passar best? Grunngi svaret.

Bruk den eksponentielle modellen til å anslå verdien etter 30 år. Er anslaget påliteleg?

📝Oppgave 5

Ein forskar samlar data om CO₂-konsentrasjonen i atmosfæren (i ppm) frå 1960 til 2020:

År	1960	1970	1980	1990	2000	2010	2020
CO₂ (ppm)	317	326	339	354	369	390	414

Lat

t

vere talet på år etter 1960.

Tilpass ein lineær modell og ein andregradsfunksjon.

Samanlikn modellane visuelt og med $r^2$ . Kva passar best?

Prøv òg ein eksponentiell modell. Samanlikn med andregradsfunksjonen.

Diskuter kva konsekvensar modellvalet har for spådommar av CO₂-nivået i 2050.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Residualanalyse: Viss residuala viser eit mønster, passar ikkje den lineære modellen — prøv ein annan modelltype
- Polynomregresjon: Passar for data med topp- eller botnpunkt, t.d. kastebaner
- Eksponentialregresjon: Passar når dataa endrar seg med fast prosent (doblar/halverer seg med jamne mellomrom)
- Potensregresjon: Passar når $y$ blir ganga med ein fast faktor kvar gong $x$ doblar seg
- Modellval: Sjå på datamønsteret, samanlikn forklaringsgrad, og vurder kva som er rimeleg i situasjonen

Nøkkelomgrep

Modell	Kjenneteikn
Polynom	Topp- og botnpunkt
Eksponentiell	Fast prosentvis endring
Potens	Fast faktor når $x$ doblar seg

GeoGebra-kommandoar

- RegPoly(liste, grad), RegEksp(liste), RegPotens(liste)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.