7.7 Praktisk bruk av derivasjon | Matematikk 1T

Bruk derivasjon til å løyse praktiske problem med optimering, fart og akselerasjon.

55 min

9 oppgaver

OptimeringFart og akselerasjonMaksimum og minimumPraktiske problem

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.6Derivasjon av polynomfunksjoner

Praktiske bruksområde for derivasjon

Derivasjon har mange praktiske bruksområde:
- Optimering: Finne maksimum og minimum (t.d. maksimal profitt, minste kostnad)
- Fart og akselerasjon: Analysere rørsle
- Vekstrater: Skildre korleis ting endrar seg over tid

I dette kapittelet ser vi på korleis vi bruker derivasjon til å løyse slike problem.

Topp-, botn- og terrassepunkt

Vi har sett at $f'(x) = 0$ i punkt der grafen har vassrett tangent. Dette er kandidatar for toppunkt, botnpunkt eller terrassepunkt.

Framgangsmåte:
- Finn $f'(x)$
- Løys $f'(x) = 0$
- Lag forteiknslinje for $f'(x)$ (eller bruk den dobbeltderiverte) for å avgjere kva slags punkt det er

Topp- og botnpunkt

f'(a) = 0

✏️Døme 1: Finne ekstremalpunkt

Finn eventuelle topp- og botnpunkt for $f(x) = x^3 - 3x$ .

f'(x) = 3x^2 - 3

$3x^2 - 3 = 0$

$x^2 = 1$

$x = -1 \quad \vee \quad x = 1$

$f''(x) = 6x$

$f''(-1) = -6 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{toppunkt}$

$f''(1) = 6 > 0 \quad \Rightarrow \quad \text{botnpunkt}$

$f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1) = -1 + 3 = 2$

$f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2$

Svar: Toppunkt $(-1, 2)$ og botnpunkt $(1, -2)$ .

📝Oppgave 7.7.1

Finn topp- og/eller botnpunkt for funksjonane:

f(x) = x^2 - 4x + 3

f(x) = -x^2 + 6x - 5

f(x) = x^3 - 12x

✏️Døme 2: Terrassepunkt

Undersøk om grafen til $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$ har topp-, botn- eller terrassepunkt.

f'(x) = 3x^2 - 6x + 3

$f'(x) = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x - 1)^2$

$3(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$

$x$	$1$
$(x - 1)^2$	$+$	$0$	$+$
$f'(x)$	$+$	$0$	$+$
$f(x)$	stig	$1$	stig

f(1) = 1 - 3 + 3 = 1

f'(x) > 0

på begge sider av

x = 1

, så grafen stig både før og etter punktet.
Svar: Grafen har eit terrassepunkt i

(1, 1)

og ingen topp- eller botnpunkt.
Kontroll:

f''(x) = 6x - 6

gir

f''(1) = 0

, så den dobbeltderiverte avgjer ikkje typen her. Forteiknslinja gjer det.

📝Oppgave 7.7.2

Figuren viser grafen til den deriverte $f'$ for ein funksjon $f$ .

Grafen til den deriverte f' for x frå −3 til 2,5. Han er negativ til venstre for x = −2, kryssar x-aksen i x = −2, når ein topp i (−1, 2), søkk ned og rører x-aksen i x = 1, og stig deretter.

Les av nullpunkta til $f'$ og lag forteiknslinje for $f'(x)$ .

Kvar har grafen til $f$ toppunkt, botnpunkt og terrassepunkt?

Skisser ein mogleg graf for $f$ .

Optimeringsproblem

Mange praktiske problem handlar om å finne den beste løysinga – den som gir størst profitt, minst avfall, kortast tid, osv.

Framgangsmåte for optimering:
1. Les problemet nøye og finn ut kva som skal maksimerast/minimerast
2. Sett opp ein funksjon som skildrar dette
3. Finn $f'(x) = 0$ og løys for $x$
4. Sjekk om løysinga gir maksimum eller minimum
5. Kontroller at løysinga er innanfor eventuelle avgrensingar

✏️Døme 3: Optimeringsproblem

Ein bonde skal lage eit rektangulært inngjerda område ved ei elv. Han har 100 meter gjerde og treng ikkje gjerde langs elva.

Kva er dei optimale dimensjonane for å få størst mogleg areal?

Løysing:

La $x$ vere lengda på sidene vinkelrett på elva, og $y$ vere lengda parallelt med elva.

Avgrensing (gjerdelengd):
$2x + y = 100 \quad \Rightarrow \quad y = 100 - 2x$

Areal som skal maksimerast:
$A(x) = x \cdot y = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2$

Finn maksimum:
$A'(x) = 100 - 4x = 0$
$4x = 100$
$x = 25$

Då er $y = 100 - 2(25) = 50$ .

Kontroll: $A''(x) = -4 < 0$ , så dette er eit maksimum.

Svar: Sidene vinkelrett på elva skal vere 25 m, og sida langs elva 50 m. Arealet blir $25 \cdot 50 = 1250 \text{ m}^2$ .

📝Oppgave 7.7.3

Løys optimeringsproblema:

Summen av to positive tal er 20. Finn tala slik at produktet blir størst mogleg.

Ein ball blir kasta opp. Høgda er $h(t) = -5t^2 + 30t + 2$ meter. Finn maksimal høgd.

Løs oppgaven

Fart og akselerasjon

Dersom $s(t)$ skildrar posisjonen til eit objekt som funksjon av tid $t$ , så er:
- Fart (hastigheit): $v(t) = s'(t)$ (deriverte av posisjon)
- Akselerasjon: $a(t) = v'(t) = s''(t)$ (deriverte av fart)

Posisjon, fart og akselerasjon

s(t)

Storleik	Symbol	Samanheng
Posisjon	$s(t)$	Gitt funksjon
Fart	$v(t)$	$v(t) = s'(t)$
Akselerasjon	$a(t)$	$a(t) = s''(t)$

✏️Døme 4: Rørsle

Ein partikkel rører seg langs ei linje. Posisjonen er gitt ved:

s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t

der

s

er i meter og

t

er i sekund.

a) Finn farten $v(t)$
b) Finn akselerasjonen $a(t)$
c) Når er partikkelen i ro?
d) Når rører partikkelen seg mot høgre?

Løysing:

a) Fart:
$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9$

b) Akselerasjon:
$a(t) = v'(t) = 6t - 12$

c) I ro når $v(t) = 0$ :
$3t^2 - 12t + 9 = 0$
$t^2 - 4t + 3 = 0$
$(t-1)(t-3) = 0$
$t = 1 \text{ s eller } t = 3 \text{ s}$

d) Mot høgre når $v(t) > 0$ :
$v(t) = 3(t-1)(t-3)$

Frå forteiknsanalyse: $v(t) > 0$ når $t < 1$ eller $t > 3$ .

Svar: a) $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ b) $a(t) = 6t - 12$ c) $t = 1$ s og $t = 3$ s d) når $t < 1$ s og når $t > 3$ s

📝Oppgave 7.7.4

Ein ball blir kasta rett opp. Høgda (i meter) etter $t$ sekund er $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ .

Finn farten (den deriverte) som funksjon av $t$

Kva er starthastigheita (farten når $t = 0$ )?

Når er ballen på veg ned (negativ fart)?

Kva er akselerasjonen?

Løs oppgaven

✏️Døme 5: Profittmaksimering

Ei bedrift produserer ei vare. Profittfunksjonen (i kroner) er gitt ved:

P(x) = -x^2 + 40x - 300

der

x

er talet på einingar produsert per dag.

Kor mange einingar bør bedrifta produsere for å maksimere profitten?

P'(x) = -2x + 40

$-2x + 40 = 0$

$x = 20$

$P''(x) = -2 < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{toppunkt}$

$\begin{aligned} P(20) &= -20^2 + 40 \cdot 20 - 300 \\ &= -400 + 800 - 300 \\ &= 100 \end{aligned}$

Svar: Bedrifta bør produsere 20 einingar per dag. Då blir profitten 100 kr, som er den største moglege.

📝Oppgave 7.7.5

Løys optimeringsproblema ved hjelp av derivasjon:

Eit rektangel har omkrins 24 cm. Finn sidelengdene som gir størst areal.

Profittfunksjonen til ei bedrift er $P(x) = -2x^2 + 100x - 800$ kr, der $x$ er talet på selde einingar. Finn talet på einingar som gir maksimal profitt.

Løs oppgaven

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært å bruke derivasjon i praksis:

- Ekstremalpunkt: Løys $f'(x) = 0$ og lag forteiknslinje for å finne topp-, botn- og terrassepunkt
- Optimering: Sett opp ein funksjon for det som skal maksimerast/minimerast, deriver, og løys $f'(x) = 0$
- Fart og akselerasjon: Dersom $s(t)$ er posisjonen, er $v(t) = s'(t)$ farten og $a(t) = v'(t)$ akselerasjonen
- Økonomi: Den deriverte av overskotsfunksjonen fortel kvar overskotet er størst

Nøkkelomgrep

Omgrep	Forklaring
Ekstremalpunkt	Punkt der $f'(x) = 0$ og forteiknet skiftar
Optimering	Å finne størst eller minst mogleg verdi
Fart	$v(t) = s'(t)$
Akselerasjon	$a(t) = v'(t) = s''(t)$

Strategi for optimeringsoppgåver

1. Sett opp funksjonen som skal optimerast
2. Deriver og løys

f'(x) = 0

3. Kontroller at det er eit maksimum/minimum, og svar på spørsmålet

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.