3.8 Eksponentialfunksjoner | Matematikk 1T

Funksjoner med variabel i eksponenten.

30 min

11 oppgaver

Eksponentiell vekstEksponentiell nedgangVekstfaktor

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Hva er en funksjon?

Brukes videre i

8.1Modellering med funksjoner

Ein eksponentialfunksjon har variabelen i eksponenten. Desse funksjonane modellerer vekst og nedgang i naturen, økonomi og andre område.

I dette kapitlet lærer du:
- Eksponentiell vekst og nedgang
- Vekstfaktor
- Å teikne eksponentialfunksjonar
- Praktiske bruksområde

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

Vekst og nedgang

Vekstfaktoren $b$ avgjer om funksjonen veks eller avtek:

- $b > 1$ : Eksponentiell vekst
- $0 < b < 1$ : Eksponentiell nedgang

Prosentvis vekst: Dersom noko aukar med $p\%$ per eining:
$b = 1 + \frac{p}{100}$

Prosentvis nedgang: Dersom noko avtek med $p\%$ per eining:
$b = 1 - \frac{p}{100}$

✏️Eksempel 1

Ein bakteriekultur startar med 1000 bakteriar og doblar seg kvar time. Set opp ein funksjon for talet på bakteriar etter $t$ timar.

Startverdi:

a = 1000

Vekstfaktor:

b = 2

(dobling)

$N(t) = 1000 \cdot 2^t$

Sjekk:
- $N(0) = 1000 \cdot 2^0 = 1000$ ✓
- $N(1) = 1000 \cdot 2^1 = 2000$ ✓
- $N(2) = 1000 \cdot 2^2 = 4000$ ✓

📝Oppgave 1

Ein populasjon på 500 individ veks med 8% per år. Set opp ein funksjon og finn populasjonen etter 10 år.

✏️Eksempel 2

Ein bil mistar 15% av verdien kvart år. Han kostar 400 000 kr ny. Set opp ein funksjon for verdien til bilen etter $t$ år.

Startverdi:

a = 400\,000

Nedgang:

15\%

Vekstfaktor:

b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85

$V(t) = 400\,000 \cdot 0{,}85^t$

Verdi etter 5 år:
$V(5) = 400\,000 \cdot 0{,}85^5 \approx 177\,000 \text{ kr}$

📝Oppgave 2

Ei maskin kostar 200 000 kr og mistar 25% av verdien kvart år. Set opp ein funksjon og finn verdien etter 4 år.

Eigenskapane til grafen

For $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ :

Alltid:
- $f(0) = a$ ( $y$ -skjering)
- $f(x) > 0$ for alle $x$ (aldri negativ)
- Ingen nullpunkt
- Horisontal asymptote $y = 0$

Dersom $b > 1$ :
- Grafen stig
- Bratt vekst for store $x$

Dersom $0 < b < 1$ :
- Grafen søkk
- Nærmar seg 0 for store $x$

✏️Eksempel 3

Samanlikn grafane til $f(x) = 2^x$ og $\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ .

$f(x) = 2^x$ :
- Vekst (

b = 2 > 1

)
- Stig frå venstre mot høgre
-

f(0) = 1

$\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ :
- Nedgang ( $b = 0{,}5 < 1$ )
- Søkk frå venstre mot høgre
- $g(0) = 1$

Dei to grafane er speglingar av kvarandre om $y$ -aksen.

📝Oppgave 3

Avgjer om funksjonane viser vekst eller nedgang:

f(x) = 3 \cdot 1{,}5^x

g(x) = 100 \cdot 0{,}9^x

h(x) = 50 \cdot 2^{-x}

Doblingstid og halveringstid

Doblingstid: Tida det tek før verdien er dobla.
For $f(x) = a \cdot 2^{x/T}$ er doblingstida $T$ .

Halveringstid: Tida det tek før verdien er halvert.
For $\displaystyle f(x) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x/T}$ er halveringstida $T$ .

Eksempel: Radioaktivt stoff med halveringstid 10 år: $N(t) = N_0 \cdot 0{,}5^{t/10}$

✏️Eksempel 4

Du set 10 000 kr i banken med 3% årleg rente. Kor mykje har du etter 20 år?

Startverdi:

a = 10\,000

Vekstfaktor:

b = 1 + 0{,}03 = 1{,}03

$K(t) = 10\,000 \cdot 1{,}03^t$

Etter 20 år:
$K(20) = 10\,000 \cdot 1{,}03^{20} \approx 18\,061 \text{ kr}$

Du har tent ca. 8061 kr i renter.

📝Oppgave 4

Finn vekstfaktoren:

5% auke per år

20% nedgang per time

Tredobling per veke

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Grafen til $f(x) = a \cdot b^x$ går gjennom punkta $(0, 4)$ og $(2, 36)$ . Finn $a$ og $b$ .

📝Oppgave 6

Eit radioaktivt stoff har halveringstid 5 år. Du startar med 200 gram. Set opp ein funksjon og finn kor mykje som er igjen etter 15 år.

Oppsummering

- Ein eksponentialfunksjon har forma $f(x) = a \cdot b^x$ der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren
- Vekst: $b > 1$ gir eksponentiell vekst
- Nedgang: $0 < b < 1$ gir eksponentiell nedgang
- Prosentvis vekst: Auke med $p\%$ gir $\displaystyle b = 1 + \frac{p}{100}$
- Prosentvis nedgang: Nedgang med $p\%$ gir $\displaystyle b = 1 - \frac{p}{100}$
- Grafen går gjennom punktet $(0, a)$ og har horisontal asymptote $y = 0$
- Doblingstid $T$ : tida det tek før verdien er dobla, $f(x) = a \cdot 2^{x/T}$
- Halveringstid $T$ : tida det tek før verdien er halvert, $f(x) = a \cdot 0{,}5^{x/T}$
- Eksponentialfunksjonar blir brukte til å modellere prosentvis vekst og nedgang i mange samanhengar

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.