3.8 Eksponentialfunksjonar | Matematikk 1T

Funksjonar med variabel i eksponenten.

30 min

11 oppgaver

Eksponentiell vekstEksponentiell nedgangVekstfaktor

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Hva er en funksjon?

Brukes videre i

8.1Modellering med funksjoner

Ein eksponentialfunksjon har variabelen i eksponenten. Desse funksjonane modellerer vekst og nedgang i naturen, økonomi og andre område.

I dette kapitlet lærer du:
- Eksponentiell vekst og nedgang
- Vekstfaktor
- Å teikne eksponentialfunksjonar
- Praktiske bruksområde
- Å løyse eksponentiallikningar, mellom anna for å finne doblingstid og halveringstid

Eksponentialfunksjon

f(x) = a \cdot b^x

Vekst og nedgang

Vekstfaktoren $b$ avgjer om funksjonen veks eller avtek:

- $b > 1$ : Eksponentiell vekst
- $0 < b < 1$ : Eksponentiell nedgang

Prosentvis vekst: Dersom noko aukar med $p\%$ per eining:
$b = 1 + \frac{p}{100}$

Prosentvis nedgang: Dersom noko avtek med $p\%$ per eining:
$b = 1 - \frac{p}{100}$

✏️Døme 1

Ein bakteriekultur startar med 1000 bakteriar og doblar seg kvar time. Set opp ein funksjon for talet på bakteriar etter $t$ timar.

a = 1000 \qquad b = 2

N(t) = 1000 \cdot 2^t

Kontroll: $N(1) = 2000$ og $N(2) = 4000$ .

Svar: $N(t) = 1000 \cdot 2^t$

📝Oppgave 1

Finn vekstfaktoren:

5 % auke per år

20 % nedgang per time

Tredobling per veke

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Ein populasjon på 500 individ veks med 8 % per år. Set opp ein funksjon og finn populasjonen etter 10 år.

✏️Døme 2

Ein bil mistar 15 % av verdien kvart år. Han kostar 400 000 kr ny. Set opp ein funksjon for verdien til bilen etter $t$ år.

b = 1 - 0{,}15 = 0{,}85

V(t) = 400\,000 \cdot 0{,}85^t

V(5) = 400\,000 \cdot 0{,}85^5 \approx 177\,482

Svar: $V(t) = 400\,000 \cdot 0{,}85^t$ . Etter 5 år er bilen verd omtrent 177 500 kr.

📝Oppgave 3

Ei maskin kostar 200 000 kr og mistar 25 % av verdien kvart år. Set opp ein funksjon og finn verdien etter 4 år.

Eigenskapane til grafen

For $f(x) = a \cdot b^x$ med $a > 0$ :

Alltid:
- $f(0) = a$ ( $y$ -skjering)
- $f(x) > 0$ for alle $x$ (aldri negativ)
- Ingen nullpunkt
- Vassrett asymptote $y = 0$

Dersom $b > 1$ :
- Grafen stig
- Bratt vekst for store $x$

Dersom $0 < b < 1$ :
- Grafen søkk
- Nærmar seg 0 for store $x$

✏️Døme 3

Samanlikn grafane til $f(x) = 2^x$ og $\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ .

$f(x) = 2^x$ :
- Vekst (

b = 2 > 1

)
- Stig frå venstre mot høgre
-

f(0) = 1

$\displaystyle g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ :
- Nedgang ( $b = 0{,}5 < 1$ )
- Søkk frå venstre mot høgre
- $g(0) = 1$

Svar: Dei to grafane er speglingar av kvarandre om $y$ -aksen.

📝Oppgave 4

Avgjer om funksjonane viser vekst eller nedgang:

f(x) = 3 \cdot 1{,}5^x

g(x) = 100 \cdot 0{,}9^x

h(x) = 50 \cdot 2^{-x}

Doblingstid og halveringstid

Doblingstid: Tida det tek før verdien er dobla.

Funksjonen $f(x) = a \cdot 2^{x/T}$ har doblingstid $T$ :

$f(x + T) = a \cdot 2^{\frac{x + T}{T}} = a \cdot 2^{\frac{x}{T}} \cdot 2^1 = 2 \cdot f(x)$

Kvar gong $x$ aukar med $T$ , blir verdien dobla.

Halveringstid: Tida det tek før verdien er halvert. Den same utrekninga for $\displaystyle f(x) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x/T}$ gir $\displaystyle f(x + T) = \frac{1}{2} \cdot f(x)$ , så halveringstida er $T$ .

Døme: Radioaktivt stoff med halveringstid 10 år: $N(t) = N_0 \cdot 0{,}5^{t/10}$

✏️Døme 4

Du set 10 000 kr i banken med 3% årleg rente. Kor mykje har du etter 20 år?

b = 1 + 0{,}03 = 1{,}03

K(t) = 10\,000 \cdot 1{,}03^t

K(20) = 10\,000 \cdot 1{,}03^{20} \approx 18\,061

Svar: Etter 20 år har du omtrent 18 061 kr, altså omtrent 8061 kr i renter.

📝Oppgave 5

Grafen til $f(x) = a \cdot b^x$ går gjennom punkta $(0, 4)$ og $(2, 36)$ . Finn $a$ og $b$ .

📝Oppgave 6

Eit radioaktivt stoff har halveringstid 5 år. Du startar med 200 gram. Set opp ein funksjon og finn kor mykje som er igjen etter 15 år.

Eksponentiallikningar

Ei likning der den ukjende står i eksponenten, blir kalla ei eksponentiallikning. Eit døme er

$500 \cdot 1{,}08^x = 1000$

Vi løyser slike likningar på tre måtar.

Grafisk: Vi teiknar $f(x) = a \cdot b^x$ og den vassrette linja $y = c$ i same koordinatsystem. $x$ -koordinaten til skjeringspunktet er løysinga.

f(x) = 500*1.08^x
Skjering(f, y = 1000)

Med CAS: NLøys gir løysinga som desimaltal.

NLøys(500*1.08^x = 1000)

Ved systematisk prøving: Vi reknar ut funksjonsverdiar for heile tal til vi passerer $c$ , og prøver deretter med desimalar mellom dei to heile tala. Det er òg ein god kontroll av svaret frå GeoGebra.

Doblingstid og halveringstid finn vi på same måte: Verdien er dobla når $a \cdot b^x = 2a$ , og halvert når $\displaystyle a \cdot b^x = \frac{a}{2}$ .

✏️Døme 5 – Doblingstid

Ein populasjon er gitt ved $P(x) = 500 \cdot 1{,}08^x$ , der $x$ er talet på år. Finn doblingstida grafisk og med CAS.

Populasjonen er dobla når

P(x) = 2 \cdot 500 = 1000

$500 \cdot 1{,}08^x = 1000$

Grafisk:

P(x) = 500*1.08^x
Skjering(P, y = 1000)

Skjeringspunktet har $x \approx 9{,}0$ .

Grafen til P(x) = 500 · 1,08^x stig frå 500 og skjer den vassrette linja y = 1000 ved x omtrent lik 9,0.

Med CAS:

NLøys(500*1.08^x = 1000)

$x \approx 9{,}0$

Kontroll: $500 \cdot 1{,}08^9 \approx 999{,}5$ og $500 \cdot 1{,}08^{10} \approx 1079{,}5$ , så løysinga ligg like over 9.

Svar: Doblingstida er omtrent 9,0 år.

Doblingstida avheng berre av vekstfaktoren. Vi kunne like gjerne ha løyst $1{,}08^x = 2$ .

✏️Døme 6 – Halveringstid

Verdien av ein bil er $V(t) = 200\,000 \cdot 0{,}75^t$ kroner, der $t$ er talet på år etter kjøpet. Når er verdien halvert?

Verdien er halvert når

V(t) = 100\,000

$200\,000 \cdot 0{,}75^t = 100\,000$

Grafisk:

V(t) = 200000*0.75^t
Skjering(V, y = 100000)

Skjeringspunktet har $t \approx 2{,}4$ .

Grafen til V(t) = 200 000 · 0,75^t søkk frå 200 000 og skjer den vassrette linja y = 100 000 ved t omtrent lik 2,4.

Med CAS:

NLøys(200000*0.75^t = 100000)

$t \approx 2{,}41$

Kontroll: $V(2) = 112\,500$ og $V(3) = 84\,375$ , så løysinga ligg mellom 2 og 3.

Svar: Verdien er halvert etter omtrent 2,4 år.

✏️Døme 7 – Modell gjennom to punkt

Folketalet i ein kommune var 12 000 i 2018 og 14 000 i 2023. Vi går ut frå at folketalet veks eksponentielt.

a) Finn ein modell $N(t) = a \cdot b^t$ , der $t$ er talet på år etter 2018.

b) Kva gir modellen for 2030?

a) Startverdien er

a = 12\,000

. Frå 2018 til 2023 går det 5 år.

$12\,000 \cdot b^5 = 14\,000$
$b^5 = \frac{14\,000}{12\,000}$
$b = \sqrt[5]{\frac{14\,000}{12\,000}}$
$b \approx 1{,}0313$

Med CAS: NLøys(12000*b^5 = 14000, b) gir det same.

Svar: $N(t) = 12\,000 \cdot 1{,}0313^t$ . Folketalet veks med omtrent 3,1 % per år.

b) År 2030 svarar til $t = 12$ .

$N(12) = 12\,000 \cdot 1{,}0313^{12}$
$N(12) \approx 17\,370$

Svar: Modellen gir omtrent 17 400 innbyggjarar i 2030.

📝Oppgave 7

Løys likningane ved systematisk prøving. Kontroller svaret med CAS.

2^x = 32

3 \cdot 2^x = 48

1000 \cdot 0{,}5^x = 125

📝Oppgave 8

Du set 20 000 kr på ein konto med 4 % rente per år.

Set opp ein funksjon $K(x)$ for beløpet etter $x$ år.

Løys likninga $K(x) = 30\,000$ grafisk eller med CAS.

Etter kor mange heile år er beløpet for første gong over 30 000 kr?

📝Oppgave 9

Ein pasient får 400 mg av eit legemiddel. Mengda i kroppen avtek med 20 % per time.

Set opp ein funksjon $M(t)$ for mengda etter $t$ timar.

Finn halveringstida.

Når er det 100 mg att? Forklar kvifor svaret er omtrent dobbelt så stort som i b).

📝Oppgave 10

Ein fiskebestand var 8000 i 2020 og 5832 i 2023. Vi går ut frå at bestanden avtek eksponentielt.

Finn vekstfaktoren. Kor mange prosent avtek bestanden med per år?

Set opp ein modell $N(t)$ , der $t$ er talet på år etter 2020.

Når er bestanden halvert? Løys grafisk eller med CAS, og kontroller ved prøving.

Oppsummering

- Ein eksponentialfunksjon har forma $f(x) = a \cdot b^x$ der $a$ er startverdien og $b$ er vekstfaktoren
- Vekst: $b > 1$ gir eksponentiell vekst
- Nedgang: $0 < b < 1$ gir eksponentiell nedgang
- Prosentvis vekst: Auke med $p\%$ gir $\displaystyle b = 1 + \frac{p}{100}$
- Prosentvis nedgang: Nedgang med $p\%$ gir $\displaystyle b = 1 - \frac{p}{100}$
- Grafen går gjennom punktet $(0, a)$ og har vassrett asymptote $y = 0$
- Doblingstid $T$ : tida det tek før verdien er dobla, $f(x) = a \cdot 2^{x/T}$
- Halveringstid $T$ : tida det tek før verdien er halvert, $f(x) = a \cdot 0{,}5^{x/T}$
- Ei eksponentiallikning $a \cdot b^x = c$ blir løyst grafisk (skjering mellom grafen og linja $y = c$ ), med CAS (NLøys) eller ved systematisk prøving
- Eksponentialfunksjonar blir brukte til å modellere prosentvis vekst og nedgang i mange samanhengar

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.