1.9 Polynomdivisjon med lineær divisor

Del polynom med uttrykk på forma (x - a).

35 min

10 oppgaver

Lineær divisorFaktorteoremetNullpunkt

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.8Polynomdivisjon - introduksjon

Polynomdivisjon med $(x - a)$

I dette kapitlet ser vi nærare på divisjon med lineære divisorar på forma $(x - a)$ . Dette er spesielt nyttig for å:
- Faktorisere polynom
- Finne nullpunkt
- Forenkle uttrykk

📜Faktorteoremet

Dersom $P(a) = 0$ , så er $(x - a)$ ein faktor i $P(x)$ .

Med andre ord: Dersom $a$ er eit nullpunkt for polynomet $P(x)$ , så går $(x - a)$ opp i $P(x)$ utan rest.

✏️Døme 1

Vis at $(x - 2)$ er ein faktor i $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$

Løysing:

Vi sjekkar om $x = 2$ er eit nullpunkt:

$P(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 11 \cdot 2 - 6$
$= 8 - 24 + 22 - 6$
$= 0$

Sidan $P(2) = 0$ , er $(x - 2)$ ein faktor i $P(x)$ ifølgje faktorteoremet.

📝Oppgave 1

Sjekk om den oppgjevne faktoren går opp i polynomet ved å setje inn verdien

Er $(x - 1)$ ein faktor i $x^2 - 3x + 2$ ?

Er $(x + 2)$ ein faktor i $x^2 + 5x + 6$ ?

Er $(x - 3)$ ein faktor i $x^2 - 5x + 6$ ?

Er $(x + 1)$ ein faktor i $x^2 + 2x + 3$ ?

Finne nullpunkt ved gjetning

For polynom med heiltalskoeffisientar kan vi ofte finne nullpunkt ved å prøve divisorar av konstantleddet.

Strategi: Dersom $P(x) = x^n + ... + c$ har heiltalskoeffisientar, prøv $x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, ...$ som er divisorar av $c$ .

✏️Døme 2

Finn eit nullpunkt for $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ og faktoriser.

Løysing:

Konstantleddet er $6$ , så vi prøver divisorar av $6$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$ ✓

Sidan $P(1) = 0$ , er $(x - 1)$ ein faktor.

Vi utfører polynomdivisjon:

$\begin{array}{rrrrl} (x^3 & -\,2x^2 & -\,5x & +\,6) & :\,(x - 1) \\ \underline{-(x^3} & \underline{-\,x^2)} & & & \\ & -x^2 & -\,5x & & \\ & \underline{-(-x^2} & \underline{+\,x)} & & \\ & & -6x & +\,6 & \\ & & \underline{-(-6x} & \underline{+\,6)} & \\ & & & 0 & \end{array}$

Kvotient: $x^2 - x - 6$

To tal med produkt $-6$ og sum $-1$ er $-3$ og $2$ :

$x^2 - x - 6 = x^2 - 3x + 2x - 6 = x(x - 3) + 2(x - 3) = (x - 3)(x + 2)$

Svar: $P(x) = (x - 1)(x - 3)(x + 2)$

📝Oppgave 2

Finn eit nullpunkt og bruk polynomdivisjon til å faktorisere

x^3 - 6x^2 + 11x - 6

x^3 + 6x^2 + 11x + 6

x^3 - 4x^2 + x + 6

Løs oppgaven

📜Resteoremet

Når polynomet

P(x)

blir delt på

(x - a)

, er resten lik

P(a)

$P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + P(a)$

✏️Døme 3

Finn resten når $P(x) = x^3 + 2x^2 - x + 3$ blir delt på $(x - 2)$

Løysing:

Ifølgje resteoremet er resten lik $P(2)$ :

$P(2) = 2^3 + 2 \cdot 2^2 - 2 + 3$
$= 8 + 8 - 2 + 3$
$= 17$

Svar: Resten er $17$

📝Oppgave 3

Bruk resteoremet til å finne resten

(x^2 + 3x + 5) : (x - 1)

(x^3 - 2x + 1) : (x + 1)

(x^3 + x^2 - x - 1) : (x - 2)

(2x^3 - 5x + 3) : (x + 2)

Løs oppgaven

Fullstendig faktorisering

For å faktorisere eit polynom fullstendig:
1. Finn eitt nullpunkt $a$
2. Divider på $(x - a)$
3. Faktoriser kvotienten vidare (om mogleg)
4. Gjenta til du ikkje kan faktorisere meir

✏️Døme 4

Faktoriser $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$ fullstendig.

Løysing:

Prøver $x = 1$ :
$P(1) = 1 - 5 + 4 = 0$ ✓

$(x - 1)$ er ein faktor. Vi deler:

$\begin{array}{rrrrrl} (x^4 & +\,0x^3 & -\,5x^2 & +\,0x & +\,4) & :\,(x - 1) \\ \underline{-(x^4} & \underline{-\,x^3)} & & & & \\ & x^3 & -\,5x^2 & & & \\ & \underline{-(x^3} & \underline{-\,x^2)} & & & \\ & & -4x^2 & +\,0x & & \\ & & \underline{-(-4x^2} & \underline{+\,4x)} & & \\ & & & -4x & +\,4 & \\ & & & \underline{-(-4x} & \underline{+\,4)} & \\ & & & & 0 & \end{array}$

Kvotient: $x^3 + x^2 - 4x - 4$

Prøver $x = -1$ i $x^3 + x^2 - 4x - 4$ :
$-1 + 1 + 4 - 4 = 0$ ✓

$(x + 1)$ er ein faktor. Vi deler:

$\begin{array}{rrrrl} (x^3 & +\,x^2 & -\,4x & -\,4) & :\,(x + 1) = x^2 - 4 \\ \underline{-(x^3} & \underline{+\,x^2)} & & & \\ & & -4x & -\,4 & \\ & & \underline{-(-4x} & \underline{-\,4)} & \\ & & & 0 & \end{array}$

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

Svar: $P(x) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$

📝Oppgave 4

Faktoriser polynoma fullstendig

x^3 - 7x + 6

x^4 - 10x^2 + 9

x^3 + 2x^2 - x - 2

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Utfør polynomdivisjonane

(x^3 - 8) : (x - 2)

(x^3 + 27) : (x + 3)

(x^4 - 16) : (x - 2)

(x^4 - 1) : (x - 1)

Løs oppgaven

Oppsummering

P(a) = 0

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Restteoremet: Resten når $P(x)$ delast på $(x - a)$ er lik $P(a)$ — du kan finne resten utan å dividere
- Faktorteoremet: $(x - a)$ er ein faktor i $P(x)$ viss og berre viss $P(a) = 0$
- Nullpunkt ved gjetting: Prøv små heiltal ( $\pm 1, \pm 2, \pm 3, ...$ ) for å finne eit nullpunkt
- Fullstendig faktorisering: Finn eit nullpunkt $x = a$ , divider på $(x - a)$ , og faktoriser kvotienten vidare

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Restteoremet	Resten ved divisjon med $(x - a)$ er $P(a)$
Faktorteoremet	$(x - a)$ er faktor $\Leftrightarrow$ $P(a) = 0$
Nullpunkt	Ein verdi $a$ slik at $P(a) = 0$
Fullstendig faktorisering	Polynomet skrive som produkt av lineære (og ev. andregradssfaktorar)

Viktige formlar

- Rest ved divisjon med

(x - a)

R = P(a)

P(a) = 0 \;\Leftrightarrow\; P(x) = (x - a) \cdot Q(x)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Polynomdivisjon med (x−a)(x - a)(x−a)

Finne nullpunkt ved gjetning

Fullstendig faktorisering

Oppsummering

Nøkkelbegrep

Viktige formlar

Polynomdivisjon med $(x - a)$