1.8 Polynomdivisjon - introduksjon | Matematikk 1T

Lær hva polynomdivisjon er og hvordan det brukes.

30 min

10 oppgaver

PolynomdivisjonKvotientRest

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.5Faktorisering og kvadratsetningene

Brukes videre i

1.9Polynomdivisjon med lineær divisor 2.10Polynomdivisjon og likningsløsning

Kva er polynomdivisjon?

Polynomdivisjon er ein metode for å dele eit polynom på eit anna polynom. Det fungerer på same måte som vanleg divisjon med tal, men vi arbeider med algebraiske uttrykk i staden.

Når vi deler eit polynom $P(x)$ på eit polynom $D(x)$ , får vi:

$P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$

der:
- $P(x)$ er dividenden (det vi deler)
- $D(x)$ er divisoren (det vi deler på)
- $Q(x)$ er kvotienten (svaret)
- $R(x)$ er resten

✏️Døme 1

Utfør divisjonen $\displaystyle \frac{6x^3}{2x}$

Løysing:

Vi deler koeffisientane og trekkjer frå eksponentane:

$\frac{6x^3}{2x} = \frac{6}{2} \cdot x^{3-1} = 3x^2$

Svar: $3x^2$

📝Oppgave 1

Utfør divisjonane

\displaystyle \frac{8x^4}{2x}

\displaystyle \frac{12x^5}{4x^2}

\displaystyle \frac{15x^3}{5x^3}

\displaystyle \frac{-10x^6}{2x^2}

Løs oppgaven Tren

Divisjon av polynom med monom

Når vi deler eit polynom med fleire ledd på eit monom, deler vi kvart ledd for seg:

$\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$

✏️Døme 2

Utfør divisjonen $\displaystyle \frac{6x^3 + 4x^2 - 2x}{2x}$

Løysing:

Vi deler kvart ledd i tellaren på nemnaren:

$\frac{6x^3 + 4x^2 - 2x}{2x} = \frac{6x^3}{2x} + \frac{4x^2}{2x} - \frac{2x}{2x}$

$= 3x^2 + 2x - 1$

Svar: $3x^2 + 2x - 1$

📝Oppgave 2

Utfør divisjonane

\displaystyle \frac{8x^2 + 4x}{2x}

\displaystyle \frac{9x^3 - 6x^2 + 3x}{3x}

\displaystyle \frac{x^4 + x^3 + x^2}{x^2}

\displaystyle \frac{12x^5 - 8x^3 + 4x}{4x}

Løs oppgaven Tren

Polynomdivisjon - lang divisjon

Når vi skal dele eit polynom på eit anna polynom med fleire ledd, bruker vi lang divisjon. Dette liknar på vanleg divisjon med tal.

Framgangsmåte:
1. Del det første leddet i dividenden på det første leddet i divisoren
2. Gang svaret med heile divisoren
3. Trekkj frå resultatet
4. Gjenta til graden av resten er lågare enn graden av divisoren

✏️Døme 3

Utfør divisjonen $(x^2 + 5x + 6) : (x + 2)$

Løysing:

Vi set opp lang divisjon:

Steg 1: Del $x^2$ på $x$ : $\displaystyle \frac{x^2}{x} = x$

Steg 2: Gang $x$ med $(x + 2)$ : $x \cdot (x + 2) = x^2 + 2x$

Steg 3: Trekkj frå: $(x^2 + 5x + 6) - (x^2 + 2x) = 3x + 6$

Steg 4: Del $3x$ på $x$ : $\displaystyle \frac{3x}{x} = 3$

Steg 5: Gang $3$ med $(x + 2)$ : $3 \cdot (x + 2) = 3x + 6$

Steg 6: Trekkj frå: $(3x + 6) - (3x + 6) = 0$

Resten er 0, så $(x + 2)$ går opp i $(x^2 + 5x + 6)$ .

Svar: $(x^2 + 5x + 6) : (x + 2) = x + 3$

📝Oppgave 3

Utfør divisjonane

(x^2 + 7x + 12) : (x + 3)

(x^2 + 3x - 10) : (x - 2)

(x^2 - 9) : (x + 3)

(x^2 - 4x - 5) : (x + 1)

Løs oppgaven Tren

Divisjon med rest

Ikke alle polynomdivisjonar går opp. Når resten ikkje er null, skriv vi svaret på forma:

$\frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}$

der $R(x)$ er resten.

✏️Døme 4

Utfør divisjonen $(x^2 + 5x + 8) : (x + 2)$

Løysing:

Steg 1: Del $x^2$ på $x$ : $\displaystyle \frac{x^2}{x} = x$

Steg 2: Gang $x$ med $(x + 2)$ : $x^2 + 2x$

Steg 3: Trekk frå: $(x^2 + 5x + 8) - (x^2 + 2x) = 3x + 8$

Steg 4: Del $3x$ på $x$ : $\displaystyle \frac{3x}{x} = 3$

Steg 5: Gang $3$ med $(x + 2)$ : $3x + 6$

Steg 6: Trekk frå: $(3x + 8) - (3x + 6) = 2$

Resten er $2$ .

Svar: $\displaystyle (x^2 + 5x + 8) : (x + 2) = x + 3 + \frac{2}{x + 2}$

📝Oppgave 4

Utfør divisjonane og oppgi kvotient og rest

(x^2 + 4x + 5) : (x + 1)

(x^2 + 2x + 7) : (x + 3)

(2x^2 + 5x + 1) : (x + 2)

(x^3 + 2x^2 - x + 3) : (x + 1)

Divisjon med tredjegradspolynom

Same metode vert brukt for polynom av høgare grad. La oss sjå på eit døme med eit tredjegradspolynom.

✏️Døme 5

Utfør divisjonen $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1)$

Løysing:

Steg 1: $\displaystyle \frac{x^3}{x} = x^2$
$x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2$
Rest: $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) - (x^3 - x^2) = -5x^2 + 11x - 6$

Steg 2: $\displaystyle \frac{-5x^2}{x} = -5x$
$-5x \cdot (x - 1) = -5x^2 + 5x$
Rest: $(-5x^2 + 11x - 6) - (-5x^2 + 5x) = 6x - 6$

Steg 3: $\displaystyle \frac{6x}{x} = 6$
$6 \cdot (x - 1) = 6x - 6$
Rest: $(6x - 6) - (6x - 6) = 0$

Svar: $(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6$

📝Oppgave 5

Utfør divisjonane

(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) : (x + 1)

(x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 1)

(x^3 + 4x^2 + x - 6) : (x + 2)

(2x^3 - 3x^2 - 5x + 6) : (x - 2)

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)

Samanfatting

I dette kapittelet har du lært:

- Polynomdivisjon: Å dela eit polynom på eit anna polynom, på same måte som lang divisjon med tal
- Divisjon med monom: Kvart ledd i tellaren blir delt på monomet: $\displaystyle \frac{6x^3 + 4x^2}{2x} = 3x^2 + 2x$
- Lang divisjon: Del første ledd, gang divisor med svaret, trekk frå, og gjenta til du er ferdig
- Divisjon med rest: Viss divisjonen ikkje går opp, får vi ein rest: $P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$
- Kontroll: Du kan alltid kontrollera svaret ved å ganga kvotienten med divisoren og leggja til resten

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Polynom	Uttrykk med ledd av typen $ax^n$
Divisor	Det vi deler på
Kvotient	Svaret på divisjonen
Rest	Det som blir til overs når divisjonen ikkje går opp

Viktige formlar

\displaystyle \frac{P(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}

P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.