6.3 Simulering | Matematikk 1P

Bruke simulering til å estimere sannsynligheter.

45 min

7 oppgaver

SimuleringTilfeldighetStore talls lovDigitale verktøy

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 7 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.2Sammensatte hendelser

Når rekning blir vanskeleg — simuler!

Nokon sannsyn er enkle å rekne ut, som $\displaystyle P(\text{seksar}) = \frac{1}{6}$ . Andre er vanskelege eller umoglege å berekne eksakt. Da kan vi la datamaskinen simulere: gjenta forsøket tusenvis av gonger og telje kor ofte hendinga inntreffer.

I dette kapittelet skal du lære:
- Kva ei simulering er, og når ho er nyttig
- Å bruke relativ frekvens som estimat for sannsyn
- Å forstå kvifor fleire forsøk gir sikrare svar (store tals lov)

Simulering

n

✏️Døme 1: Venta antall

Du simulerer 1000 myntkast.

a) Omtrent kor mange gonger ventar du kron?

b) Ei køyring ga 484 kron. Kva er den relative frekvensen?

Løysing:

a) Venta antall $\displaystyle = P(\text{kron}) \cdot n = \frac{1}{2} \cdot 1000 = 500$

b) Relativ frekvens $\displaystyle = \frac{484}{1000} = 0{,}484$

Det er nær det teoretiske sannsynet $0{,}5$ , men ikkje nøyaktig likt — simuleringar varierer tilfeldig.

📝Oppgave 1

Finn forventa antall.

Antall kron ved $200$ myntkast.

Antall seksarar ved $600$ terningkast.

Antall partals ved $600$ terningkast.

Løs oppgaven Tren

Store tals lov

\displaystyle \frac{1}{6} \approx 0{,}167

✏️Døme 2: Simulering i Python

Skriv eit program som simulerer 10 000 terningkast og estimerer sannsynet for seksar.

Løysing:

import random

antall = 0
for i in range(10000):
    kast = random.randint(1, 6)
    if kast == 6:
        antall = antall + 1

print("Relativ frekvens:", antall / 10000)

Programmet skriv ut eit tal nær $\displaystyle \frac{1}{6} \approx 0{,}167$ — litt ulikt kvar gong det kjørast.

📝Oppgave 2

Ei simulering av 1000 terningkast ga 178 seksarar.

Finn den relative frekvensen.

Kva er den teoretiske sannsynlegheita? Skriv som brøk.

Korleis kan du få estimatet til å treffe betre?

Løs oppgaven Tren

Simulering når teorien er vanskeleg

Styrken til simulering syner seg når den teoretiske berekninga er krøkjeleg. Kva er sannsynet for minst éin seksar på fire kast? Med simulering treng du berre å gjenta forsøket «kast fire terningar» mange gonger og telje.

Simulering blir brukt på same måte i røynda: vêrvarsling, køplanlegging i butikkar, forsikring og speloppdrag byggjer alle på simuleringar av tilfeldige hendingar.

✏️Døme 3: Minst éin seksar på fire kast

Ei simulering med 10 000 forsøk (fire terningkast per forsøk) ga «minst éin seksar» i 5 162 av forsøka. Samanlikn med den teoretiske verdien.

Løysing:

Simuleringa gir $\displaystyle P \approx \frac{5162}{10000} = 0{,}516$ .

Teoretisk: $\displaystyle P(\text{minst éin seksar}) = 1 - P(\text{ingen seksarar}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 1 - 0{,}482 = 0{,}518$

Simuleringa traff svært godt — avviket er berre $0{,}002$ .

📝Oppgave 3

Du simulerer kast med to terningar 36 000 gonger.

Omtrent kor mange gonger ventar du sum 7? ( $\displaystyle P = \frac{6}{36}$ )

Omtrent kor mange gonger ventar du sum 2? ( $\displaystyle P = \frac{1}{36}$ )

To kjøyringar gir litt ulike tal. Er det feil i programmet? Forklar.

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Simulering: Eit datamaskin-eksperiment som etterliker eit tilfeldig forsøk mange gonger.
- Relativ frekvens: $\displaystyle \frac{\text{antall treff}}{\text{antall forsøk}}$ — brukes som estimat for sannsynlegheita.
- Store talls lov: Fleire forsøk gir relativ frekvens nærare den teoretiske sannsynlegheita.
- Bruksområde: Simulering er særleg nyttig når den teoretiske berekinga er vanskeleg.

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Simulering	Digital etterlinking av tilfeldig forsøk
Relativ frekvens	Andel av forsøka der hendinga inntrefte
Store talls lov	Fleire forsøk → tryggare estimat
Forventa antall	Sannsynlegheit · antall forsøk

Viktig formel

\displaystyle P(\text{hendelse}) \approx \frac{\text{antall treff}}{\text{antall forsøk}}

(ved mange forsøk)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.