6.3 Simulering

Når regningen blir for vanskelig -- jukse med datamaskin?

I et brettspill trenger du minst én sekser i løpet av fire kast for å redde laget ditt. «Hva er sjansen for det?» spør en medspiller. Du kjenner formelen $\displaystyle P(6) = \frac{1}{6}$ for ett kast -- men fire kast, og minst én sekser? Plutselig er det ikke opplagt hvordan du skal regne.

Her finnes en genial utvei: la datamaskinen spille spillet for deg. Tusenvis av ganger. Så teller du bare hvor ofte det gikk bra. Dette kalles en simulering, og det er et av de mest brukte verktøyene i moderne anvendt matematikk -- fra værvarsling til spillutvikling.

I dette kapittelet lærer du hva en simulering er og når den er nyttig, hvordan relativ frekvens brukes som estimat for sannsynlighet, og hvorfor flere forsøk gir sikrere svar -- det som kalles store talls lov.

Simulering og relativ frekvens

En simulering er et datamaskin-eksperiment som etterligner et tilfeldig forsøk. Oppskriften har fire steg. Først lager du en digital utgave av forsøket -- for et terningkast trekker du et tilfeldig tall fra $1$ til $6$. Så gjentar du forsøket mange ganger, si $n$ ganger. Deretter teller du hvor mange ganger hendelsen du er interessert i, inntreffer -- kall det $k$. Til slutt estimerer du sannsynligheten med den relative frekvensen:

$$P \approx \frac{k}{n}$$

La oss prøve tankegangen på noe vi kjenner svaret på: myntkast. Du simulerer $1\,000$ kast. Hvor mange kron forventer du? Det forventede antallet er sannsynligheten ganger antall forsøk:

$$\frac{1}{2} \cdot 1\,000 = 500$$

En faktisk kjøring ga $484$ kron. Den relative frekvensen blir $\displaystyle \frac{484}{1\,000} = 0{,}484$ -- nær den teoretiske sannsynligheten $0{,}5$, men ikke nøyaktig lik. Det er helt som forventet: simuleringer bygger på tilfeldighet, så resultatet varierer litt fra kjøring til kjøring. Kjører du på nytt, får du kanskje $0{,}512$ eller $0{,}495$.

Det viktige er at den relative frekvensen kretser rundt den sanne sannsynligheten -- og som vi straks skal se, kretser den tettere og tettere jo flere forsøk vi gjør.

Store talls lov -- og noen linjer Python

Hvor mange forsøk trenger en simulering? Svaret ligger i store talls lov: jo flere ganger du gjentar et forsøk, desto nærmere kommer den relative frekvensen den teoretiske sannsynligheten.

Tenk på seksere: med bare $10$ terningkast kan du fint få $0$ seksere -- eller $4$. Den relative frekvensen blir da $0$ eller $0{,}4$, begge langt unna $\displaystyle \frac{1}{6} \approx 0{,}167$. Men med $10\,000$ kast jevner tilfeldighetene seg ut, og den relative frekvensen havner nesten alltid tett på $0{,}167$. Derfor bruker vi mange forsøk når vi simulerer -- tusenvis, gjerne flere.

Og hvordan får vi datamaskinen til å kaste terning ti tusen ganger? Med noen få linjer Python:

import random

antall = 0
for i in range(10000):
    kast = random.randint(1, 6)
    if kast == 6:
        antall = antall + 1

print("Relativ frekvens:", antall / 10000)

Programmet følger oppskriften vår slavisk: random.randint(1, 6) er den digitale terningen, løkken gjentar forsøket $10\,000$ ganger, if-testen teller treffene, og til slutt skrives den relative frekvensen ut -- et tall nær $0{,}167$, litt forskjellig hver gang programmet kjøres. Ti tusen terningkast på et tastetrykk: det er simuleringens superkraft.

Når simulering slår teori

Tilbake til brettspillet: minst én sekser på fire kast. Med simulering er problemet plutselig enkelt -- du lar datamaskinen «kaste fire terninger» titusenvis av ganger og teller hvor ofte minst én sekser dukker opp.

En kjøring med $10\,000$ forsøk ga «minst én sekser» i $5\,162$ av dem:

$$P \approx \frac{5\,162}{10\,000} = 0{,}516$$

Finnes det en teoretisk fasit? Ja -- og den bruker komplementtrikset: i stedet for «minst én sekser» regner vi på det motsatte, «ingen seksere». Sjansen for ikke-sekser i ett kast er $\displaystyle \frac{5}{6}$, og i fire kast på rad $\displaystyle \left(\frac{5}{6}\right)^4 \approx 0{,}482$. Dermed:

$$P(\text{minst én sekser}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 \approx 1 - 0{,}482 = 0{,}518$$

Simuleringen traff med et avvik på bare $0{,}002$! Du kan altså trygt fortelle medspilleren din: litt bedre enn fifty-fifty.

Poenget er at simuleringen ikke trengte teorien. Når den teoretiske beregningen er kronglete -- eller umulig -- gir simuleringen likevel et pålitelig estimat. Det er nettopp slik den brukes i virkeligheten: meteorologer simulerer tusenvis av mulige værutviklinger, butikkjeder simulerer køer for å bemanne kassene riktig, forsikringsselskaper simulerer skader, og spillutviklere simulerer millioner av runder for å balansere spillene sine. Overalt der tilfeldigheten er for kompleks for formler, står simuleringen klar.

Oppsummering

Spørsmålet fra brettspillet -- minst én sekser på fire kast -- viste oss en helt ny måte å finne sannsynligheter på: la datamaskinen prøve.

En simulering etterligner et tilfeldig forsøk digitalt: lag en digital terning, gjenta forsøket $n$ ganger, tell de $k$ gangene hendelsen inntreffer, og estimer sannsynligheten med den relative frekvensen $\displaystyle P \approx \frac{k}{n}$. Forventet antall treff er $P \cdot n$ -- som de $500$ kronene vi ventet av $1\,000$ myntkast.

Store talls lov forklarer hvorfor mange forsøk er avgjørende: $10$ kast kan gi ville utslag, men $10\,000$ kast lander nesten alltid tett på den teoretiske sannsynligheten. Noen linjer Python med random.randint og en løkke er alt som trengs.

Og når teorien er vanskelig, viser simuleringen sin styrke: estimatet $0{,}516$ for «minst én sekser på fire kast» traff fasiten $\displaystyle 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 \approx 0{,}518$ med et avvik på bare $0{,}002$. Samme metode styrer værvarsler, køplanlegging, forsikring og spillbalansering. Når tilfeldigheten blir for kompleks for formler -- simuler!