2.5 Røtter og standardform | Matematikk 1P

Lær om kvadratrøtter, tredjerøtter og standardform for å uttrykke store og små tall.

50 min

8 oppgaver

KvadratrotTredjerotStandardformStore tallSmå tall

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kva er ein rot?

Å ta rota av eit tal er det motsette av å opphøgja i ein potens.

Når vi veit at $5^2 = 25$ , kan vi seia at kvadratrota av 25 er 5:

$\sqrt{25} = 5$

Røter blir brukte mellom anna innan geometri (til dømes Pytagoras' setning), i statistikk (standardavvik) og i mange formlar frå naturvitskap.

Kvadratrot

a \geq 0

✏️Døme 1: Rekna ut kvadratrøter

Rekn ut utan kalkulator:
a) $\sqrt{16}$
b) $\sqrt{144}$
c) $\sqrt{0{,}04}$

Løysing:

a) $\sqrt{16} = 4$ fordi $4^2 = 16$

b) $\sqrt{144} = 12$ fordi $12^2 = 144$

c) $\sqrt{0{,}04} = 0{,}2$ fordi $0{,}2^2 = 0{,}04$

📝Oppgave 2.5.1

Rekn ut kvadratrotene:

\sqrt{36}

\sqrt{81}

\sqrt{100}

\sqrt{1}

Løs oppgaven Tren

Tredjerøter

Tredjerota (kubikkrota) er det motsette av å opphøgja i tredje. Vi skriv ho med symbolet $\sqrt[3]{\phantom{x}}$ .

$\sqrt[3]{27} = 3 \quad \text{fordi} \quad 3^3 = 27$

I motsetning til kvadratrøter kan vi ta tredjerota av negative tal:

$\sqrt[3]{-8} = -2 \quad \text{fordi} \quad (-2)^3 = -8$

Tredjerot

a

Samanhengen mellom røter og potenser

Røter kan skrivast som potenser med brøkeksponent:

$\sqrt{a} = a^{1/2} \qquad \text{og} \qquad \sqrt[3]{a} = a^{1/3}$

Generelt:

$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$

Dette betyr at alle potensreglane også gjeld for røter! Til dømes:

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = a^{1/2} \cdot b^{1/2} = (a \cdot b)^{1/2} = \sqrt{a \cdot b}$

✏️Døme 2: Foreinkling av rotuttrykk

Forenkla:
a) $\sqrt{4 \cdot 9}$
b) $\sqrt{50}$
c) $\displaystyle \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$

Løysing:

a) $\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6$

Alternativt: $\sqrt{36} = 6$

b) $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

c) $\displaystyle \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6$

📝Oppgave 2.5.2

Forenkla rotuttrykka:

\sqrt{25 \cdot 4}

\sqrt{18}

\sqrt[3]{-27}

\displaystyle \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{8}}

Løs oppgaven Tren

Standardform

Nokon tal er veldig store eller veldig små. Då er det upraktisk å skriva alle sifra. Vi brukar standardform (også kalla vitskapeleg notasjon):

$a \cdot 10^n \quad \text{der } 1 \leq a < 10 \text{ og } n \text{ er eit heiltal}$

Døme:
- Avstanden til solen: $149\,600\,000$ km $= 1{,}496 \cdot 10^8$ km
- Tjukkleiken på eit hårstråm: $0{,}00007$ m $= 7 \cdot 10^{-5}$ m

Standardform

a \cdot 10^n

✏️Døme 3: Skrive tal på standardform

Skriv på standardform:
a) $47\,000$
b) $0{,}00032$
c) $8\,350\,000$
d) $0{,}0091$

Løysing:

a) $47\,000 = 4{,}7 \cdot 10^4$
Vi flytter kommaet 4 plassar til venstre.

b) $0{,}00032 = 3{,}2 \cdot 10^{-4}$
Vi flytter kommaet 4 plassar til høgre.

c) $8\,350\,000 = 8{,}35 \cdot 10^6$
Vi flytter kommaet 6 plassar til venstre.

d) $0{,}0091 = 9{,}1 \cdot 10^{-3}$
Vi flytter kommaet 3 plassar til høgre.

📝Oppgave 2.5.3

Skriv tala på standardform:

560\,000

0{,}0045

92\,000\,000

0{,}000006

Løs oppgaven Tren

Rekning med standardform

Når vi gangar eller deler tal på standardform, brukar vi potensreglane for tierpotensiar.

Multiplikasjon:
$(a \cdot 10^n) \cdot (b \cdot 10^m) = (a \cdot b) \cdot 10^{n+m}$

Divisjon:
$\frac{a \cdot 10^n}{b \cdot 10^m} = \frac{a}{b} \cdot 10^{n-m}$

Husk å justere svaret slik at det er på riktig standardform ( $1 \leq a < 10$ ) til slutt.

✏️Døme 4: Rekning med standardform

a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^3)$

b) $\displaystyle \frac{8 \cdot 10^9}{4 \cdot 10^3}$

c) Lyset beveger seg med hastigheta $3 \cdot 10^8$ m/s. Kor langt reiser lyset på eitt minutt (60 sekund)?

Løysing:

a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^3) = (3 \cdot 2) \cdot 10^{4+3} = 6 \cdot 10^7$

b) $\displaystyle \frac{8 \cdot 10^9}{4 \cdot 10^3} = \frac{8}{4} \cdot 10^{9-3} = 2 \cdot 10^6$

c) Strekning $= \text{fart} \cdot \text{tid}$ :
$(3 \cdot 10^8) \cdot 60 = (3 \cdot 10^8) \cdot (6 \cdot 10^1)$
$= 18 \cdot 10^9 = 1{,}8 \cdot 10^{10}$ m

Lyset reiser altso $1{,}8 \cdot 10^{10}$ m, det vil seie 18 milliardar meter, på eitt minutt.

📝Oppgave 2.5.4

Rekn med standardform. Gje svaret på standardform.

(4 \cdot 10^5) \cdot (3 \cdot 10^2)

\displaystyle \frac{6 \cdot 10^{11}}{3 \cdot 10^5}

Ei celle er ca. $8 \cdot 10^{-6}$ m lang. Ein bakterie er ca. $2 \cdot 10^{-6}$ m lang. Kor mange gonger lengre er cella enn bakterien?

Massen til jorda er ca. $6 \cdot 10^{24}$ kg. Massen til månen er ca. $7{,}3 \cdot 10^{22}$ kg. Omtrent kor mange gonger tyngre er jorda enn månen? Avrund til nærmaste heile tal.

Løs oppgaven Tren

Dei fleste kalkulatorar viser standardform med bokstaven E.

Døme: 3.5E8 betyr det same som $3{,}5 \cdot 10^8$ .

På GeoGebra/CAS kan du skrive 3.5 * 10^8 direkte.

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Kvadratrot: $\sqrt{a}$ er det ikkje-negative talet som ganget med seg sjølv gir $a$ .
- Tredjerot: $\sqrt[3]{a}$ er talet $b$ slik at $b^3 = a$ .
- Rekneregler for røter: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ og $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
- Standardform: $a \cdot 10^n$ der $1 \leq a < 10$ . Store tal får positiv $n$ , små tal (mellom 0 og 1) får negativ $n$ .

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Kvadratrot	$\sqrt{25} = 5$ fordi $5^2 = 25$
Tredjerot	$\sqrt[3]{8} = 2$ fordi $2^3 = 8$
Standardform	Tal skrive som $a \cdot 10^n$ , $1 \leq a < 10$

Viktige formlar

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

47\,000 = 4{,}7 \cdot 10^4

0{,}0032 = 3{,}2 \cdot 10^{-3}

Repetisjonsopping

Din fremgang

0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.