9.2 Eksponentialfunksjoner og grafer

Tegne og tolke grafer til eksponentialfunksjoner, asymptote.

55 min

8 oppgaver

EksponentialfunksjonGrafAsymptoteDigitale verktøy

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.1Eksponentiell vekst og nedgang

Brukes videre i

9.3Modellering med reelle datasett

Eksponentialfunksjonar og grafar

I det førre kapitlet lærte du formelen $f(x) = a \cdot b^x$ og korleis du kan setje opp eksponentialfunksjonar. Men korleis ser desse funksjonane eigentleg ut når vi teikner dei?

I dette kapitlet skal du:
- Teikne grafar til eksponentialfunksjonar for hand og med digitale verktøy
- Samanlikne eksponentiell og lineær vekst grafisk
- Forstå kva ei horisontal asymptote er
- Undersøkje korleis endringar i $a$ og $b$ påverkar grafen

Slik teiknar du grafen til ei eksponentialfunksjon

For å teikne grafen til $f(x) = a \cdot b^x$ lagar vi ein verditabell og plottar punkta.

Steg for steg:
1. Vel nokre $x$ -verdiar (til dømes $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$ )
2. Rekn ut $f(x)$ for kvar verdi
3. Plott punkta i eit koordinatsystem
4. Teikn ei glatt kurve gjennom punkta

Viktige eigenskapar:
- Grafen går alltid gjennom punktet $(0, a)$ fordi $f(0) = a \cdot b^0 = a$
- Grafen kryss aldri $x$ -aksen (dersom $a > 0$ )
- For vekst ( $b > 1$ ): grafen stig brattare og brattare mot høgre
- For nedgang ( $0 < b < 1$ ): grafen fell og nærmar seg $x$ -aksen mot høgre

✏️Døme: Teikne grafen til $f(x) = 3 \cdot 2^x$

Lag ein verditabell for $f(x) = 3 \cdot 2^x$ med $x$ -verdiar frå $-2$ til $4$ , og skildra korleis grafen ser ut.

Løysing:

$x$	$2^x$	$f(x) = 3 \cdot 2^x$
$-2$	$0{,}25$	$0{,}75$
$-1$	$0{,}5$	$1{,}5$
$0$	$1$	$3$
$1$	$2$	$6$
$2$	$4$	$12$
$3$	$8$	$24$
$4$	$16$	$48$

Observasjonar:
- Grafen startar nær

x

-aksen for negative

x

-verdiar
- Ho går gjennom

(0, 3)

(startsverdien)
- Ho stig brattare og brattare for positive

x

-verdiar
- Kvar gong

x

aukar med 1, blir

f(x)

dobbelt så stor (fordi

b = 2

)
Svar: Grafen er ei stigande kurve som veks raskare og raskare. Ho kjem aldri under

x

-aksen.

📝Oppgave 1

Lag ein verditabell for $f(x) = 100 \cdot 0{,}5^x$ med $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ . Teikn grafen.

Fyll inn verditabellen.

Skildra med ord korleis grafen ser ut.

Kva skjer med funksjonsverdien når $x$ aukar med 1?

Løs oppgaven Tren

Horisontal asymptote

f(x) = a \cdot b^x

✏️Døme: Asymptote og avkjøling

Ein kopp kaffe har temperaturen 90 °C. Romtemperaturen er 20 °C. Avkjølinga kan modellerast med $T(x) = 70 \cdot 0{,}85^x + 20$ , der $x$ er tid i minutt. Kva er den horisontale asymptoten, og kva betyr ho?

Løysing:

Vi ser at funksjonen har forma $a \cdot b^x + c$ med $c = 20$ .

Den horisontale asymptoten er $y = 20$ .

Tolking: Kaffen kjem aldri under romtemperaturen (20 °C). Temperaturen nærmar seg 20 °C over tid, men når aldri heilt ned.

Lat oss sjekke nokre verdiar:
- $T(0) = 70 \cdot 1 + 20 = 90$ °C (starttemperatur ✓)
- $T(5) = 70 \cdot 0{,}85^5 + 20 \approx 70 \cdot 0{,}444 + 20 \approx 51{,}1$ °C
- $T(10) = 70 \cdot 0{,}85^{10} + 20 \approx 70 \cdot 0{,}197 + 20 \approx 33{,}8$ °C
- $T(20) = 70 \cdot 0{,}85^{20} + 20 \approx 70 \cdot 0{,}039 + 20 \approx 22{,}7$ °C

Kaffen nærmar seg 20 °C, men kjem aldri heilt dit.

📝Oppgave 2

Funksjonen $f(x) = 5 \cdot 1{,}5^x$ og funksjonen $g(x) = 80 \cdot 0{,}7^x$ er gitt.

Kva er den horisontale asymptoten for kvar funksjon?

For kva $x$ -verdiar nærmar grafen seg asymptoten?

Kva er den horisontale asymptoten til $h(x) = 50 \cdot 0{,}9^x + 15$ ?

Eksponentiell kontra lineær vekst

Det er viktig å forstå skilnaden mellom lineær og eksponentiell vekst:

Eigenskaper	Lineær funksjon	Eksponentialfunksjon
Formel	$f(x) = ax + b$	$f(x) = a \cdot b^x$
Endring per periode	Konstant beløp	Konstant prosent
Graf	Rett linje	Kurve
Døme	500 kr meir kvart år	5 % meir kvart år

Viktig innsikt: Over lang nok tid vil eksponentiell vekst alltid overgå lineær vekst, uansett kor bratt den lineære funksjonen er. Det er fordi den prosentvise auka til slutt gir ein større absolutt auka enn det faste tillegget.

✏️Døme: Samanlikning av vekstmodellar

To kommunar i Nordland har kvar 5 000 innbyggarar i dag. Kommune A veks med 80 personar per år (lineær vekst). Kommune B veks med 1,5 % per år (eksponentiell vekst). Samanlikn utviklinga dei neste 30 åra.

Løysing:

Kommune A (lineær): $f(x) = 80x + 5\,000$

Kommune B (eksponentiell): $g(x) = 5\,000 \cdot 1{,}015^x$

År ( $x$ )	Kommune A	Kommune B
0	5 000	5 000
5	5 400	5 386
10	5 800	5 804
15	6 200	6 254
20	6 600	6 739
25	7 000	7 263
30	7 400	7 828

Observasjonar:
- I starten (dei fyrste 5-6 åra) veks A raskare enn B
- Rundt år 7-8 kryss grafane kvarandre
- Etter det veks B stadig raskare enn A
- Skilnaden aukar meir og meir over tid
Svar: Kommune B (eksponentiell vekst) har 428 fleire innbyggarar enn A etter 30 år, og skilnaden vil berre auka.

📝Oppgave 3

To vener legg kvar 20 000 kr i banken. Anna vel ein konto med 800 kr i rente kvart år (enkel rente). Bjørn vel ein konto med 3,5 % rente med rentes rente.

Skriv opp ein funksjon for kvar av dei to.

Rekn ut kor mykje kvar har etter 5, 10 og 20 år.

Etter omtrent kor mange år har Bjørn meir enn Anna?

Transformasjonar av eksponentialfunksjonar

Vi kan endre utsjånaden til grafen ved å justere parametrane:

Endre $a$ (startverdien):
- Større $a$ → grafen startar høgare opp
- Negativ $a$ → grafen blir spegla om $x$ -aksen

Endre $b$ (vekstfaktoren):
- $b$ nær 1 → seint endringar (flat kurve)
- $b$ langt frå 1 → rask endring (bratt kurve)
- $b = 2$ → dobling per steg
- $b = 0{,}5$ → halvering per steg

Leggje til ein konstant $c$ : $f(x) = a \cdot b^x + c$
- Flyttar grafen opp eller ned
- Endrar asymptoten frå $y = 0$ til $y = c$

Bruk digitale verktøy!
GeoGebra og andre grafverktøy er framstår for å utforske korleis endringar i $a$ , $b$ og $c$ påverkar grafen. Du kan lage glidebrytarar for parametrane og sjå korleis grafen endrar seg i sanntid.

📊Utforsk eksponentialfunksjonar

Bruk glidebrytarar for $a$ , $b$ og $c$ til å sjå korleis $f(x) = a \cdot b^x + c$ endrar seg.

📝Oppgave 4

Bruk GeoGebra eller eit anna digitalt verktøy til å teikne grafene til desse funksjonane i same koordinatsystem.

Teikn $f(x) = 2^x$ , $g(x) = 3^x$ og $h(x) = 1{,}1^x$ i same koordinatsystem. Kva skjer når $b$ aukar?

Teikn $f(x) = 0{,}5^x$ , $g(x) = 0{,}8^x$ og $h(x) = 0{,}95^x$ . Kva skjer når $b$ nærmar seg 1?

📝Oppgave 5

Under ser du fire grafer. Kvar av dei høyrer til ein av funksjonane under. Kopla riktig graf til riktig funksjon.

Funksjonar:
1. $f(x) = 2 \cdot 1{,}5^x$
2. $g(x) = 10 \cdot 0{,}6^x$
3. $h(x) = 4 \cdot 0{,}9^x + 3$
4. $k(x) = 0{,}5 \cdot 3^x$

📝Oppgave 6

Ein gryte med vatn er 95 °C. Romtemperaturen er 22 °C. Avkjølingen kan modellerast med $T(x) = 73 \cdot 0{,}92^x + 22$ , der $x$ er tid i minutt.

Kva er den horisontale asymptoten, og kva betyr ho i praksis?

Lag ein verditabell og teikn grafen for $x = 0, 5, 10, 15, 20, 30$ .

Etter kor mange minutt er vatnet under 30 °C?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Elias skal finne

f(0)

for funksjonen

f(x) = 3 \cdot 2^x

. Han skriv:

$f(0) = 3 \cdot 2^0 = 3 \cdot 0 = 0$

«Grafen startar i origo,» konkluderer Elias.

Finn feilen og skriv riktig utrekning.

📝Oppgave S1

Sant eller usant?

Grafen til ein eksponentialfunksjon $f(x) = a \cdot b^x$ (der $a > 0$ og $b > 0$ ) kryssar alltid $x$ -aksen.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Ein lineær funksjon

g(x) = 100x + 500

og ein eksponentialfunksjon

f(x) = 500 \cdot 1{,}1^x

startar båe med verdien 500 når

x = 0

. Samanlikn dei to funksjonane. For kva verdiar av

x

er den eine størst? Kva modell ville du valt for å beskrive lønnsvekst over 30 år, og kvifor?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Grafer til eksponentialfunksjonar kan teiknjast ved hjelp av verditabellar
- Vekst ( $b > 1$ ) gir ein stigande kurve som blir brattare og brattare
- Nedgang ( $0 < b < 1$ ) gir ein fallande kurve som flatar ut
- Horisontal asymptote: linja grafen nærmar seg men aldri når ( $y = 0$ eller $y = c$ )
- Eksponentiell vs. lineær: Eksponentiell vekst aukar prosentvis, lineær vekst aukar med fast beløp
- Transformasjonar: $a$ styr startverdien, $b$ styr kor bratt kurva er, $c$ flyttar asymptoten

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Horisontal asymptote	Linje grafen nærmar seg men aldri kryssar
Lineær vekst	Fast auke per periode (rett linje)
Eksponentiell vekst	Prosentvis auke per periode (kurve)
Verditabell	Tabell med $x$ - og $f(x)$ -verdiar for å teikne graf
Transformasjon	Endring av $a$ , $b$ eller $c$ i funksjonsuttrykket

📝Oppgave 7

Grafen til ein eksponentialfunksjon $f(x) = a \cdot b^x + c$ går gjennom punkta $(0, 12)$ og $(3, 5{,}375)$ , og har horisontal asymptote $y = 2$ .

Bestem verdien av $c$ .

Bestem verdien av $a$ .

Bestem verdien av $b$ .

Skriv opp funksjonen og bekreft ved å rekne ut $f(3)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Ein bruktbilforhandlar i Bergen har følgjande data for ein bestemt bilmodell:

Nypris: 420 000 kr. Verdi etter 1 år: 340 000 kr. Verdi etter 3 år: 222 000 kr. Finn vekstfaktoren og skriv opp ein eksponentialfunksjon for verdifallet.

Kor mykje er bilen verd etter 7 år ifølgje modellen?

Teikn grafen for $x = 0$ til $x = 10$ og samanlikn med ein lineær modell som gir same verdi etter 1 år.

Drøft kvifor ein eksponentiell modell er meir realistisk for bilverdi enn ein lineær modell.

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.