6.2 Vekstfaktor | Matematikk 10. klasse

Bruke vekstfaktor til å beregne gjentatt prosentvis endring.

50 min

14 oppgaver

VekstfaktorGjentatt prosentvis endringEksponentiell vekst

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Prosentregning

Brukes videre i

6.3Rente og lån 9.1Eksponentiell vekst og nedgang

Innleiing

Når noko endrast med ein fast prosent fleire gonger, er det tungvint å berekne kvar endring for seg. Vekstfaktor gjer dette mykje enklare! Vekstfaktor blir brukt til å beskrive eksponentiell vekst og nedgang, som me finn overalt: befolkningsvekst, inflasjon, renter og verdifall på bilar.

Vekstfaktor

\text{vekstfaktor} = 1 + \frac{p}{100}

✏️Døme 1: Finne vekstfaktor

Finn vekstfaktoren for:
a) 12% auke
b) 7% reduksjon
c) Verdi som tredoblar seg
d) Verdi som blir redusert til ein fjerdedel

Løysing:

a) Vekstfaktor $= 1 + 0{,}12 = 1{,}12$

b) Vekstfaktor $= 1 - 0{,}07 = 0{,}93$

c) Vekstfaktor $= 3$ (tredobling)

d) Vekstfaktor $= 0{,}25$ (ein fjerdedel)

📝Oppgave 1

Finn vekstfaktoren

5% auke

20% reduksjon

3,5% auke

0,5% reduksjon

Verdien dobblar seg

Verdien blir redusert til 60% av opphavleg

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Finn prosentendringen ut frå vekstfaktoren

Vekstfaktor 1,15

Vekstfaktor 0,72

Vekstfaktor 1,025

Vekstfaktor 0,95

Løs oppgaven Tren

Gjentatt prosentvis endring

\text{ny verdi} = \text{gammal verdi} \cdot v^n

✏️Døme 2: Gjentatt prosentvis endring

a) Ein investering på 50 000 kr veks med 6% per år. Kva er verdien etter 8 år?

b) Ein bil til 400 000 kr misser 18% av verdien kvart år. Kva er bilen verdt etter 5 år?

Løysing:

a) Vekstfaktor $= 1{,}06$

Verdi etter 8 år $= 50\,000 \cdot 1{,}06^8 = 50\,000 \cdot 1{,}594 \approx 79\,692$ kr

b) Vekstfaktor $= 0{,}82$

Verdi etter 5 år $= 400\,000 \cdot 0{,}82^5 = 400\,000 \cdot 0{,}371 \approx 148\,481$ kr

📝Oppgave 3

Berekn verdi etter gjentatt endring

Ein sparekonto med 20 000 kr får 4% rente per år. Kva er verdien etter 5 år?

Ein befolkning på 8 000 veks 2% per år. Kor mange er det etter 10 år?

Ein maskin til 150 000 kr mistar 25% av verdien årleg. Kva er ho verd etter 3 år?

Prisane stig 3% per år. Kor mykje kostar ei vare til 500 kr om 15 år?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåvene om eksponentiell vekst

Ein bakteriekoloni dobblas kvar time. Kor mange bakteriar er det etter 6 timar viss det starta med 100?

Eit radioaktivt stoff halveras kvart 5. år. Kor mykje gjenstår av 200 g etter 20 år?

Ein PC mistar 30% av verdien årleg. Etter kor mange år er ho verd mindre enn halvparten av kjøpsprisen?

Løs oppgaven Tren

Finne antall periodar og doblingtid

\text{Doblingtid} \approx \frac{70}{\text{vekstprosent}}

✏️Døme 3: Doblingtid og halveringtid

a) Omtrent kor lang tid tek det å doble ei investering med 5% årleg rente?

b) Eit medikament i blodet halveras kvar 4. time. Kor mykje gjenstår av 100 mg etter 12 timar?

Løysing:

a) Tommelfingerregelen: Doblingtid $\displaystyle \approx \frac{70}{5} = 14$ år

Låt oss sjekke: $1{,}05^{14} \approx 1{,}98$ (nesten dobling). Stemmer!

b) Antall halveringspariodar: $\displaystyle \frac{12}{4} = 3$

Mengde etter 12 timar $= 100 \cdot 0{,}5^3 = 100 \cdot 0{,}125 = 12{,}5$ mg

📝Oppgave 5

Bruk tommelfingerregelen

Kor lang tid tek det omtrent å doble ei investering med 10% årleg rente?

Med 2% årleg befolkningsvekst, kor lang tid tek det før befolkninga dobblas?

Prisane stig 3,5% per år. Omtrent kor lang tid tek det før prisane dobblas?

Ei investering blei dobla på 5 år. Omtrent kva årleg rente gav ho?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Finn antall periodar med prøving og feiling

Kor mange år tek det før 10 000 kr blir til meir enn 15 000 kr med 8% årleg rente?

Ei bil mistar 20% av verdien årleg. Etter kor mange år er ho verd under 40% av kjøpsprisen?

Med 15% årleg vekst, kor mange år tek det å tredoble ei verdi?

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 4: Finne årleg vekstrate

Ein aksje steig frå 150 kr til 240 kr på 4 år. Kva var den gjennomsnittlege årlege vekstraten?

Løysing:

Vi veit at: $150 \cdot v^4 = 240$

Løyser for $v$ :
$v^4 = \frac{240}{150} = 1{,}6$

$v = \sqrt[4]{1{,}6} = 1{,}6^{0{,}25} \approx 1{,}125$

Årleg vekstrate: $1{,}125 - 1 = 0{,}125 = 12{,}5\%$

📝Oppgave 7

Finn den årlege vekstraten

Ein investering vaks frå 25 000 kr til 40 000 kr på 10 år. Finn årleg vekstrate.

Ein befolkning auka frå 50 000 til 80 000 på 20 år. Finn årleg vekstrate.

Ein bil sank i verdi frå 350 000 kr til 140 000 kr på 5 år. Finn årleg verdifall.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Samanlikn ulike vekstscenario

Kva er best over 15 år: 80 000 kr med 6% rente, eller 100 000 kr med 4% rente?

Samanlikn: 5% vekst per år i 20 år vs. 10% vekst per år i 10 år.

Løs oppgaven Tren

Praktiske anvendingar av vekstfaktor

Inflasjon: Når prisene stig 3% per år, kan vi rekne ut kva ting vil koste i framtida.

Befolkingsvekst: Demografar brukar vekstfaktorar for å føresjå framtidig befolking.

Investeringar: Renter og avkastning blir rekna ut med vekstfaktorar.

Verdifall: Bilar, elektronikk og maskineri mistar verdi over tid.

📝Oppgave 9

Praktiske anvendingar

Inflasjonen er 4% per år. Kva vil ein lunsj til 120 kr koste om 10 år?

Norges befolking er 5,5 millionar og veks 0,8% per år. Kva blir ho om 25 år?

Ein elbil til 450 000 kr mistar 15% av verdien årleg. Kva er ho verd etter 4 år?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Avanserte praktiske oppgåver

Du set inn 1000 kr kvar månad på ein konto med 0,4% månadsrente. Omtrent kor mykje har du etter 12 månader? (Hint: Det fyrste innskuddet får renter i 12 månader, det siste i 1 månad.)

Lønna di aukar 3% kvart år. Du tener 35 000 kr/mnd no. Kva er månadsløna di om 20 år, og kva er den totale løna du mottek over desse 20 åra? (Forenkla: bruk årsløn)

📝Oppgave 11

Utfordringoppgåver

Ein vekstfaktor på 1,05 svarar til 5% vekst per år. Kva blir den tilsvarande månadsleg vekstfaktoren?

To byar har befolkning på 100 000 kvar. By A veks 3% per år, by B veks 1% per år. Etter kor mange år har A dobbelt så mange innbyggarar som B?

Eit aksjefond hadde følgjande årleg avkastning: År 1: +20%, År 2: -10%, År 3: +15%, År 4: -5%. Kva var gjennomsnittleg årleg avkastning?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Modellering med vekstfaktor

Ein kaffemaskin til 8000 kr misser 25% av verdien første år og 15% kvart år etterpå. Kva er ho verd etter 4 år?

Antal elevar på ein skule synk 2% per år. No er det 450 elevar. Kor mange år til det er under 400 elevar?

Ein startup veks 50% per år. Ho har no 10 tilsette. Kor mange tilsette har ho om 5 år?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Samansette problem

Ein investering gir 8% årleg avkastning. Du tek ut 5% av verdien kvart år. Veks eller synk investeringa over tid?

Prisen på ei vare stigar 4% per år, men produksjonskostnadane synk 2% per år. Fortjenesten er no 20% av prisen. Kva blir fortjenesten (i prosent av prisen) om 10 år?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Kritisk tenking om vekst

Kan eksponentiell vekst halde fram i det endelaust? Diskuter med dømet bakteriar som doblar seg kvar time, startande med 1 bakterie.

Kvifor brukar vi "gjennomsnittleg årleg vekst" når faktisk vekst varierer frå år til år?

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Vekstfaktor: Berekning av vekstfaktoren frå ein prosentvis endring med formelen $\displaystyle v = 1 + \frac{p}{100}$
- Gjenteken prosentvis endring: Bruk av formelen $\text{ny verdi} = \text{gammal verdi} \cdot v^n$ for endringar over fleire periodar
- Doblingtid og halveringtid: Bruk av 70-regelen ( $\displaystyle \text{doblingtid} \approx \frac{70}{\text{vekstprosent}}$ ) for raske estimat
- Finna antal periodar: Bruk av prøving og feiling for å finna kor mange periodar som trengs for å nå ein bestemt verdi
- Finna vekstrate frå data: Berekning av den gjennomsnittlege årleg vekstraten frå start- og sluttverdi

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Vekstfaktor	Talet vi gangar med per periode ( $v > 1$ : vekst, $v < 1$ : nedgang)
Eksponentiell vekst	Vekst der verdien aukar med fast prosent per periode
Eksponentiell nedgang	Nedgang der verdien synk med fast prosent per periode
Doblingtid	Tida det tek før ein verdi doblar seg
Halveringtid	Tida det tek før ein verdi halverar seg
70-regelen	Tommelfingerregel: doblingtid $\displaystyle \approx \frac{70}{\text{vekstprosent}}$

Viktige formlar

- Vekstfaktor:

\displaystyle v = 1 + \frac{p}{100}

- Gjenteken endring:

\text{ny verdi} = \text{startverdi} \cdot v^n

- Doblingtid:

\displaystyle \approx \frac{70}{p}

der

p

er vekstprosenten
- Finna årleg vekstfaktor:

\displaystyle v = \left(\frac{\text{sluttverdi}}{\text{startverdi}}\right)^{\frac{1}{n}}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.