6.2 Vekstfaktor

Vekstfaktor -- det magiske gangetallet

I forrige kapittel så vi at prosentvise endringer handler om å gange med et tall. En økning på 20% betyr at vi ganger med 1,20. En nedgang på 15% betyr at vi ganger med 0,85. Dette gangetallet kalles vekstfaktoren, og det er nøkkelen til å forstå eksponentiell vekst og nedgang.

Vekstfaktor er tallet vi ganger med for å få ny verdi etter en prosentvis endring:

$$\text{vekstfaktor} = 1 + \frac{p}{100}$$

der $p$ er prosentendringen (positiv for økning, negativ for reduksjon).

Noen eksempler: 8% økning gir vekstfaktor $1{,}08$. 15% reduksjon gir $0{,}85$. Dobling gir $2$. Halvering gir $0{,}5$.

Når vekstfaktoren er større enn 1, øker verdien. Når den er mindre enn 1, synker verdien. Og den andre veien: en vekstfaktor på $1{,}15$ betyr 15% økning, mens $0{,}72$ betyr 28% reduksjon (fordi $1 - 0{,}72 = 0{,}28$).

Gjentatt prosentvis endring -- eksponentiell vekst

Det virkelig kraftige med vekstfaktor er når den samme endringen skjer flere ganger. I stedet for å beregne hver endring for seg, bruker vi:

$$\text{ny verdi} = \text{gammel verdi} \cdot v^n$$

der $v$ er vekstfaktoren og $n$ er antall perioder.

En investering på 50 000 kr vokser med 6% per år. Etter 8 år:
$$50\,000 \cdot 1{,}06^8 = 50\,000 \cdot 1{,}594 \approx 79\,692 \text{ kr}$$

En bil til 400 000 kr mister 18% av verdien hvert år. Etter 5 år:
$$400\,000 \cdot 0{,}82^5 = 400\,000 \cdot 0{,}371 \approx 148\,481 \text{ kr}$$

Bilen har altså mistet over halvparten av verdien på 5 år! En sparekonto med 20 000 kr og 4% rente gir etter 5 år: $20\,000 \cdot 1{,}04^5 \approx 24\,333$ kr.

En bakteriekoloni dobles hver time. Med 100 bakterier i starten: etter 6 timer er det $100 \cdot 2^6 = 6400$ bakterier. Et radioaktivt stoff halveres hvert 5. år. Av 200 g gjenstår etter 20 år (4 halveringsperioder): $200 \cdot 0{,}5^4 = 12{,}5$ g.

Doblingtid og 70-regelen

Hvor lang tid tar det å doble en investering? Det avhenger av renta, og det finnes en elegant tommelfingerregel:

$$\text{Doblingtid} \approx \frac{70}{\text{vekstprosent}}$$

Med 7% årlig vekst tar det ca. $\displaystyle \frac{70}{7} = 10$ år å doble. Med 5% rente: ca. $\displaystyle \frac{70}{5} = 14$ år. La oss sjekke: $1{,}05^{14} \approx 1{,}98$ -- nesten nøyaktig dobbelt!

En investering som doblet seg på 5 år må ha hatt ca. $\displaystyle \frac{70}{5} = 14\%$ årlig rente.

For halveringstid gjelder det samme. Et medikament i blodet halveres hver 4. time. Av 100 mg gjenstår etter 12 timer (3 halveringsperioder): $100 \cdot 0{,}5^3 = 12{,}5$ mg.

Når vi trenger nøyaktig antall perioder, bruker vi prøving og feiling. Eksempel: Hvor mange år tar det før 10 000 kr blir til 15 000 kr med 8% rente?

$1{,}08^5 \approx 1{,}47$ gir ca. 14 693 kr -- ikke nok. $1{,}08^6 \approx 1{,}59$ gir ca. 15 869 kr -- nok! Svar: 6 år.

Finne årlig vekstrate og sammenligne scenarier

Noen ganger kjenner vi start- og sluttverdien og vil finne den årlige vekstraten. En aksje steg fra 150 kr til 240 kr på 4 år. Hva var den årlige vekstraten?

$$v^4 = \frac{240}{150} = 1{,}6 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt[4]{1{,}6} \approx 1{,}125$$

Årlig vekstrate: $12{,}5\%$.

Vi kan også sammenligne forskjellige vekstscenarier. Hva er best over 15 år: 80 000 kr med 6% rente, eller 100 000 kr med 4% rente?

- A: $80\,000 \cdot 1{,}06^{15} \approx 191\,736$ kr
- B: $100\,000 \cdot 1{,}04^{15} \approx 180\,094$ kr

Overraskende nok er det mindre beløpet med høyere rente som vinner! Renta har enorm kraft over lang tid.

Praktiske anvendelser: Inflasjonen er 4% per år -- en lunsj til 120 kr koster om 10 år: $120 \cdot 1{,}04^{10} \approx 178$ kr. Norges befolkning på 5,5 millioner med 0,8% vekst per år gir om 25 år: $5{,}5 \cdot 1{,}008^{25} \approx 6{,}7$ millioner.

Men kan eksponentiell vekst fortsette evig? Nei! Bakterier som dobles hver time gir etter 48 timer $2^{48} \approx 281$ billioner. Ressursbegrensninger vil alltid stoppe veksten.

Oppsummering

- Vekstfaktor: Tallet vi ganger med: $\displaystyle v = 1 + \frac{p}{100}$. Større enn 1 = vekst. Mindre enn 1 = nedgang.

- Gjentatt endring: $\text{ny verdi} = \text{gammel verdi} \cdot v^n$, der $v$ er vekstfaktoren og $n$ er antall perioder.

- 70-regelen: Doblingtid $\displaystyle \approx \frac{70}{\text{vekstprosent}}$. Nyttig for raske overslag.

- Finne vekstrate: Total vekstfaktor = sluttverdi / startverdi. Årlig faktor = ta $n$-te rot.

- Eksponentiell vekst er ekstremt kraftig over tid: høyere rente på lavere beløp kan slå lavere rente på høyere beløp.

- Vekst kan ikke vare evig: Ressursbegrensninger stopper alltid eksponentiell vekst i praksis.