5.2 Sannsynlighetsberegning | Matematikk 10. klasse

Beregne sannsynligheter for uavhengige og avhengige hendelser.

55 min

14 oppgaver

SannsynlighetUavhengige hendelserAvhengige hendelserBetinget sannsynlighet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Kombinatorikk

Innleiing

Sannsynslegsrekning handlar om å berekne sjansen for at hendingar inntref. Vi byggjer vidare på klassisk sannsynsleik og lærer å handtera meir komplekse situasjonar:

- Uavhengige hendingar - utfallet av éin påverkar ikkje den andre
- Avhengige hendingar - utfallet av éin påverkar den andre
- Betinga sannsynsleik - sannsynsleik gjeve at noko har skjedd

Klassisk sannsynsleik

A

✏️Døme 1: Terningkast

Ein vanleg terning kastast. Finn sannsynsleiken for å få:
a) Talet 4
b) Eit partal
c) Eit tal større enn 4

Løysing:

Moglege utfall: {1, 2, 3, 4, 5, 6} - totalt 6 utfall

a) Gunstige for "4": {4} - 1 utfall
$P(4) = \frac{1}{6}$

b) Gunstige for partal: {2, 4, 6} - 3 utfall
$P(\text{partal}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

c) Gunstige for tal > 4: {5, 6} - 2 utfall
$P(\text{tal} > 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

📝Oppgave 1

Berekn sannsynsleikane for enkle hendingar.

Ein terning kastast. Finn sannsynsleiken for å få 6.

Ein terning kastast. Finn sannsynsleiken for å få eit oddetal.

Ein mynt kastast. Finn sannsynsleiken for kron.

I ei pose er det 4 raude, 3 blå og 2 grøne kuler. Finn sannsynsleiken for å trekkje ei raud kule.

Løs oppgaven Tren

Addisjonssetningen

A

Ein standard kortstokk har 52 kort fordelt på 4 fargar:

Farge	Symbol	Farge på kortet
Hjarter	♥	Raud
Rutar	♦	Raud
Spader	♠	Sort
Kløver	♣	Sort

Kvar farge har 13 kort: Ess (1), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Knekt, Dame, Konge.
Nyttige tal:
- Totalt: 52 kort
- Kvar farge: 13 kort
- Raude kort: 26 (hjarter + rutar)

- Sorte kort: 26 (spader + kløver)

- Ess: 4 (eitt i kvar farge)
- Bildekkort (knekt, dame, konge): 12 (3 per farge)

✏️Døme 2: Korttrekk med addisjonssetningen

Frå ein kortstokk med 52 kort trekjast eitt kort. Finn sannsynsleiken for å få rutar eller eit ess.

Løysing:

- Rutar: 13 kort $\displaystyle \Rightarrow P(\text{rutar}) = \frac{13}{52}$
- Ess: 4 kort $\displaystyle \Rightarrow P(\text{ess}) = \frac{4}{52}$
- Rutar-ess: 1 kort $\displaystyle \Rightarrow P(\text{rutar og ess}) = \frac{1}{52}$

Sidan man kan få rutar-ess (båe samtidig), brukar vi addisjonssetningen:

$P(\text{rutar eller ess}) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$

📝Oppgave 2

Bruk addisjonssetningen.

Ein terning kastast. Finn sannsynsleiken for å få 2 eller 5.

Eit kort trekjast. Finn sannsynsleiken for spader eller knekt.

I ei klasse er 15 med i fotball og 12 i handball, hvorav 5 i båe. Klassen har 30 elevar. Finn sannsynsleiken for at ein tilfeldig elev er med i fotball eller handball.

Løs oppgaven Tren

Uavhengige hendingar

A

✏️Døme 3: To terningkast

To terningar blir kastа. Finn sannsynet for å få 6 på begge.

Løysing:

Terningane er uavhengige - resultatet av den eine påverkar ikkje den andre.

$\displaystyle P(6 \text{ på første}) = \frac{1}{6}$

$\displaystyle P(6 \text{ på andre}) = \frac{1}{6}$

$P(6 \text{ på begge}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

✏️Døme 4: Gjentekne myntkast

Ein mynt blir kasta 4 gonger. Finn sannsynet for å få kron alle gangane.

Løysing:

Kvar kast er uavhengig med $\displaystyle P(\text{kron}) = \frac{1}{2}$ .

$P(4 \text{ kron}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$

📝Oppgave 3

Rekn med uavhengige hendingar.

To terningar blir kastа. Finn sannsynet for å få 1 på begge.

Ein mynt blir kasta 3 gonger. Finn sannsynet for 3 kron.

To kort blir tekne MED tilbakelegging. Finn sannsynet for to ess.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Løys oppgåver med uavhengige hendingar.

Eit lyskryss er grønt 40% av tida. Finn sannsynet for grønt i to kryss etter kvarandre.

Ein basketballspelar har 70% treffprosent på frikast. Finn sannsynet for å treffe 3 frikast på rad.

Ein terning blir kasta 5 gonger. Finn sannsynet for å IKKJE få 6 nokon av gangane.

Løs oppgaven Tren

Avhengige hendingar

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

✏️Døme 5: Treking utan tilbakelegging

Frå ein kortstokkk blir to kort tekne UTAN tilbakelegging. Finn sannsynet for at begge er ess.

Løysing:

Første kort - ess: $\displaystyle P = \frac{4}{52}$

Andre kort - ess (gitt at første var ess): $\displaystyle P = \frac{3}{51}$ (3 ess igjen av 51 kort)

$P(\text{to ess}) = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$

✏️Døme 6: Kuler i pose

Ein pose inneheld 5 røde og 3 blå kuler. To kuler blir tekne utan tilbakelegging. Finn sannsynet for at begge er røde.

Løysing:

Totalt 8 kuler (5 røde, 3 blå).

Første rød: $\displaystyle P = \frac{5}{8}$

Andre rød (gitt første rød): $\displaystyle P = \frac{4}{7}$ (4 røde igjen av 7 kuler)

$P(\text{to røde}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

📝Oppgave 5

Rekn med avhengige hendingar (utan tilbakelegging).

To kort blir tekne utan tilbakelegging. Finn sannsynet for to hjerter.

Ein pose har 6 røde og 4 grønne kuler. To blir tekne utan tilbakelegging. Sannsyn for to grønne?

Frå ein gruppe på 8 jenter og 7 gutar blir to vald tilfeldig. Sannsynet for to gutar?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Løys oppgåver med fleire trekningar utan tilbakelegging.

Tre kort trekkast utan tilbakelegging. Finn sannsynet for tre spar.

Ein pose har 10 kuler: 6 kvite og 4 svarte. Tre trekkast. Sannsynet for tre kvite?

Løs oppgaven Tren

Betinga sannsynlighet

P(B|A)

✏️Døme 7: Betinga sannsynlighet

I ein klasse er 60% jenter. 30% av jentene spelar fotball, og 50% av gutane spelar fotball. Finn sannsynet for at ein tilfeldig elev som spelar fotball er jente.

Løysing:

La J = jente, G = gut, F = spelar fotball.

$P(J) = 0{,}60$ , $P(G) = 0{,}40$
$P(F|J) = 0{,}30$ , $P(F|G) = 0{,}50$

Først finn vi $P(F)$ med total sannsynlighet:
$P(F) = P(J) \cdot P(F|J) + P(G) \cdot P(F|G)$
$= 0{,}60 \cdot 0{,}30 + 0{,}40 \cdot 0{,}50 = 0{,}18 + 0{,}20 = 0{,}38$

Nå brukar vi Bayes' setning:
$P(J|F) = \frac{P(J) \cdot P(F|J)}{P(F)} = \frac{0{,}60 \cdot 0{,}30}{0{,}38} = \frac{0{,}18}{0{,}38} \approx 0{,}474$

Sannsynet er ca. 47,4%.

📝Oppgave 7

Bruk betinga sannsynlighet.

I ein gruppe er 40% gutar. 25% av gutane har briller, og 20% av jentene har briller. Finn sannsynet for at ein tilfeldig person med briller er gut.

Ein test for ein sjukdom er positiv 95% av tida viss personen er sjuk, og positiv 3% av tida viss personen er frisk. 1% av befolkninga er sjuk. Finn sannsynet for å vere sjuk gitt positiv test.

Løs oppgaven Tren

Komplementær sannsynlighet

For hendingar av typen "minst ein" er det ofte lettare å rekna:

$P(\text{minst ein}) = 1 - P(\text{ingen})$

Detta kallast komplementmetoden.

✏️Døme 8: Minst ein 6-ar

Ein terning blir kasta 4 gonger. Finn sannsynet for å få minst ein 6-ar.

Løysing:

$P(\text{minst ein 6-ar}) = 1 - P(\text{ingen 6-arar})$

$\displaystyle P(\text{ikkje 6}) = \frac{5}{6}$ for kvar kast.

$P(\text{ingen 6-arar}) = \left(\frac{5}{6}\right)^4 = \frac{625}{1296}$

$P(\text{minst ein 6-ar}) = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0{,}518$

Sannsynet er ca. 51,8%.

📝Oppgave 8

Bruk komplementmetoden.

Ein mynt blir kasta 5 gonger. Finn sannsynet for minst ein kron.

To terningar blir kasta. Finn sannsynet for at minst ein viser 1.

Ei familie har 4 barn. Finn sannsynet for minst ei jente (50/50 for kvart barn).

Løs oppgaven Tren

Samansette problem

I mange oppgåver må vi kombinera fleire teknikkar:
- Telja utfall med kombinatorikk
- Bruka addisjons- eller multiplikasjonsetningen
- Avgjera om hendingar er uavhengige eller avhengige
- Bruka komplementmetoden

✏️Døme 9: Terningsum

To terningar blir kasta. Finn sannsynet for at summen blir 7.

Løysing:

Totalt tal på utfall: $6 \cdot 6 = 36$

Gunstige utfall (sum = 7):
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) - totalt 6 utfall

$P(\text{sum} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

📝Oppgave 9

Løys oppgåver med to terningar.

To terningar blir kasta. Finn sannsynet for sum 11.

To terningar kastast. Finn sannsynet for at summen er minst 10.

To terningar kastast. Finn sannsynet for at produktet er 12.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Samansetjte sannsynsoppgåver.

Tre kort trekkjast frå ein kortstokk utan tilbakelegging. Finn sannsynet for minst eitt ess.

Ein pose har 3 røde, 2 blå og 5 grøne kuler. To trekkjast. Finn sannsynet for ulike fargar.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Løys utfordrarande sannsynsoppgåver.

3 venner møtast. Finn sannsynet for at minst 2 har bursdag same ukedag.

Du skal kasta ein terning til du får 6. Finn sannsynet for at du treng nøyaktig 3 kast.

Eit lag vinn kvar kamp med 60% sannsynet. Finn sannsynet for å vinna minst 2 av 3 kampar.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Avgjør om hendingane er uavhengige eller avhengige, og rekn ut.

Ein mynt kastast og ein terning kastast. Finn P(kron OG 6).

Frå ein kortstokk trekkjast 2 kort utan tilbakelegging. Finn P(første er ruter OG andre er spar).

Ein pose har 5 kvite og 5 svarte kuler. Éin trekkjast, leggst tilbake, så trekkjast éin til. P(begge kvite)?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Bruk trediagram eller tabell.

Ein mynt kastast to gonger. Bruk eit utfallstre til å finna sannsynet for nøyaktig éin kron.

To terningar kastast. Lag ein tabell over alle summar og finn den mest sannsyne summen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Utfordraroppgåver i sannsynlegheit.

Ein boks inneheld 2 gullmynter og 3 sylvmynter. Du trekkjer 2 mynter. Gitt at den første er gull, kva er sannsynet for at den andre også er gull?

Fødselsdagsparadokset: I ein gruppe på 23 personar, finn sannsynet for at minst to har same bursddag (ignorer skuddår).

Du kastar 3 terningar. Finn sannsynet for at alle viser same tal (Yatzy).

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Klassisk sannsyn: $\displaystyle P(A) = \frac{\text{gunstige utfall}}{\text{moglege utfall}}$
- Addisjonssetninga: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ for «eller»-hending
- Uavhengige hendings: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ når hendingane ikkje påverkar kvarandre
- Avhengige hendings: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$ ved trekkjing utan tilbakelegging
- Betinga sannsyn: $\displaystyle P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ , sannsyn gjeve at noko har skjedd
- Komplementsetninga: $P(\text{ikkje } A) = 1 - P(A)$

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Uavhengige hendings	Utfallet av den eine påverkar ikkje den andre
Avhengige hendings	Utfallet av den eine påverkar den andre
Betinga sannsyn	Sannsyn gjeve at noko har skjedd
Disjunkte hendings	Hendings som ikkje kan skje samstundes
Komplement	Alt som ikkje er hendinga: $1 - P(A)$

Viktige formlar

\displaystyle P(A) = \frac{\text{gunstige}}{\text{moglege}}

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

(uavhengige)
-

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

(avhengige)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.