5.2 Sannsynlighetsberegning

Hva er sjansen for det?

Hver gang du kaster en terning, trekker et kort eller krysser fingre for grønt lys, tenker du på sannsynlighet. Men sannsynlighetsregning handler om mer enn flaks -- det er et presist verktøy som brukes i alt fra forsikring og medisin til værmeldinger og spill.

Klassisk sannsynlighet er formelen du sannsynligvis kjenner fra før:

$$P(A) = \frac{\text{antall gunstige utfall}}{\text{antall mulige utfall}}$$

Sannsynligheten ligger alltid mellom 0 (umulig) og 1 (sikkert). Sannsynligheten for at noe IKKE skjer er $P(\text{ikke } A) = 1 - P(A)$.

La oss varme opp. En terning kastes: $\displaystyle P(4) = \frac{1}{6}$, $\displaystyle P(\text{partall}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, og $\displaystyle P(\text{tall} > 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Addisjonssetningen -- "eller"

Hva er sannsynligheten for å trekke ruter eller et ess fra en kortstokk med 52 kort?

Her må vi være forsiktige: ruter-esset er BÅDE ruter OG ess. Hvis vi bare legger sammen, teller vi det dobbelt. Løsningen er addisjonssetningen:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

"$A \cup B$" betyr "$A$ eller $B$ (eller begge)", og "$A \cap B$" betyr "$A$ og $B$ (begge skjer)". Så for ruter eller ess:

$$P(\text{ruter eller ess}) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}$$

Hvis hendelsene er disjunkte (de kan ikke skje samtidig), forenkles formelen til bare $P(A) + P(B)$. For eksempel er sannsynligheten for å kaste 2 eller 5 på en terning: $\displaystyle \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.

En kortstokk har for øvrig 52 kort fordelt på 4 farger (hjerter, ruter, spar, kløver) med 13 kort i hver. 26 røde kort (hjerter + ruter) og 26 sorte (spar + kløver).

Uavhengige hendelser -- når den ene ikke påvirker den andre

To terninger kastes. Påvirker resultatet av den første terningen den andre? Nei -- de er uavhengige. For uavhengige hendelser ganger vi sannsynlighetene:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Sannsynligheten for dobbelt sekser: $\displaystyle \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

En mynt kastes 4 ganger. Sannsynligheten for kron alle gangene: $\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$.

Et lyskryss er grønt 40% av tiden. Sannsynligheten for å få grønt i to kryss etter hverandre: $0{,}40 \cdot 0{,}40 = 0{,}16 = 16\%$.

En basketballspiller treffer 70% av frikast. Tre på rad: $0{,}70^3 = 0{,}343 = 34{,}3\%$.

Hva med trekking av kort? Med tilbakelegging er trekkene uavhengige: sannsynligheten for to ess etter hverandre er $\displaystyle \frac{4}{52} \cdot \frac{4}{52} = \frac{1}{169}$.

Avhengige hendelser -- når den ene påvirker den andre

Men hva om du trekker kort UTEN tilbakelegging? Da er første trekk påvirker det andre -- hendelsene er avhengige. Vi bruker multiplikasjonssetningen:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$$

der $P(B|A)$ betyr "sannsynligheten for $B$ gitt at $A$ har skjedd".

Trekk to kort uten tilbakelegging. Sannsynligheten for to ess:
- Første ess: $\displaystyle P = \frac{4}{52}$
- Andre ess (gitt at første var ess): $\displaystyle P = \frac{3}{51}$ (3 ess igjen av 51 kort)

$$P(\text{to ess}) = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = \frac{12}{2652} = \frac{1}{221}$$

En pose har 5 røde og 3 blå kuler. To trekkes uten tilbakelegging. Begge røde?

$$P = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$$

For tre kort av spar uten tilbakelegging: $\displaystyle \frac{13}{52} \cdot \frac{12}{51} \cdot \frac{11}{50} = \frac{11}{850}$.

Betinget sannsynlighet og komplementmetoden

Betinget sannsynlighet $P(B|A)$ er sannsynligheten for $B$ gitt at $A$ allerede har skjedd:

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

Et praktisk eksempel: I en klasse er 60% jenter. 30% av jentene spiller fotball, og 50% av guttene. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig fotballspiller er jente?

Først: $P(\text{fotball}) = 0{,}60 \cdot 0{,}30 + 0{,}40 \cdot 0{,}50 = 0{,}18 + 0{,}20 = 0{,}38$

Så med Bayes' setning: $\displaystyle P(\text{jente}|\text{fotball}) = \frac{0{,}18}{0{,}38} \approx 47{,}4\%$

For "minst en"-problemer bruker vi komplementmetoden: $P(\text{minst en}) = 1 - P(\text{ingen})$.

En terning kastes 4 ganger. Sannsynligheten for minst en 6-er:

$$P = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 51{,}8\%$$

To terninger kastes. Summen 7 er mest sannsynlig -- det finnes 6 gunstige utfall (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) av 36 mulige, så $\displaystyle P(\text{sum} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

Oppsummering

- Klassisk sannsynlighet: $\displaystyle P(A) = \frac{\text{gunstige}}{\text{mulige}}$, alltid mellom 0 og 1.

- Addisjonssetningen ("eller"): $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. For disjunkte hendelser: bare $P(A) + P(B)$.

- Uavhengige hendelser (ganger): $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Typisk: terningkast, myntkast, trekk med tilbakelegging.

- Avhengige hendelser (multiplikasjonssetningen): $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$. Typisk: trekk uten tilbakelegging.

- Betinget sannsynlighet: $\displaystyle P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$.

- Komplementmetoden: $P(\text{minst en}) = 1 - P(\text{ingen})$ -- ofte enklest for "minst en"-problemer.

Nøkkelspørsmål: Er hendelsene uavhengige eller avhengige? Tilbakelegging = uavhengig. Uten tilbakelegging = avhengig.