Tilbake
5.1
Kombinatorikk

5.1 Kombinatorikk

Alle fag for 10. klasse

Telle gunstige utfall systematisk med kombinatorikk.

50 min
14 oppgaver
KombinatorikkMultiplikasjonsprinsippetPermutasjonerKombinasjoner
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Innledning

Kombinatorikk handler om å telle antall muligheter på en systematisk måte. Dette er nyttig i mange sammenhenger - fra å beregne antall mulige passord til å finne sannsynligheter i spill og lotteri.

I dette kapittelet skal vi lære tre viktige verktøy:
- Multiplikasjonsprinsippet - for trinnvise valg
- Permutasjoner - når rekkefølge betyr noe
- Kombinasjoner - når rekkefølge ikke betyr noe

Multiplikasjonsprinsippet
Hvis en handling kan gjøres på mm måter, og en annen uavhengig handling kan gjøres på nn måter, kan begge handlingene til sammen gjøres på:

m⋅n ma˚term \cdot n \text{ måter}

Dette kan utvides til flere handlinger: m⋅n⋅p⋅...m \cdot n \cdot p \cdot ...

✏️Eksempel 1: Antrekk

Marie har 4 bukser og 5 t-skjorter. Hvor mange ulike antrekk kan hun lage?

Løsning:

Vi bruker multiplikasjonsprinsippet:

- Valg av bukse: 4 muligheter
- Valg av t-skjorte: 5 muligheter

Totalt antall antrekk = 4⋅5=204 \cdot 5 = 20

Marie kan lage 20 ulike antrekk.

✏️Eksempel 2: PIN-kode

En PIN-kode består av 4 siffer (0-9). Hvor mange ulike PIN-koder finnes?

Løsning:

Hvert siffer kan være 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 eller 9. Det gir 10 valg per posisjon.

Antall PIN-koder = 10⋅10⋅10⋅10=104=10 00010 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000

Det finnes 10 000 ulike PIN-koder.

📝Oppgave 1

Bruk multiplikasjonsprinsippet til å finne antall muligheter.

a

En restaurant tilbyr 3 forretter, 5 hovedretter og 4 desserter. Hvor mange ulike 3-retters menyer kan settes sammen?

b

Et bilskilt har 2 bokstaver (A-Z) etterfulgt av 5 siffer (0-9). Hvor mange ulike skilt kan lages?

c

Du skal velge brød (3 typer), pålegg (6 typer) og drikke (4 typer) til lunsj. Hvor mange kombinasjoner?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 2

Løs oppgavene med multiplikasjonsprinsippet.

a

Et passord skal ha 3 bokstaver (a-z, 26 valg) etterfulgt av 2 siffer (0-9). Hvor mange passord er mulige?

b

En kafé tilbyr 5 kaffetyper og 8 kakestykker. Hvor mange ulike kaffe-og-kake-valg finnes?

c

Et flervalgstest har 10 spørsmål med 4 svaralternativer hver. Hvor mange ulike besvarelser er mulige?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave F1
Finn feilen! Amina skal finne antall mulige 3-sifrede koder der hvert siffer er 0-9. Hun skriver:

«Første siffer: 10 valg. Andre siffer: 9 valg (ett er brukt). Tredje siffer: 8 valg.

Antall koder =10⋅9⋅8=720= 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720»

Finn feilen og skriv riktig utregning.

Fakultet
Fakultet skrives n!n! (leses "n fakultet") og defineres som:

n!=n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅...⋅2⋅1n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1

Eksempler:
- 5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120
- 4!=4⋅3⋅2⋅1=244! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24
- 1!=11! = 1
- 0!=10! = 1 (definert)

Permutasjoner
En permutasjon er en ordnet rekkefølge av elementer.

Antall permutasjoner av nn elementer:
Pn=n!P_n = n!

Antall permutasjoner av rr elementer valgt fra nn elementer:
P(n,r)=n!(n−r)!=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−r+1)P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot (n-r+1)

Permutasjoner brukes når rekkefølgen betyr noe.

✏️Eksempel 3: Rekkefølge i kø

På hvor mange måter kan 6 personer stille seg på rekke?

Løsning:

Første plass: 6 valg
Andre plass: 5 valg (én er allerede plassert)
Tredje plass: 4 valg
... og så videre

Antall måter = 6!=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=7206! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

Det er 720 måter å stille seg på rekke.

✏️Eksempel 4: Pallplasser

I et løp med 10 deltakere skal det deles ut gull, sølv og bronse. På hvor mange måter kan de tre første plassene fordeles?

Løsning:

Vi skal velge 3 fra 10, og rekkefølgen betyr noe (gull ≠ sølv ≠ bronse).

P(10,3)=10!(10−3)!=10!7!=10⋅9⋅8=720P(10,3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

Alternativt: Gull kan gå til 10 stk, sølv til 9 stk, bronse til 8 stk: 10⋅9⋅8=72010 \cdot 9 \cdot 8 = 720

Det er 720 måter å fordele pallplassene.

📝Oppgave 3

Beregn fakultet.

a

Beregn 5!5!

b

Beregn 7!7!

c

Forenkle 8!6!\displaystyle \frac{8!}{6!}

d

Forenkle 10!8!\displaystyle \frac{10!}{8!}

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 4

Løs oppgaver med permutasjoner.

a

På hvor mange måter kan 5 bøker ordnes på en hylle?

b

I en klasse på 25 elever skal det velges president, visepresident og sekretær. Hvor mange måter?

c

Hvor mange 4-sifrede tall kan lages av sifrene 1, 2, 3, 4, 5, 6 uten gjentagelse?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 5

Finn antall permutasjoner.

a

Et ord har 7 ulike bokstaver. På hvor mange måter kan bokstavene ordnes?

b

Fra et fotballag på 11 spillere skal det velges kaptein og visekaptein. Antall måter?

c

8 løpere skal ha plass 1 til 4. Antall muligheter?

Løs oppgavenTren
Kombinasjoner
En kombinasjon er et utvalg der rekkefølgen ikke betyr noe.

Antall måter å velge rr elementer fra nn elementer når rekkefølgen ikke betyr noe:

C(n,r)=(nr)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}

Leses "nn over rr" eller "nn velg rr".

Eksempel: (52)=5!2!⋅3!=5⋅42⋅1=10\displaystyle \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10

✏️Eksempel 5: Velge utvalg

En komité på 4 personer skal velges fra en gruppe på 10. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning:

Rekkefølgen betyr ikke noe (alle i komiteen er likestilte), så vi bruker kombinasjoner.

(104)=10!4!⋅6!=10⋅9⋅8⋅74⋅3⋅2⋅1=504024=210\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5040}{24} = 210

Det er 210 måter å velge komiteen.

✏️Eksempel 6: Lotteri

I et lotteri trekkes 6 tall fra tallene 1-34. Hvor mange ulike kombinasjoner finnes?

Løsning:

Rekkefølgen tallene trekkes i spiller ingen rolle (1, 5, 12, 20, 25, 34 er samme som 34, 25, 20, 12, 5, 1).

(346)=34!6!⋅28!=34⋅33⋅32⋅31⋅30⋅296!\binom{34}{6} = \frac{34!}{6! \cdot 28!} = \frac{34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot 29}{6!}

=968 330 880720=1 344 904= \frac{968\,330\,880}{720} = 1\,344\,904

Det finnes 1 344 904 kombinasjoner.

📝Oppgave 6

Beregn kombinasjoner.

a

Beregn (62)\binom{6}{2}

b

Beregn (83)\binom{8}{3}

c

Beregn (104)\binom{10}{4}

d

Beregn (77)\binom{7}{7}

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 7

Løs kombinasjonsproblemer.

a

På hvor mange måter kan 3 elever velges fra en klasse på 15 til å representere klassen?

b

Et håndballag skal ha 7 spillere på banen. Hvor mange ulike lag kan settes sammen fra en tropp på 12?

c

I poker får du 5 kort fra en kortstokk på 52. Hvor mange ulike hender finnes?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 8

Avgjør om det er permutasjon eller kombinasjon, og løs.

a

Velge 4 sanger fra 20 til en spilleliste (rekkefølgen i spillelisten betyr noe)

b

Velge 4 ingredienser fra 10 til en salat

c

Sette sammen en PIN-kode på 4 siffer (med gjentagelse)

Løs oppgavenTren

Sammensatte problemer

Noen ganger må vi kombinere flere metoder for å løse et problem. For eksempel kan vi bruke:

- Totalt minus uønskede: Finn alle muligheter, trekk fra de du ikke vil ha
- Del opp i tilfeller: Løs separat for hver situasjon, summer
- Kombinere kombinatorikk: Bruk både permutasjoner og kombinasjoner i samme oppgave

✏️Eksempel 7: Minst-problemer

Fra en gruppe på 6 gutter og 5 jenter skal det velges et utvalg på 4 personer. På hvor mange måter kan dette gjøres hvis det skal være minst 2 jenter?

Løsning:

"Minst 2 jenter" betyr 2, 3 eller 4 jenter. Vi deler opp i tilfeller:

2 jenter, 2 gutter:
(52)⋅(62)=10⋅15=150\binom{5}{2} \cdot \binom{6}{2} = 10 \cdot 15 = 150

3 jenter, 1 gutt:
(53)⋅(61)=10⋅6=60\binom{5}{3} \cdot \binom{6}{1} = 10 \cdot 6 = 60

4 jenter, 0 gutter:
(54)⋅(60)=5⋅1=5\binom{5}{4} \cdot \binom{6}{0} = 5 \cdot 1 = 5

Totalt: 150+60+5=215150 + 60 + 5 = 215 måter

📝Oppgave 9

Løs sammensatte kombinatoriske problemer.

a

Fra 7 nordmenn og 4 svensker skal det velges et lag på 5 med minst 2 svensker. Hvor mange måter?

b

Et passord på 4 tegn skal inneholde minst ett siffer (0-9). Bokstaver er A-Z (26 stk). Antall muligheter?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 10

Løs kombinasjonsproblemer med betingelser.

a

En komité på 5 skal velges fra 10 personer. Én bestemt person MÅ være med. Hvor mange måter?

b

Samme som over, men to bestemte personer KAN IKKE begge være med. Antall måter?

c

Du har 8 ulike bøker og skal velge 3 til ferietur. Hvor mange utvalg har med favorittboken din?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 11

Løs oppgaver med kortspill.

a

En kortstokk har 52 kort (4 farger, 13 verdier). Hvor mange måter kan du få 5 kort av samme farge (flush)?

b

Hvor mange måter kan du få 3 ess blant 5 kort?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 12

Bruk Pascals trekant.

a

Vis at (nr)=(nn−r)\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r} ved å beregne (62)\binom{6}{2} og (64)\binom{6}{4}

b

Beregn (50)+(51)+(52)+(53)+(54)+(55)\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5}

c

Bruk at (nr)+(nr+1)=(n+1r+1)\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1} til å finne (83)\binom{8}{3} hvis du vet (72)=21\binom{7}{2} = 21 og (73)=35\binom{7}{3} = 35

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 13

Utfordringsoppgaver i kombinatorikk.

a

En sjakkturning har 8 deltakere. Alle spiller mot alle én gang. Hvor mange partier spilles?

b

Et sjakk-sett har 8 offiserer (dronning, tårn, løper, springer) på hver side. Hvor mange måter kan hvite offiserer plasseres på rad 1 (8 felt)?

c

En pizzarestaurant har 12 toppinger. Du kan velge opptil 4. Hvor mange pizzavarianter finnes (inkludert uten topping)?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 14

Blandet øvelse - avgjør metode og løs.

a

Hvor mange måter kan bokstavene i ordet MATTE ordnes? (Merk: to T-er)

b

Et treningspass skal inneholde 3 øvelser fra 8 mulige. Rekkefølgen er viktig. Antall muligheter?

c

Lotto: 7 tall fra 1-34. Du krysser av 7 tall. Sannsynligheten for 7 rette? (som brøk)

Løs oppgavenTren

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Multiplikasjonsprinsippet: Hvis en handling kan gjøres på mm måter og en annen på nn måter, kan begge gjøres på m⋅nm \cdot n måter
- Fakultet: n!=n⋅(n−1)⋅...⋅2⋅1n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1, brukes til å telle ordnede utvalg
- Permutasjoner: Ordnede utvalg der rekkefølge betyr noe: P(n,r)=n!(n−r)!\displaystyle P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
- Kombinasjoner: Utvalg der rekkefølge ikke betyr noe: (nr)=n!r!(n−r)!\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}
- Sammensatte problemer: Kombinere metoder, dele opp i tilfeller, eller bruke «totalt minus uønskede»

Nøkkelbegreper


BegrepForklaring
MultiplikasjonsprinsippetGang antall valg for hvert trinn
Fakultet (n!n!)Produktet av alle tall fra nn ned til 1
PermutasjonOrdnet utvalg (rekkefølge betyr noe)
KombinasjonUordnet utvalg (rekkefølge betyr ikke noe)

Viktige formler


- n!=n⋅(n−1)⋅...⋅1n! = n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 1
- P(n,r)=n!(n−r)!\displaystyle P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} (permutasjoner)
- (nr)=n!r!(n−r)!\displaystyle \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} (kombinasjoner)
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.