4.4 Areal og volum | Matematikk 10. klasse

Beregne areal og volum av komplekse figurer.

55 min

14 oppgaver

ArealVolumKjegleKuleSammensatte figurer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Innleiing

I dette kapitlet skal vi arbeide med volum og overflate av tredimensjonale figurar. Vi skal sjå på kjegler, kuler og pyramidar, samt samansetje figurar som består av fleire enkle former.

Detta er praktisk kunnskap som blir brukt i alt frå arkitektur til emballasjeutforming!

Volumformlar for romfigurar

V = \pi r^2 h

Legg merke til: Ein kjegle har

\displaystyle \frac{1}{3}

av volumet til ein sylinder med same grunnflate og høgde. Det same gjeld for pyramide samanlikna med eit prisme.

✏️Døme 1: Volum av kjegle

Ein kjegle har radius 6 cm og høgde 10 cm. Finn volumet.

Løysing:

$\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 10 = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 10 = 120\pi$

$V = 120\pi \approx 377$ cm $^3$

Svar: Volumet er $120\pi \approx 377$ cm $^3$ .

📝Oppgave 1

Rekn ut volumet av kjeglane.

Radius 3 cm, høgde 8 cm.

Radius 9 cm, høgde 12 cm.

Radius 5 cm, høgde 15 cm.

Diameter 14 cm, høgde 9 cm.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Oliver skal finne volumet av ein kule med diameter 10 cm. Han skriv:

$\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3 = \frac{4000\pi}{3} \approx 4189$ cm $^3$

Finn feilen og skriv riktig utrekning.

✏️Døme 2: Volum av kule

Ein kule har radius 6 cm. Finn volumet.

Løysing:

$\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi$

$V = 288\pi \approx 905$ cm $^3$

Svar: Volumet er $288\pi \approx 905$ cm $^3$ .

📝Oppgave 2

Rekn ut volumet av kulane.

Radius 3 cm.

Radius 9 cm.

Diameter 10 cm.

Radius 1.5 m (svar i liter, 1 m $^3$ = 1000 L).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Rekn ut volumet av pyramidane.

Pyramide med kvadratisk grunnflate 10 cm x 10 cm og høgd 12 cm.

Pyramide med rektangulær grunnflate 6 cm x 8 cm og høgd 15 cm.

Pyramide med trekantig grunnflate (grunnlinje 10 cm, høgd i grunnflaten 8 cm) og pyramidehøgd 9 cm.

Løs oppgaven Tren

Overflateformler

A = 4\pi r^2

✏️Døme 3: Overflate av kule

Ein kule har radius 5 cm. Finn overflatearealet.

Løysing:

$A = 4\pi r^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi$

$A = 100\pi \approx 314$ cm $^2$

Svar: Overflata er $100\pi \approx 314$ cm $^2$ .

📝Oppgave 4

Rekn ut overflatearealet.

Kule med radius 7 cm.

Sylinder med radius 4 cm og høyde 10 cm.

Kube med side 8 cm.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Ein kjegle har radius 6 cm og høgd 8 cm.

Finn slanthøgda (sida av kjegla).

Finn volumet.

Finn overflatearealet (botn + sideflate).

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 4: Samansett figur

Ein iskremkjegle består av ein halvkule (r = 3 cm) på toppen av ein kjegle (r = 3 cm, h = 8 cm). Finn totalvolumet.

Løysing:

Halvkule:
$\displaystyle V_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi \cdot 27 = 18\pi$ cm $^3$

Kjegle:
$\displaystyle V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 8 = 24\pi$ cm $^3$

Totalt:
$V = 18\pi + 24\pi = 42\pi \approx 132$ cm $^3$

Svar: Totalvolumet er $42\pi \approx 132$ cm $^3$ .

📝Oppgave 6

Finn volumet av dei samansetje figurane.

Sylinder (r = 4 cm, h = 10 cm) med halvkule på toppen (r = 4 cm).

Kube (side 6 cm) med pyramide på toppen (grunnflate 6 x 6 cm, høgd 4 cm).

Kjegle (r = 5 cm, h = 12 cm) med halvkule på toppen (r = 5 cm).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Ein sylinder har eit sylindrisk hull gjennom midten (ror). Ytre radius er 8 cm, indre radius er 5 cm, og høyden er 12 cm.

Finn volumet av det massive materialet.

Finn overflatearealet (inkludert innsida av hullet).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Ein kuleforma tank skal romma 8000 liter vatn. Finn radius på tanken.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Samanlikn volumet.

Ein kjegle og ein sylinder har begge radius 5 cm og høyde 12 cm. Kor mange kjegler skal til for å fylla sylinderen?

Ein halvkule og ein kjegle har begge radius 6 cm. Kjeglen har høyde 12 cm. Kva har størst volum?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Ein ball med radius 10 cm blir lagd i ei kubisk boks der ballen akkurat får plass.

Kva er sidelengda i boksen?

Finn volumet av tom plass i boksen.

Kor stor andel av boksen er tom?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Ein sylinder har radius $r$ og høyde $h$ . Viss både radius og høyde aukar med 50%, kor mykje aukar volumet prosentvis?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Eit sandslott har form som ein kjegle med radius 30 cm og høyde 40 cm.

Finn volumet av sandslottet.

Viss sanden veier 1.5 g/cm $^3$ , kor mykje veier sandslottet?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Ein vassmelon kan modellerast som ein ellipsoid (strukken kule) med halvaksar 15 cm, 12 cm og 12 cm. Volumet er $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi abc$ der $a$ , $b$ , $c$ er halvaksane.

Finn volumet av vassmelonen.

Viss 40% av vassmelonen er ætbar fruktmasse og resten er skall og kjerner, kor mykje ætbar masse er det?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Ein silo har form som ein sylinder med ein halvkule på toppen og ein kjegle i bunnen.

Sylinderen har radius 4 m og høyde 10 m. Halvkula og kjegla har same radius. Kjegla har høyde 3 m. Finn totalvolumet.

Viss siloen blir fylld med korn som veg 750 kg/m $^3$ , kor mykje korn rommar siloen?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Ein iskremfabrikk lagar iskremkuler. Ein vanlég kule har radius 3 cm, og ein «dobbel» kule har radius 4 cm. Fabrikken tek 20 kr for ein vanlég kule og 30 kr for ein dobbel kule. Ein kunde meiner at den dobla kulen burde koste ca. 27 kr fordi radiusen er omtrent

\displaystyle \frac{4}{3}

av den vanlege. Har kunden rett? Grunngi svaret med berekning.

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Volum av kjegle: $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ (ein tredjedel av sylinderen sitt volum)
- Volum av kule: $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$
- Volum av pyramide: $\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ , der $G$ er grunnflatearealet
- Overflatformlar: Rekne ut overflateareal av kuler, sylindrar og kjeglar
- Samansette figurar: Dela opp i enkle figurar og addere/subtrahere volum og areal

Nøkkelbegrep

Omgrep	Forklaring
Kjegle	Figur med sirkulær grunnflate og spiss topp
Kule	Perfekt rund tredimensjonal figur
Pyramide	Figur med polygonal grunnflate og spiss topp
Slanthøyde ( $s$ )	Sidene sin lengd langs overflata av ein kjegle
Romfigur	Tredimensjonal geometrisk figur

Viktige formlar

\displaystyle V_{\text{kjegle}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h

\displaystyle V_{\text{kule}} = \frac{4}{3}\pi r^3

\displaystyle V_{\text{pyramide}} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

A_{\text{kule}} = 4\pi r^2

s = \sqrt{r^2 + h^2}

(slanthøyde for kjegle)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.