4.4 Areal og volum

Romfigurer i virkeligheten

Verden rundt oss er tredimensjonal, og vi trenger å beregne volum og overflate av alle slags figurer. Hvor mye is får du i en kjeglevaffel? Hvor mye maling trenger du for en kuleformet vanntank? Hvor mye korn rommer en silo? I dette kapittelet lærer vi formlene for kjegle, kule og pyramide, og hvordan vi kombinerer dem til sammensatte figurer.

De viktigste volumformlene er: for sylinder $V = \pi r^2 h$, for kjegle $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, for kule $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$, og for pyramide $\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ der $G$ er grunnflatearealet. Legg merke til et viktig mønster: en kjegle har nøyaktig en tredjedel av volumet til en sylinder med samme grunnflate og høyde. Det samme gjelder for pyramide sammenlignet med et prisme. Denne tredjedelen dukker opp overalt i geometri!

Kjegle, kule og pyramide

En kjegle med radius 6 cm og høyde 10 cm har volum $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 10 = 120\pi \approx 377$ cm$^3$. Husk at hvis du oppgir diameter i stedet for radius, må du halvere først.

En kule med radius 6 cm har volum $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi \approx 905$ cm$^3$. Kuleformelen er den eneste der vi opphøyer radius i tredje potens -- fordi kulen er en "tredimensjonal sirkel".

En pyramide med kvadratisk grunnflate 10 cm $\times$ 10 cm og høyde 12 cm har volum $\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400$ cm$^3$. Grunnflaten kan ha hvilken som helst form -- rektangulær, trekantformet eller annet.

For overflater: en kule har overflate $A = 4\pi r^2$. En sylinder (med lokk og bunn) har $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$. En kjegle (med bunn) har $A = \pi r^2 + \pi rs$, der slanthøyden $s = \sqrt{r^2 + h^2}$ finnes med Pytagoras.

Sammensatte figurer og skalering

I virkeligheten er former sjelden enkle. En iskremkjegle kan modelleres som en halvkule på toppen av en kjegle. Med radius 3 cm og kjegelhøyde 8 cm: halvkule-volum $\displaystyle = \frac{2}{3}\pi \cdot 27 = 18\pi$ cm$^3$, kjegle-volum $\displaystyle = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 8 = 24\pi$ cm$^3$, totalt $42\pi \approx 132$ cm$^3$.

En silo kan bestå av sylinder, halvkule og kjegle. Med sylinderradius 4 m, sylinderhøyde 10 m og kjeglebunnhøyde 3 m: sylinder $= 160\pi$, halvkule $\displaystyle = \frac{128\pi}{3}$, kjegle $= 16\pi$. Totalt: $\displaystyle \frac{656\pi}{3} \approx 687$ m$^3$. Med korn som veier 750 kg/m$^3$: $687 \cdot 750 \approx 515$ tonn!

Et spennende resultat om skalering: hvis du øker både radius og høyde med 50 prosent (faktor 1,5), øker volumet med faktor $1{,}5^3 = 3{,}375$. Det er en økning på 237,5 prosent! En ball med radius 10 cm i en kubisk boks (side 20 cm): boksvolumet er 8000 cm$^3$, balvolumet er $\displaystyle \frac{4}{3}\pi \cdot 1000 \approx 4189$ cm$^3$, og hele 47,6 prosent av boksen er tom.

Oppsummering

Volumformlene for romfigurer: sylinder $V = \pi r^2 h$, kjegle $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$, kule $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$, pyramide $\displaystyle V = \frac{1}{3}Gh$. En kjegle er alltid en tredjedel av sylinderen med samme grunnflate og høyde. Overflateformlene: kule $A = 4\pi r^2$, sylinder $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$, kjegle $A = \pi r^2 + \pi rs$ der $s = \sqrt{r^2 + h^2}$. Sammensatte figurer deles opp i enkle deler som legges sammen. Husk at skalering av lineære mål gir kubisk endring i volum: dobling av alle mål gir 8 ganger volumet.