4.2 Trigonometri | Matematikk 10. klasse

Sinus, cosinus og tangens i rettvinklede trekanter.

60 min

16 oppgaver

TrigonometriSinusCosinusTangensRettvinklet trekant

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 16 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Pytagoras' setning

Innleiing

Trigonometri betyr "trekantmaling" og handlar om forholdet mellom vinklar og sider i trekanter. Med trigonometri kan vi finne ukjende sider og vinklar i trekanter - noko som har utallige praktiske anvendingar.

I dette kapitlet lærer vi om dei tre trigonometriske forholda sinus, cosinus og tangens, og korleis vi brukar dei til å løyse problem.

Trigonometriske forhold

v

Viktig: "Motstånde" og "hosliggjande" er alltid i forhold til vinkelen vi ser på!
- Motstånde katet er siden som ligg rett overfor vinkelen
- Hosliggjande katet er siden som ligg ved sida av vinkelen (men ikkje hypotenusen)

✏️Døme 1: Finne ei side med sinus

Ein rettvinkla trekant har hypotenus 10 cm og ein vinkel på 30 grader. Finn motstånde katet.

Løysing:

Vi skal finne motstånde katet og kjenner hypotenusen. Då brukar vi sinus:

$\displaystyle \sin 30° = \frac{\text{motstånde}}{\text{hypotenus}}$

$\displaystyle \sin 30° = \frac{a}{10}$

$a = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot 0.5 = 5$ cm

Svar: Motstånde katet er 5 cm.

📝Oppgave 1

Bruk sinus til å finne motstånde katet.

Hypotenus 20 cm, vinkel 30 grader.

Hypotenus 15 cm, vinkel 45 grader.

Hypotenus 12 cm, vinkel 60 grader.

Hypotenus 25 cm, vinkel 53 grader.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Sara skal finne hosliggjande katet i ein rettvinkla trekant der hypotenusen er 10 cm og ein vinkel er

30°

. Ho skriv:

$\displaystyle \sin 30° = \frac{\text{hosliggjande}}{\text{hypotenus}}$

$\text{hosliggjande} = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot 0{,}5 = 5$ cm

Finn feilen og skriv riktig utrekning.

✏️Døme 2: Finne ei side med cosinus

Ein rettvinkla trekant har hypotenus 10 cm og ein vinkel på 30 grader. Finn hosliggjande katet.

Løysing:

Vi skal finne hosliggjande katet og kjenner hypotenusen. Då brukar vi cosinus:

$\displaystyle \cos 30° = \frac{\text{hosliggjande}}{\text{hypotenus}}$

$\displaystyle \cos 30° = \frac{b}{10}$

$\displaystyle b = 10 \cdot \cos 30° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8.66$ cm

Svar: Hosliggjande katet er ca. 8.66 cm.

📝Oppgave 2

Bruk cosinus til å finne hosliggjande katet.

Hypotenus 16 cm, vinkel 60 grader.

Hypotenus 20 cm, vinkel 45 grader.

Hypotenus 18 cm, vinkel 37 grader.

Hypotenus 30 cm, vinkel 70 grader.

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 3: Finne ei side med tangens

Ein rettvinkla trekant har hosliggjande katet 8 cm og vinkel 40 grader. Finn motståande katet.

Løysing:

Vi kjenner hosliggjande katet og skal finne motståande. Da bruker vi tangens:

$\displaystyle \tan 40° = \frac{\text{motståande}}{\text{hosliggjande}}$

$\displaystyle \tan 40° = \frac{a}{8}$

$a = 8 \cdot \tan 40° \approx 8 \cdot 0.839 \approx 6.71$ cm

Svar: Motståande katet er ca. 6.71 cm.

📝Oppgave 3

Bruk tangens til å finne motståande katet.

Hosliggjande katet 12 cm, vinkel 45 grader.

Hosliggjande katet 10 cm, vinkel 30 grader.

Hosliggjande katet 15 cm, vinkel 55 grader.

Hosliggjande katet 25 cm, vinkel 20 grader.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Finn hypotenusen når du kjenner ein katet og ein vinkel.

Motståande katet 6 cm, vinkel 30 grader.

Hosliggjande katet 9 cm, vinkel 45 grader.

Motståande katet 10 cm, vinkel 50 grader.

Hosliggjande katet 14 cm, vinkel 35 grader.

Løs oppgaven Tren

Inverse trigonometriske funksjonar

v = \arcsin\left(\frac{\text{motståande}}{\text{hypotenus}}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\text{motståande}}{\text{hypotenus}}\right)

✏️Døme 4: Finne ein vinkel

Ein rettvinkla trekant har kateter 5 cm og 12 cm. Finn dei spisse vinklane.

Løysing:

Vi kan bruke tangens til å finne ein av vinklane:

$\displaystyle \tan v = \frac{5}{12} \approx 0.417$

$v = \arctan(0.417) \approx 22.6°$

Den andre spisse vinkelen er:
$90° - 22.6° = 67.4°$

Kontroll: $\displaystyle \tan 67.4° = \frac{12}{5} = 2.4$ \checkmark

Svar: Vinklane er ca. 22.6 grader og 67.4 grader.

📝Oppgave 5

Finn den spisse vinkelen.

Kateter 3 cm og 4 cm. Finn den minste vinkelen.

Motståande katet 7 cm, hypotenus 10 cm.

Hosliggjande katet 8 cm, hypotenus 15 cm.

Kateter 6 cm og 6 cm. Finn vinklane.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Finn alle ukjende sider og vinklar i trekanten.

Rettvinkla trekant med hypotenus 20 cm og ein vinkel på 35 gradar.

Rettvinkla trekant med kateter 9 cm og 12 cm.

Løs oppgaven Tren

✏️Døme 5: Praktisk bruk - stige

Ein stige er 6 meter lang og dannar ein vinkel på 70 gradar med bakken. Kor høgt opp på veggen rekk stigen?

Løysing:

Teikn situasjonen: Stigen er hypotenusen, veggen er motståande katet.

$\displaystyle \sin 70° = \frac{h}{6}$

$h = 6 \cdot \sin 70° \approx 6 \cdot 0.940 \approx 5.64$ m

Svar: Stigen rekk ca. 5.64 meter opp på veggen.

📝Oppgave 7

Ein stige på 8 meter lener mot ein vegg.

Viss vinkelen med bakken er 65 gradar, kor høgt opp på veggen rekk stigen?

Kor langt frå veggen står bunnen av stigen?

Av tryggleikshensyn skal vinkelen vere mellom 70 og 75 gradar. Gi intervallet for kor høgt stigen kan nå.

Løs oppgaven Tren

Elevasjonsvinkel og depressjonsvinkel

- Elevasjonsvinkel: Vinkelen opp frå horisontalplanet når vi ser på noko over oss. - Depressjonsvinkel: Vinkelen ned frå horisontalplanet når vi ser på noko under oss. Begge vinklane målast frå det horisontale planet (vassrett linje).

✏️Døme 6: Elevasjonsvinkel

Frå eit punkt på bakken er elevasjonsvinkelen til toppen av eit tårn 35 gradar. Avstanden til tårnets fot er 50 meter. Finn tårnets høgde.

Løysing:

Vi står 50 m frå tårnet (hosliggjande katet) og skal finne høgda (motståande katet).

$\displaystyle \tan 35° = \frac{h}{50}$

$h = 50 \cdot \tan 35° \approx 50 \cdot 0.700 \approx 35$ m

Svar: Tårnet er ca. 35 meter høgt.

📝Oppgave 8

Løys oppgåvene om elevasjonsvinklar.

Frå 80 m avstand er elevasjonsvinkelen til ein fjelltopp 25 gradar. Finn høgda over observasjonspunktet.

Eit tre kastar skugge på 15 m når sola si elevasjonsvinkel er 40 gradar. Finn høgda av treet.

Ein drage flyg i 100 m høgde. Snoren er 130 m lang. Finn elevasjonsvinkelen.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Frå toppen av eit fyrtopp som er 40 meter høgt, ser ein ned på ein båt. Depresjonsvinkelen til båten er 15 gradar. Kor langt frå fyrtoppen er båten?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Eit fly stigar med konstant vinkel 12 grader. Etter å ha tilbakela 2000 m (langs flyruta), kor høgt har flyet stigit?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Ein veg har stigning 8% (stigar 8 m per 100 m horisontalt).

Finn stigingsvinkelen.

Kor lang er vegen (målt langs bakken) for å stigia 50 m?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Ein kran har ein arm på 25 meter som kan hevjast frå 20 til 75 grader med bakken.

Kva er maksimal løfte-høyde?

Kva er minimal løfte-høyde?

Ved kva vinkel er høyda 15 meter?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Eit helikopter flyr i 500 m høyde. Frå helikopteret målast depresjonsvinkelen til to bilar på same veg til 30 og 45 grader (bilane er på kvar si side av helikopteret). Finn avstanden mellom bilane.

Løs oppgaven Tren

Spesielle vinklar

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline v & \sin v & \cos v & \tan v \\ \hline 30° & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 45° & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 1 \\ 60° & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & \sqrt{3} \\ \hline \end{array}

Desse verdiane er nyttige å hugsa og førekjem ofte på eksamenar.

📝Oppgave 14

Bruk dei spesielle vinkelvediane til å finna eksakte svar.

Finn hypotenusen når motstått katet er 5 cm og vinkelen er 30 grader.

Finn hosliggande katet når hypotenusen er 12 cm og vinkelen er 60 grader.

Finn motstått katet når hosliggande katet er 8 cm og vinkelen er 45 grader.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 15

Ein likesida trekant har sidelengd 10 cm.

Finn høyda i trekanten ved hjelp av trigonometri.

Finn arealet av trekanten.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 16

Frå to punkt A og B på same høgd, 200 m frå kvarandre, blir elevasjonsvinkelen til toppen av eit fjell målt. Frå A er vinkelen 40 grader, frå B (nærmare fjellet) er vinkelen 55 grader.

Set opp to likningar for fjellhøyda h og avstanden x frå B til foten av fjellet.

Løys likningssystemet og finn fjellhøyda.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Ein stige er 5 meter lang og lener mot ein vegg. Tryggleiksreglar seier at vinkelen mellom stiga og bakken skal vere mellom

65°

75°

for å unngå at stiga sklir eller velter. Kva er den minste og største moglegheit for avstand frå stiga si fot til veggen? Diskuter kva som skjer viss vinkelen er for liten eller for stor.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Sinus, cosinus og tangens: Tre trigonometriske forhold som knyter vinklar og sider i rettvinkla trekanter
- Finne sider: Bruke sin, cos eller tan til å berekne ukjende sider når vi kjenner ein vinkel og ein side
- Finne vinklar: Bruke inverse funksjonar ( $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ , $\tan^{-1}$ ) til å berekne ukjende vinklar
- Elevasjons- og depresjonsvinklar: Anvende trigonometri i praktiske situasjonar med vinklar opp eller ned frå horisonten
- Spesielle vinklar: Kjenne verdiane for 30°, 45° og 60°

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Motstående katet	Sida rett overfor vinkelen
Hosliggjande katet	Sida ved vinkelen (ikkje hypotenusen)
SOH-CAH-TOA	Huskeregel for sin, cos og tan
Elevasjonsvinkel	Vinkel opp frå horisonten
Depressjonsvinkel	Vinkel ned frå horisonten
Inverse funksjonar	$\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ , $\tan^{-1}$ for å finne vinklar

Viktige formlar

\displaystyle \sin v = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}

\displaystyle \cos v = \frac{\text{hosliggjande}}{\text{hypotenus}}

\displaystyle \tan v = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggjande}}

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.