4.2 Trigonometri

Trekantmåling

Trigonometri betyr bokstavelig talt "trekantmåling" og handler om forholdet mellom vinkler og sider i trekanter. Med trigonometri kan du finne ukjente sider og vinkler -- noe som har utallige praktiske anvendelser, fra navigasjon og arkitektur til astronomi.

I en rettvinklet trekant med en spiss vinkel $v$ definerer vi tre trigonometriske forhold. Sinus er forholdet mellom motstående katet og hypotenusen: $\displaystyle \sin v = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenuse}}$. Cosinus er forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen: $\displaystyle \cos v = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenuse}}$. Og tangens er forholdet mellom motstående og hosliggende katet: $\displaystyle \tan v = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}$.

Huskeregelen SOH-CAH-TOA hjelper: Sinus = Opposite/Hypotenuse, Cosine = Adjacent/Hypotenuse, Tangent = Opposite/Adjacent. Det viktigste å huske er at "motstående" og "hosliggende" alltid er i forhold til den vinkelen vi ser på!

Finne sider med sinus, cosinus og tangens

La oss se hvordan vi bruker de tre forholdene. Har vi hypotenusen og en vinkel, kan vi finne begge katetene. En rettvinklet trekant med hypotenuse 10 cm og vinkel 30 grader: motstående katet $= 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot 0{,}5 = 5$ cm, og hosliggende katet $\displaystyle = 10 \cdot \cos 30° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 8{,}66$ cm.

Kjenner vi en katet og vinkelen, finner vi den andre kateten med tangens. Med hosliggende katet 8 cm og vinkel 40 grader: motstående $= 8 \cdot \tan 40° \approx 6{,}71$ cm.

Vi kan også finne hypotenusen fra en katet: motstående 6 cm og vinkel 30 grader gir hypotenuse $\displaystyle = \frac{6}{\sin 30°} = \frac{6}{0{,}5} = 12$ cm.

De spesielle vinklene 30, 45 og 60 grader er verdt å huske: $\displaystyle \sin 30° = \frac{1}{2}$, $\displaystyle \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\displaystyle \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\displaystyle \cos 60° = \frac{1}{2}$, $\tan 45° = 1$.

Finne vinkler -- de inverse funksjonene

Hittil har vi funnet sider fra vinkler. Men hva om vi kjenner sidene og vil finne vinkelen? Da bruker vi de inverse trigonometriske funksjonene: $v = \arcsin(\text{forhold})$, $v = \arccos(\text{forhold})$ eller $v = \arctan(\text{forhold})$. På kalkulatoren trykker du vanligvis "shift" eller "2nd" etterfulgt av sin, cos eller tan.

En rettvinklet trekant med kateter 5 og 12 cm: $\displaystyle \tan v = \frac{5}{12} \approx 0{,}417$, og $v = \arctan(0{,}417) \approx 22{,}6°$. Den andre spisse vinkelen er $90° - 22{,}6° = 67{,}4°$.

Elevasjonsvinkelen er vinkelen opp fra horisontalen når du ser på noe over deg, mens depresjonsvinkelen er vinkelen ned. Fra 50 meter avstand er elevasjonsvinkelen til et tårn 35 grader. Tårnets høyde: $h = 50 \cdot \tan 35° \approx 35$ meter. Fra toppen av et fyrtårn (40 m) er depresjonsvinkelen til en båt 15 grader. Avstanden til båten: $\displaystyle d = \frac{40}{\tan 15°} \approx 149$ meter.

Praktiske anvendelser

En stige på 8 meter lener mot en vegg med vinkel 65 grader mot bakken. Høyden den når: $h = 8 \cdot \sin 65° \approx 7{,}25$ m. Avstanden fra veggen: $d = 8 \cdot \cos 65° \approx 3{,}38$ m. Av sikkerhetshensyn skal vinkelen være mellom 70 og 75 grader, som gir en høyde mellom 7,52 m og 7,73 m.

Et fly stiger med vinkel 12 grader og tilbakelegger 2000 meter langs flyruten. Det stiger $2000 \cdot \sin 12° \approx 416$ meter. En vei med 8 prosent stigning (stiger 8 m per 100 m horisontalt) har stigningsvinkel $\arctan(0{,}08) \approx 4{,}6°$.

Et helikopter i 500 m høyde måler depresjonsvinkler til to biler: 30 grader og 45 grader (på hver sin side). Avstand til bil 1: $\displaystyle \frac{500}{\tan 30°} \approx 866$ m. Avstand til bil 2: $\displaystyle \frac{500}{\tan 45°} = 500$ m. Total avstand mellom bilene: $866 + 500 = 1366$ m.

Oppsummering

De tre trigonometriske forholdene i en rettvinklet trekant er: $\displaystyle \sin v = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenuse}}$, $\displaystyle \cos v = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenuse}}$, og $\displaystyle \tan v = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}$ (SOH-CAH-TOA). For å finne vinkler bruker vi de inverse funksjonene $\arcsin$, $\arccos$ og $\arctan$. De spesielle vinklene 30, 45 og 60 grader har eksakte verdier som er nyttige å huske. Trigonometri løser praktiske problemer med stiger, elevasjonsvinkler, depresjonsvinkler og mange andre situasjoner.