Tilbake
4.1
Pytagoras' setning

4.1 Pytagoras' setning

Alle fag for 10. klasse

Pytagoras' setning og dens anvendelser i praktiske situasjoner.

45 min
12 oppgaver
PytagorasRettvinklet trekantHypotenusPraktiske oppgaver
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Brukes videre i
4.2Trigonometri

Innledning

Pytagoras' setning er et av de viktigste verktøyene i geometri. Den ble oppdaget av den greske matematikeren Pytagoras for over 2500 år siden, men brukes fortsatt daglig av ingeniører, arkitekter, snekkere og mange andre.

I dette kapittelet skal vi se på hvordan vi kan bruke setningen til å løse praktiske problemer - fra å finne diagonaler i figurer til å beregne avstander i koordinatsystemet og i rommet.

Pytagoras' setning
I en rettvinklet trekant gjelder:

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

der cc er hypotenusen (den lengste siden, som ligger motstatt den rette vinkelen) og aa og bb er katetene (de to sidene som danner den rette vinkelen).

Omvendt Pytagoras: Hvis a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 for en trekant med sider aa, bb og cc (der cc er lengst), så er trekanten rettvinklet.

✏️Eksempel 1: Finne hypotenusen

En rettvinklet trekant har kateter på 6 cm og 8 cm. Finn hypotenusen.

Løsning:

Vi bruker Pytagoras' setning med a=6a = 6 og b=8b = 8:

c2=a2+b2=62+82=36+64=100c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100

c=100=10c = \sqrt{100} = 10 cm

Svar: Hypotenusen er 10 cm.

📝Oppgave 1

Finn hypotenusen i de rettvinklede trekantene.

a

Katetene er 3 cm og 4 cm.

b

Katetene er 5 cm og 12 cm.

c

Katetene er 8 cm og 15 cm.

d

Katetene er 9 cm og 12 cm.

Løs oppgavenTren
📝Oppgave F1
Finn feilen! Jonas har regnet slik:

«En rettvinklet trekant har kateter 5 cm og 12 cm. Finn hypotenusen.

c=52+122=25+144=169c = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 cm»

Finn feilen og skriv riktig utregning.

✏️Eksempel 2: Finne en katet

En rettvinklet trekant har hypotenus 25 cm og den ene kateten er 7 cm. Finn den andre kateten.

Løsning:

Vi kjenner c=25c = 25 og a=7a = 7, og skal finne bb.

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
72+b2=2527^2 + b^2 = 25^2
49+b2=62549 + b^2 = 625
b2=625−49=576b^2 = 625 - 49 = 576
b=576=24b = \sqrt{576} = 24 cm

Svar: Den andre kateten er 24 cm.

📝Oppgave 2

Finn den ukjente kateten i de rettvinklede trekantene.

a

Hypotenus 13 cm, en katet 5 cm.

b

Hypotenus 17 cm, en katet 8 cm.

c

Hypotenus 20 cm, en katet 16 cm.

d

Hypotenus 26 cm, en katet 10 cm.

Løs oppgavenTren
Pytagoreiske trippel

Et pytagoreisk trippel er tre hele tall (a,b,c)(a, b, c) som oppfyller a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2.

De vanligste triplene er:
- (3,4,5)(3, 4, 5) og multipler: (6,8,10)(6, 8, 10), (9,12,15)(9, 12, 15), ...
- (5,12,13)(5, 12, 13) og multipler: (10,24,26)(10, 24, 26), ...
- (8,15,17)(8, 15, 17)
- (7,24,25)(7, 24, 25)

A kjenne igjen disse kan spare tid på eksamener!

📝Oppgave 3

Avgjor om trekanten med de gitte sidelengdene er rettvinklet.

a

Sider: 6, 8 og 10 cm

b

Sider: 5, 7 og 9 cm

c

Sider: 9, 40 og 41 cm

d

Sider: 11, 60 og 61 cm

Løs oppgavenTren
✏️Eksempel 3: Diagonal i rektangel

Et rektangel har sidelengder 12 m og 5 m. Finn diagonalen.

Løsning:

Diagonalen deler rektangelet i to rettvinklede trekanter. Sidene i rektangelet blir katetene, og diagonalen blir hypotenusen.

d2=122+52=144+25=169d^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169

d=169=13d = \sqrt{169} = 13 m

Svar: Diagonalen er 13 m.

📝Oppgave 4

Finn diagonalen i rektanglene.

a

Sider 9 cm og 40 cm.

b

Sider 20 m og 21 m.

c

Sider 7 cm og 24 cm.

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 5

Et kvadrat har diagonal 14 cm. Finn sidelengden.

Løs oppgavenTren
✏️Eksempel 4: Avstand i koordinatsystemet

Finn avstanden mellom punktene A(1,2)A(1, 2) og B(5,5)B(5, 5).

Løsning:

Avstanden mellom to punkter i koordinatsystemet kan finnes med Pytagoras.

Horisontal avstand: Δx=5−1=4\Delta x = 5 - 1 = 4
Vertikal avstand: Δy=5−2=3\Delta y = 5 - 2 = 3

d=(Δx)2+(Δy)2=42+32=16+9=25=5d = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

Svar: Avstanden er 5 lengdeenheter.

Avstandsformelen
Avstanden mellom to punkter A(x1,y1)A(x_1, y_1) og B(x2,y2)B(x_2, y_2) i koordinatsystemet er:

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Dette er en direkte anvendelse av Pytagoras' setning.

📝Oppgave 6

Finn avstanden mellom punktene.

a
A(0,0)A(0, 0) og B(6,8)B(6, 8)
b
P(2,3)P(2, 3) og Q(7,15)Q(7, 15)
c
R(−1,4)R(-1, 4) og S(5,−4)S(5, -4)
d
M(−3,−2)M(-3, -2) og N(5,4)N(5, 4)
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 7

En likesidet trekant har sidelengde 10 cm. Finn høyden.

Løs oppgavenTren
✏️Eksempel 5: Romdiagonal

En eske har dimensjoner 3 cm x 4 cm x 12 cm. Finn romdiagonalen.

Løsning:

Metode 1: To steg
1. Finn forst diagonalen i bunnen: d1=32+42=9+16=5d_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 cm
2. Bruk denne som katet med høyden: D=52+122=25+144=13D = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13 cm

Metode 2: Direkte formel
D=32+42+122=9+16+144=169=13D = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 cm

Svar: Romdiagonalen er 13 cm.

Romdiagonal
I et rett prisme (boks) med sider aa, bb og cc er romdiagonalen:

D=a2+b2+c2D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Dette er Pytagoras' setning utvidet til tre dimensjoner.

📝Oppgave 8

Finn romdiagonalen.

a

En kube med side 6 cm.

b

En eske med dimensjoner 2 cm x 3 cm x 6 cm.

c

En eske med dimensjoner 1 m x 2 m x 2 m.

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 9

En stige er 5 meter lang. Den lener mot en vegg og bunnen av stigen star 3 meter fra veggen. Hvor hoyt opp på veggen nar stigen?

📝Oppgave 10

En 55-tommers TV har sideforhold 16:9. Finn bredden og høyden til skjermen.

📝Oppgave 11

To skip forlater samme havn. Det ene seiler 30 km mot nord, det andre seiler 40 km mot ost. Hvor langt fra hverandre er skipene?

📝Oppgave 12

En rektangulær fotballbane er 100 m lang og 64 m bred. Hvor langt er det a ga på skra fra det ene hjornet til det motstatte?

a

Finn diagonalen i banen.

b

Hvor mye kortere er det a ga diagonalt sammenlignet med a ga langs to sider?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave D1
Drøftingsoppgave: En snekker skal bygge en rektangulær vegg som er 3 m bred og 4 m høy. For å sjekke at veggen er helt rettvinklet, måler han diagonalen. Hvor lang bør diagonalen være? Hvis han måler diagonalen til 5,1 m, er veggen rettvinklet? Hvor mange grader avviker vinkelen omtrent fra 90 grader, og har dette noe praktisk å si?

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Pytagoras' setning: I en rettvinklet trekant gjelder a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, der cc er hypotenusen
- Finne ukjente sider: Beregne hypotenusen (c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}) eller en katet (a=c2−b2a = \sqrt{c^2 - b^2})
- Omvendt Pytagoras: Sjekke om en trekant er rettvinklet ved å teste om a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
- Avstandsformelen: Finne avstanden mellom to punkter i koordinatsystemet
- Romdiagonal: Utvide Pytagoras til tre dimensjoner med D=a2+b2+c2D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

Nøkkelbegreper


BegrepForklaring
HypotenusDen lengste siden i en rettvinklet trekant
KatetEn av de to kortere sidene i en rettvinklet trekant
Pytagoreisk trippelTre hele tall som oppfyller a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
Avstandsformelend=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
RomdiagonalDiagonal gjennom en tredimensjonal boks

Viktige formler


- a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 (Pytagoras' setning)
- d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} (avstandsformelen)
- D=a2+b2+c2D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} (romdiagonal)
Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.