4.1 Pytagoras' setning

En 2500 år gammel superstjerne

For over 2500 år siden oppdaget den greske matematikeren Pytagoras noe som fortsatt brukes daglig av ingeniører, arkitekter og snekkere over hele verden. Setningen hans er enkel og elegant: i en rettvinklet trekant er $a^2 + b^2 = c^2$, der $c$ er hypotenusen (den lengste siden, motstått den rette vinkelen) og $a$ og $b$ er katetene.

Tenk deg at du skal finne hypotenusen i en trekant med kateter 6 cm og 8 cm. Du regner: $c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, og dermed $c = \sqrt{100} = 10$ cm. Enkelt og elegant.

Du kan også bruke setningen omvendt: for å finne en katet. Har du hypotenus 25 cm og en katet 7 cm, er den andre kateten $b = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ cm.

Noen kombinasjoner av hele tall oppfyller $a^2 + b^2 = c^2$ og kalles pytagoreiske trippel. De vanligste er $(3, 4, 5)$, $(5, 12, 13)$, $(8, 15, 17)$ og $(7, 24, 25)$, pluss alle multipler som $(6, 8, 10)$. Å kjenne igjen disse kan spare deg verdifull tid på eksamen!

Diagonaler og avstander

En av de vanligste anvendelsene er å finne diagonaler i rektangler. Diagonalen deler et rektangel i to rettvinklede trekanter, der sidene i rektangelet er kateter og diagonalen er hypotenuse. Et rektangel med sider 12 m og 5 m har diagonal $d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ m.

I koordinatsystemet kan vi finne avstanden mellom to punkter $A(x_1, y_1)$ og $B(x_2, y_2)$ med avstandsformelen: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Dette er faktisk bare Pytagoras i forkledning! Avstanden mellom $A(1, 2)$ og $B(5, 5)$ blir: horisontal avstand $4$, vertikal avstand $3$, og $d = \sqrt{16 + 9} = 5$.

En likesidet trekant med sidelengde 10 cm har høyde $h = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66$ cm. Her halverer høyden grunnlinjen, og vi får en rettvinklet trekant med hypotenuse 10 og katet 5.

Pytagoras i tre dimensjoner og i praksis

Pytagoras kan utvides til tre dimensjoner! Romdiagonalen i en eske med sider $a$, $b$ og $c$ er $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. En eske med dimensjoner 3, 4 og 12 cm har romdiagonal $D = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ cm. En kube med side 6 cm har romdiagonal $D = \sqrt{6^2 + 6^2 + 6^2} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39$ cm.

Praktiske situasjoner: en stige på 5 meter lener mot en vegg med foten 3 meter fra veggen. Hvor høyt når den? $h = \sqrt{25 - 9} = 4$ meter. To skip forlater en havn -- det ene seiler 30 km nord, det andre 40 km øst. De er $\sqrt{900 + 1600} = 50$ km fra hverandre.

En TV på 55 tommer med sideforhold 16:9: sett bredde $= 16k$ og høyde $= 9k$. Da er $(16k)^2 + (9k)^2 = 55^2$, altså $337k^2 = 3025$, som gir $k \approx 3{,}00$. Bredde $\approx 47{,}9$ tommer og høyde $\approx 27{,}0$ tommer.

Oppsummering

Pytagoras' setning sier at $a^2 + b^2 = c^2$ i en rettvinklet trekant, der $c$ er hypotenusen. Den omvendte setningen lar oss sjekke om en trekant er rettvinklet. Avstandsformelen $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ er Pytagoras i koordinatsystemet. I tre dimensjoner blir romdiagonalen $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Pytagoreiske trippel som $(3, 4, 5)$ og $(5, 12, 13)$ er nyttige å kjenne igjen.