3.2 Andregradsfunksjoner | Matematikk 10. klasse

Parabeler, toppunkt/bunnpunkt og symmetrilinje.

55 min

14 oppgaver

AndregradsfunksjonParabelToppunktBunnpunktSymmetrilinje

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Lineære funksjoner

Brukes videre i

3.3Praktiske funksjoner

Innleiing

Ein andregradsfunksjon (også kalla kvadratisk funksjon) har grafen som ein parabel. Parabelar finst overalt i naturen og teknologien:
- Banen til ein ball som blir kasta
- Forma på ein parabol-antenne
- Brubuer og arkitektur

I dette kapittelet lærer du å analysere andregradsfunksjonar og finne viktige punkt som toppunkt, bunnpunkt og nullpunkt.

Andregradsfunksjon

f(x) = ax^2 + bx + c

✏️Døme 1: Kjenne igjen andregradsfunksjonar

Kva av desse er andregradsfunksjonar?

a) $f(x) = x^2 + 3x - 2$
b) $g(x) = 2x + 5$
c) $h(x) = -3x^2 + 1$
d) $k(x) = x^3 - x^2$

Løysing:

a) $f(x) = x^2 + 3x - 2$ ✓ Andregradsfunksjon ( $a = 1$ , $b = 3$ , $c = -2$ )

b) $g(x) = 2x + 5$ ✗ Lineær funksjon (ingen $x^2$ -ledd)

c) $h(x) = -3x^2 + 1$ ✓ Andregradsfunksjon ( $a = -3$ , $b = 0$ , $c = 1$ )

d) $k(x) = x^3 - x^2$ ✗ Tredjegradsfunksjon (høgste potens er 3)

📝Oppgave 1

Avgjør om funksjonane er andregradsfunksjonar. Viss ja, finn $a$ , $b$ og $c$ .

f(x) = 2x^2 - 4x + 1

g(x) = -x^2 + 5

h(x) = 3x - 7

k(x) = x^2

m(x) = 4 - x^2 + 2x

n(x) = (x+1)(x-3)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Nora har rekna ut bunnpunktet til

f(x) = x^2 - 6x + 5

slik:

$\displaystyle x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$

$f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$

Bunnpunkt: $(3, 4)$

Finn feilen og skriv riktig svar.

Parabelens form

Koeffisienten $a$ avgjerer parabelens form:

- Viss $a > 0$ : Parabelen åpner oppover (smilefjes) og har eit bunnpunkt
- Viss $a < 0$ : Parabelen åpner nedover (sur munn) og har eit toppunkt
- Jo større $|a|$ er, desto smalare er parabelen
- Jo mindre $|a|$ er, desto breiare er parabelen

📝Oppgave 2

Avgjør om parabelen åpner oppover eller nedover, og om ho har toppunkt eller bunnpunkt.

f(x) = x^2 + 2x - 3

g(x) = -2x^2 + 4x

h(x) = 3x^2 - 6

k(x) = -0{,}5x^2 + x + 2

Løs oppgaven Tren

Symmetrilinje og toppunkt/bunnpunkt

Ein parabel er symmetrisk om ei vertikal linje kalla symmetrilinjen.

Symmetrilinjen har likninga:
$x = -\frac{b}{2a}$

Toppunktet/bunnpunktet ligg på symmetrilinjen. For å finne $y$ -koordinaten set vi $x$ -verdien inn i funksjonen.

Toppunkt og bunnpunkt

f(x) = ax^2 + bx + c

✏️Døme 2: Finne toppunkt/bunnpunkt

Finn toppunkt eller bunnpunkt for:

a) $f(x) = x^2 - 4x + 3$
b) $g(x) = -2x^2 + 8x - 5$

Løysing:

a) $f(x) = x^2 - 4x + 3$ (her er $a = 1$ , $b = -4$ )

$x$ -koordinat: $\displaystyle x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

$y$ -koordinat: $f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

Sidan $a = 1 > 0$ , har vi bunnpunkt $(2, -1)$

b) $g(x) = -2x^2 + 8x - 5$ (her er $a = -2$ , $b = 8$ )

$x$ -koordinat: $\displaystyle x = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$

$y$ -koordinat: $g(2) = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 5 = -8 + 16 - 5 = 3$

Sidan $a = -2 < 0$ , har vi toppunkt $(2, 3)$

📝Oppgave 3

Finn symmetrilinjen og toppunkt/bunnpunkt for funksjonane.

f(x) = x^2 - 6x + 5

g(x) = -x^2 + 4x - 3

h(x) = 2x^2 + 8x + 6

k(x) = -3x^2 + 6x

Løs oppgaven Tren

Nullpunkt

Nullpunkta er der parabelen kryss $x$ -aksen, altso der $f(x) = 0$ .

For å finne nullpunkta løyser vi andregradslikninga:
$ax^2 + bx + c = 0$

Vi kan bruke:
- Faktorisering (viss muleg)
- Abc-formelen: $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Diskriminanten $D = b^2 - 4ac$ fortel oss:
- $D > 0$ : To nullpunkt
- $D = 0$ : Eitt nullpunkt (parabelen tangerer $x$ -aksen)
- $D < 0$ : Ingen nullpunkt

✏️Døme 3: Finne nullpunkt

Finn nullpunkta for $f(x) = x^2 - 5x + 6$ .

Løysing:

Vi løyser $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Metode 1: Faktorisering
Vi leitar etter to tal som multiplisert gir 6 og addert gir -5.
$(-2) \cdot (-3) = 6$ og $(-2) + (-3) = -5$

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$

$x = 2$ eller $x = 3$

Metode 2: Abc-formelen
$a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$

$\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$

$\displaystyle x = \frac{5 + 1}{2} = 3$ eller $\displaystyle x = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Svar: Nullpunkta er $x = 2$ og $x = 3$

📝Oppgave 4

Finn nullpunkta for funksjonane (bruk faktorisering eller abc-formelen).

f(x) = x^2 - 7x + 12

g(x) = x^2 + 2x - 8

h(x) = x^2 - 9

k(x) = 2x^2 - 6x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Bruk abc-formelen til å finne nullpunkta.

f(x) = x^2 - 4x + 2

g(x) = 2x^2 + 3x - 2

h(x) = x^2 + 2x + 5

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Teikn parabelen i GeoGebra og finn toppunkt/bunnpunkt og nullpunkt.

Teikn $f(x) = x^2 - 2x - 3$ . Finn bunnpunkt og nullpunkt.

Teikn $g(x) = -x^2 + 4x$ . Finn toppunkt og nullpunkt.

📝Oppgave 7

Rekn ut funksjonsverdiar.

La $f(x) = x^2 - 3x + 2$ . Finn $f(0)$ , $f(1)$ og $f(4)$ .

La $g(x) = -2x^2 + 4x + 1$ . Finn $g(-1)$ , $g(0)$ og $g(2)$ .

Løs oppgaven Tren

Praktiske brukarundetar

Andregradsfunksjonar vert bruka til å modellere mange situasjonar:
- Kastbevegelsar: Høyda til ein ball som vert kasta
- Areal: Areal av rektangel med gjeven omkrets
- Økonomi: Forteneste som funksjon av pris eller produksjonsmengd

✏️Døme 4: Kastbevegelse

Ein ball vert kasta rett opp. Høyda (i meter) etter

t

sekund er gjeven ved:

h(t) = -5t^2 + 20t + 2

a) Kor høgt er ballen etter 2 sekund?
b) Når er ballen på det høgaste?
c) Kva er maksimalhøyda?

Løysing:

a) $h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 + 2 = -20 + 40 + 2 = 22$ meter

b) $\displaystyle t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = -\frac{20}{-10} = 2$ sekund

c) Maksimalhøyde: $h(2) = 22$ meter

📝Oppgave 8

Ein ball vert kasta frå bakken. Høyda er gjeven ved $h(t) = -5t^2 + 30t$ meter.

Kor høgt er ballen etter 1 sekund?

Når er ballen på det høgaste?

Kva er maksimalhøyda?

Når landar ballen?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Eit rektangel skal ha omkrets 40 cm.

Viss breidda er $x$ cm, kva vert lengda?

Set opp ein funksjon $A(x)$ for arealet.

Finn dimensjonane som gir størst areal.

Kva er det største arealet?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Ein bedrift sel eit produkt. Fortjenesta (i kr) ved å produsere $x$ einingar er gitt ved: $F(x) = -2x^2 + 80x - 600$

Ved kor mange einingar er fortjenesta størst?

Kva er den største fortjenesta?

Ved kva produksjonsmengder går bedrifta i null?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Avgjør kor mange nullpunkt funksjonen har (reikna diskriminanten).

f(x) = x^2 - 6x + 9

g(x) = x^2 + 4x + 5

h(x) = 2x^2 - 3x - 2

k(x) = -x^2 + 8x - 16

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Ein tunnel har parabelforma opning. Breidda ved bakken er 10 meter og høgda i midten er 6 meter.

Set opp ei funksjon $h(x)$ for høgda der $x$ er avstanden frå midten.

Kva er høgda 2 meter frå midten?

Kor brei er tunnelen i 4 meters høgd?

📝Oppgave 13

Samanlikn parablane.

Kva parabel er smalast: $f(x) = x^2$ , $g(x) = 2x^2$ eller $h(x) = 0{,}5x^2$ ?

Korleis påverkar $c$ grafen sin posisjon i $f(x) = x^2 + c$ ?

Skriv funksjonsuttrykket for parabelen $f(x) = x^2$ flytta 3 einingar opp.

📝Oppgave 14

Avansert: Finn funksjonsuttrykket frå informasjon.

Parabelen har bunnpunkt $(2, -3)$ og går gjennom $(0, 1)$ . Finn funksjonsuttrykket.

Parabelen har nullpunkt $x = 1$ og $x = 5$ , og går gjennom $(0, 10)$ . Finn funksjonsuttrykket.

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: Ein ball blir kasta oppover frå bakken. To elevar modellerer høyda

h

(i meter) etter

t

sekund:

- Elev A: $h(t) = -5t^2 + 20t$
- Elev B: $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$

Begge elevane meiner ballen landar etter nøyaktig 4 sekund. Er det mogleg at begge har rett? Grunngi svaret med utrekning, og forklar kva skilnaden mellom dei to modellane betyr i praksis.

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Andregradsfunksjon: Ein funksjon på forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ , der grafen er ein parabel
- Parabelens form: $a > 0$ gir bunnpunkt (opnar oppover), $a < 0$ gir toppunkt (opnar nedover)
- Symmetrilinje og ekstremalpunkt: Symmetrilinjen har likninga $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$ , og ekstremalpunktet ligg på denne linja
- Nullpunkt: Finnast ved å løysa $ax^2 + bx + c = 0$ med faktorisering eller abc-formelen
- Diskriminanten: $D = b^2 - 4ac$ avgjør antal nullpunkt ( $D > 0$ : to, $D = 0$ : eitt, $D < 0$ : ingen)

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Parabel	Grafen til ein andregradsfunksjon
Symmetrilinje	Vertikal linje parabelen er symmetrisk om
Toppunkt/bunnpunkt	Høgaste/lågaste punkt på parabelen
Diskriminant ( $D$ )	$b^2 - 4ac$ , avgjør antal nullpunkt
Abc-formelen	Formel for å finna nullpunkta

Viktige formlar

f(x) = ax^2 + bx + c

(andregradsfunksjon)
-

\displaystyle x = -\frac{b}{2a}

(symmetrilinje og

x

-koordinat til ekstremalpunkt)
-

\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

(abc-formelen)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.