3.2 Andregradsfunksjoner

Når rette linjer ikke strekker til

Kast en ball rett opp i lufta. Ballen stiger, bremser opp, stopper et øyeblikk, og faller tilbake ned. Banen den følger er ikke en rett linje -- den er en buet kurve som vi kaller en parabel. For å beskrive slike fenomener trenger vi noe kraftigere enn lineære funksjoner. Vi trenger andregradsfunksjoner.

En andregradsfunksjon har formen $f(x) = ax^2 + bx + c$, der $a \neq 0$. Det er $x^2$-leddet som gjør at grafen buer seg i stedet for å være rett. Koeffisienten $a$ bestemmer om parabelen åpner oppover (som et smilefjes, når $a > 0$) eller nedover (når $a < 0$). Jo større tallverdien av $a$ er, desto smalere blir parabelen. Tallet $c$ er konstantleddet og forteller oss der grafen krysser $y$-aksen.

Parabeler finnes overalt: formen på en parabol-antenne, buen under en bro, banen til et prosjektil, og til og med formen på vannet som spruter opp fra en fontene.

Toppunkt, bunnpunkt og symmetrilinje

Hver parabel har et spesielt punkt der den snur -- enten et toppunkt (hvis parabelen åpner nedover) eller et bunnpunkt (hvis den åpner oppover). Denne vendepunktet er enten den høyeste eller laveste verdien funksjonen kan ta, og det er utrolig nyttig i praktiske sammenhenger.

For å finne dette punktet bruker vi formelen for symmetrilinjen: $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$. Denne $x$-verdien setter vi inn i funksjonen for å finne $y$-koordinaten.

La oss prøve med $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Her er $a = 1$ og $b = -4$. Symmetrilinjen ligger ved $\displaystyle x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Vi setter inn: $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$. Siden $a = 1 > 0$, åpner parabelen oppover, og vi har et bunnpunkt i $(2, -1)$.

Prøv nå med $g(x) = -2x^2 + 8x - 5$, der $a = -2$ og $b = 8$. Symmetrilinje: $\displaystyle x = -\frac{8}{-4} = 2$. Vi setter inn: $g(2) = -8 + 16 - 5 = 3$. Siden $a < 0$, har vi et toppunkt i $(2, 3)$.

Nullpunkter og abc-formelen

Nullpunktene er der parabelen krysser $x$-aksen, altså der $f(x) = 0$. For å finne dem løser vi andregradslikningen $ax^2 + bx + c = 0$. Vi har to hovedmetoder: faktorisering og abc-formelen.

Abc-formelen er: $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Uttrykket under rottegnet, $D = b^2 - 4ac$, kalles diskriminanten. Hvis $D > 0$, finnes det to nullpunkter. Hvis $D = 0$, finnes det nøyaktig ett. Og hvis $D < 0$, krysser parabelen aldri $x$-aksen.

La oss finne nullpunktene for $f(x) = x^2 - 5x + 6$. Vi prøver faktorisering: vi leter etter to tall som ganget gir 6 og lagt sammen gir $-5$. Tallene $-2$ og $-3$ fungerer! Så $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$, som gir $x = 2$ eller $x = 3$.

Parabeler i praksis

En ball kastes rett opp. Høyden etter $t$ sekunder er $h(t) = -5t^2 + 30t$ meter. Når er ballen høyest? Vi finner toppunktet: $\displaystyle t = -\frac{30}{2 \cdot (-5)} = 3$ sekunder. Maksimalhøyden er $h(3) = -45 + 90 = 45$ meter. Ballen lander når $h(t) = 0$: $-5t^2 + 30t = 0$ gir $t(-5t + 30) = 0$, altså $t = 0$ (start) eller $t = 6$ sekunder.

Et rektangel skal ha omkrets 40 cm. Hvis bredden er $x$, blir lengden $20 - x$. Arealet er $A(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x$. Toppunktet gir $\displaystyle x = \frac{20}{2} = 10$. Da er bredde og lengde begge 10 cm -- et kvadrat gir størst areal! Maksimalt areal: $A(10) = 100$ cm$^2$.

Oppsummering

En andregradsfunksjon har formen $f(x) = ax^2 + bx + c$, og grafen er en parabel. Fortegnet til $a$ bestemmer om parabelen åpner opp eller ned. Symmetrilinjen og topp-/bunnpunktet finnes med $\displaystyle x = -\frac{b}{2a}$. Nullpunktene finnes ved faktorisering eller abc-formelen $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Diskriminanten $D = b^2 - 4ac$ forteller om det er to, ett eller ingen nullpunkter. Andregradsfunksjoner modellerer kastebevegelser, arealproblemer og fortjenestefunksjoner.