3.1 Lineære funksjoner | Matematikk 10. klasse

Egenskaper til lineære funksjoner, stigningstall og skjæringspunkter.

50 min

14 oppgaver

Lineær funksjonStigningstallKonstantleddSkjæringspunkt

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

3.2Andregradsfunksjoner 3.4Regresjon

Innleiing

Ein lineær funksjon er ein funksjon der grafen er ei rett linje. Lineære funksjonar blir brukte til å modellere situasjonar der noko aukar eller minkar jamnt, til dømes:
- Prisen på ein taxi som aukar med antal kilometer
- Temperaturen som fell jamnt utover natta
- Lønn som aukar med antal timar du jobbar

I dette kapitlet skal vi lære om stigningstall, konstantledd, og korleis vi finn skjæringspunkt mellom linjer.

Lineær funksjon

f(x) = ax + b

Stigningstall

Stigningstallet $a$ fortel oss kor bratt linja er:
- Hvis $a > 0$ : Linja stig (går oppover mot høgre)
- Hvis $a < 0$ : Linja fell (går nedover mot høgre)
- Hvis $a = 0$ : Linja er horisontal

Rekne ut stigningstallet mellom to punkt:

Hvis vi har to punkt $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ , kan vi rekne ut stigningstallet:

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

✏️Døme 1: Finn stigningstall og konstantledd

Finn stigningstall og konstantledd for funksjonane:

a) $f(x) = 3x + 5$
b) $g(x) = -2x + 7$
c) $h(x) = 4x$
d) $k(x) = -3$

Løysing:

a) $f(x) = 3x + 5$
- Stigningstall $a = 3$
- Konstantledd $b = 5$

b) $g(x) = -2x + 7$
- Stigningstall $a = -2$
- Konstantledd $b = 7$

c) $h(x) = 4x$
- Stigningstall $a = 4$
- Konstantledd $b = 0$ (linja går gjennom origo)

d) $k(x) = -3$
- Stigningstall $a = 0$ (horisontal linje)
- Konstantledd $b = -3$

📝Oppgave 1

Finn stigningstall og konstantledd for kvar funksjon.

f(x) = 2x + 3

g(x) = -4x + 1

h(x) = 5x - 2

k(x) = -x + 8

m(x) = 7

n(x) = -3x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Liam har skrive:

$f(x) = 3x + 5$ har stigningstall $5$ og konstantledd $3$ .

Finn feilen og skriv riktig svar.

✏️Døme 2: Rekne ut stigningstall frå to punkt

Finn stigningstallet for linja som går gjennom punkta:

a) $(2, 5)$ og $(4, 11)$
b) $(1, 8)$ og $(3, 2)$

Løysing:

a) $(2, 5)$ og $(4, 11)$
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{11 - 5}{4 - 2} = \frac{6}{2} = 3$

b) $(1, 8)$ og $(3, 2)$
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 8}{3 - 1} = \frac{-6}{2} = -3$

📝Oppgave 2

Finn stigningstallet for linja som går gjennom punkta.

(1, 3)

(4, 9)

(2, 7)

(5, 1)

(0, 4)

(3, 10)

(-1, 5)

(2, -4)

Løs oppgaven Tren

Finna funksjonsuttrykket

For å finna funksjonsuttrykket $f(x) = ax + b$ når vi kjenner to punkt:

1. Rekna ut stigningstalet $a$ frå dei to punkta
2. Set inn eitt av punkta i $f(x) = ax + b$ for å finna $b$

✏️Døme 3: Finna funksjonsuttrykket

Finn funksjonsuttrykket for linja som går gjennom punkta $(1, 5)$ og $(3, 11)$ .

Løysing:

Steg 1: Finn stigningstalet
$a = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$

Steg 2: Set inn punktet $(1, 5)$ i $f(x) = 3x + b$
$5 = 3 \cdot 1 + b$
$5 = 3 + b$
$b = 2$

Svar: $f(x) = 3x + 2$

📝Oppgave 3

Finn funksjonsuttrykket for linja som går gjennom punkta.

(2, 7)

(4, 13)

(1, 10)

(3, 4)

(0, -2)

(5, 8)

(-2, 1)

(4, 7)

Løs oppgaven Tren

Nullpunkt

Nullpunktet er der grafen kryssar $x$ -aksen, altså der $f(x) = 0$ .

For å finna nullpunktet løyser vi likninga:
$ax + b = 0$
$x = -\frac{b}{a}$

✏️Døme 4: Finna nullpunkt

Finn nullpunktet for funksjonane:

a) $f(x) = 2x + 6$
b) $g(x) = -3x + 9$

Løysing:

a) $f(x) = 2x + 6$
$2x + 6 = 0$
$2x = -6$
$x = -3$
Nullpunkt: $(-3, 0)$

b) $g(x) = -3x + 9$
$-3x + 9 = 0$
$-3x = -9$
$x = 3$
Nullpunkt: $(3, 0)$

📝Oppgave 4

Finn nullpunktet for funksjonane.

f(x) = 4x + 8

g(x) = -2x + 10

h(x) = 5x - 15

k(x) = -x + 7

Løs oppgaven Tren

Skjæringspunkt mellom linjer

For å finna skjæringspunktet mellom to linjer $f(x) = a_1x + b_1$ og $g(x) = a_2x + b_2$ :

1. Set $f(x) = g(x)$
2. Løys likninga for å finna $x$
3. Set $x$ -verdien inn i ein av funksjonane for å finna $y$

✏️Døme 5: Skjæringspunkt mellom linjer

Finn skjæringspunktet mellom $f(x) = 2x + 1$ og $g(x) = -x + 10$ .

Løysing:

Steg 1: Set $f(x) = g(x)$
$2x + 1 = -x + 10$

Steg 2: Løys likninga
$2x + x = 10 - 1$
$3x = 9$
$x = 3$

Steg 3: Finn $y$ -verdi
$f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$

Svar: Skjæringspunktet er $(3, 7)$

📝Oppgave 5

Finn skjæringspunktet mellom linjene.

f(x) = x + 2

g(x) = 3x - 4

f(x) = 2x + 5

g(x) = -x + 11

f(x) = -3x + 12

g(x) = x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Teikn grafane til funksjonane i GeoGebra og finn skjeringspunkta.

Teikn $f(x) = 2x - 3$ og $g(x) = -x + 6$ . Finn skjeringspunktet.

Teikn $f(x) = 0.5x + 1$ og $g(x) = -2x + 11$ . Finn skjeringspunktet.

Praktiske anvendingar

Lineære funksjonar blir ofte brukte til å modellera situasjonar i kvardagen:
- Taxi-pris: Fast startpris + pris per kilometer
- Mobilabonnement: Fast månadsris + pris per minutt/SMS
- Lønn: Fast timelønn ganger antall timar

✏️Døme 6: Taxi-pris

Ein taxi kostar 50 kr i oppstart og 15 kr per kilometer.

a) Set opp ein funksjon $P(x)$ for prisen der $x$ er antall kilometer.
b) Kva kostar ein tur på 8 km?
c) Kor langt kan du køyra for 200 kr?

Løysing:

a) $P(x) = 15x + 50$

b) $P(8) = 15 \cdot 8 + 50 = 120 + 50 = 170$ kr

c) $200 = 15x + 50$
$15x = 150$
$x = 10$ km

📝Oppgave 7

Ein telefonteneste kostar 30 kr i månaden pluss 1,50 kr per SMS.

Set opp ein funksjon $K(x)$ for månadskosnaden der $x$ er antall SMS.

Kva blir månadskosnaden viss du sender 80 SMS?

Kor mange SMS kan du senda viss du har budsjett på 75 kr?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Eit vannbasseng inneheld 500 liter vatn. Det blir tapt ut 20 liter per minutt.

Set opp ein funksjon $V(t)$ for vatnmengda etter $t$ minutt.

Kor mykje vatn er igjen etter 10 minutt?

Når er bassenget tomt?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

To vener skal møtast. Anna startar heimefrå klokka 12:00 og går mot byen med 5 km/t. Bjørn startar frå byen klokka 12:00 og går mot Anna med 4 km/t. Avstanden mellom dei er 18 km.

Set opp ein funksjon $A(t)$ for Annas avstand frå heimen etter $t$ timar.

Set opp ein funksjon $B(t)$ for Bjørns avstand frå Annas hjem etter $t$ timar.

Når møtast dei, og kor langt frå Annas heim?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

To mobilabonnement tilbydast:

Abonnement A kostar 99 kr/mnd + 0,50 kr per SMS. Abonnement B kostar 149 kr/mnd med gratis SMS. Set opp funksjonar for begge.

Ved kor mange SMS per månad er abonnementa like dyre?

Kva abonnement lønner seg viss du sender 150 SMS per månad?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Les av stigningstal og konstantledd frå grafane.

Ein linje går gjennom $(0, 3)$ og $(2, 7)$

Ein linje går gjennom $(0, 5)$ og $(4, 1)$

Ein linje går gjennom $(0, -2)$ og $(3, 4)$

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Temperaturutvikling

Klokka 06:00 er temperaturen 8°C. Temperaturen stig med 2°C per time. Set opp ein funksjon $T(t)$ der $t$ er tal på timar etter kl. 06:00.

Kva er temperaturen klokka 12:00?

Når er temperaturen 24°C?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Ein bedrift produserer varer. Produksjonskostnaden er gitt ved $K(x) = 50x + 2000$ kr, der $x$ er tal på einingar. Salgsinntekta er $I(x) = 80x$ kr.

Forklar kva tala 50, 2000 og 80 betyr i denne samanhengen.

Ved kor mange selde einingar går bedrifta i null (break-even)?

Kva er fortjenesta ved sal av 100 einingar?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Avansert: Parallelle og vinkelrette linjer

To linjer er parallelle når dei har same stigningstall. Finn $k$ slik at $f(x) = 3x + 2$ og $g(x) = kx - 5$ er parallelle.

Finn funksjonsuttrykket for linja som er parallell med $f(x) = 2x + 3$ og går gjennom punktet $(4, 5)$ .

Finn funksjonsuttrykket for linja som går gjennom origo og punktet $(3, -6)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgåve: To mobilabonnement har funksjonsuttrykka

A(x) = 0{,}80x + 50

B(x) = 0{,}40x + 120

, der

x

er tal på minutt per månad. Ein elev påstår at abonnement A alltid er billigast fordi det har lågare fastpris. Har eleven rett? Grunngev svaret ditt med berekning og forklar kva stigningstallet og konstantleddet tyder i denne samanhengen.

Oppsummering

I dette kapitlet har du lært:

- Lineær funksjon: Ein funksjon på forma $f(x) = ax + b$ , der $a$ er stigningstallet og $b$ er konstantleddet
- Stigningstall: Blir reikna mellom to punkt med $\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ , og fortel kor mykje $y$ endrar seg når $x$ aukar med 1
- Finne funksjonsuttrykk: Reikna stigningstallet frå to punkt, set inn eitt punkt for å finne $b$
- Nullpunkt: Der grafen kryssar $x$ -aksen, blir funne ved å setje $f(x) = 0$
- Skjæringspunkt: Mellom to linjer blir funne ved å setje $f(x) = g(x)$ og løyse for $x$

Nøkkelbegrep

Begrep	Forklaring
Stigningstall ( $a$ )	Kor mykje $y$ aukar når $x$ aukar med 1
Konstantledd ( $b$ )	Der grafen kryssar $y$ -aksen
Nullpunkt	Der grafen kryssar $x$ -aksen ( $f(x) = 0$ )
Skjæringspunkt	Punkt der to grafar møtast

Viktige formlar

f(x) = ax + b

(lineær funksjon)
-

\displaystyle a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

(stigningstall)
-

\displaystyle x = -\frac{b}{a}

(nullpunkt)

Repetisjonsoppgåver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.