Tilbake
10.2
Alle fag for 10. klasse

10.2 Formlike figurer og målestokk

Formlikhet, forstørrelsesfaktor, målestokk i kart og tegninger.

60 min
8 oppgaver
FormlikhetMålestokkForstørrelsesfaktorKart
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 8 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Formlikt figurar og målestokk

Tenk deg at du forstørrar eit bilete på datamaskinen. Biledet ser likt ut, men det er blitt større. Alle avstandar i biledet har auka med den same faktoren, og alle vinklane er dei same. Dette er eit døme på formlikheit (også kalla likedannetheit).

Medan kongruente figurar har same form og storleik, har formlikt figurar berre same form – størleiken kan vere ulik.

I dette kapittelet skal du lære:
- Kva formlikt figurar er og kva forstørringsfaktoren betyr
- Formlikheitskriterier for trekanter (Å, SSS, SVS)
- Korleis du finn ukjende sider ved hjelp av formlikheit
- Målestokk i kart, teiningar og modellar

Formlikt figurar og forstørringsfaktor
To figurar er formlikt dersom dei har nøyaktig same form. Det betyr:
- Alle svarande vinklar er like store
- Alle svarande sider har det same forholdstalet

Vi skriv △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF og les det som «trekant ABC er formlikt trekant DEF».

Forstørringsfaktoren (eller skaleringsfaktoren) kk er forholdstalet mellom svarande sider:

k=DEAB=EFBC=DFACk = \frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC}

- Hvis k>1k > 1, er den andre figuren større (forstørring)
- Hvis k<1k < 1, er den andre figuren mindre (forminsking)
- Hvis k=1k = 1, er figurane kongruente

✏️Døme: Bestemme forstørringsfaktor

Tenk deg to trekanter ABC og DEF der AB=3AB = 3 cm, BC=4BC = 4 cm, AC=5AC = 5 cm, DE=6DE = 6 cm, EF=8EF = 8 cm og DF=10DF = 10 cm. Er trekantane formlikt? Kva er forstørringsfaktoren?

Løysing:

Vi kontrollerer om forholdstala er like:

DEAB=63=2\frac{DE}{AB} = \frac{6}{3} = 2

EFBC=84=2\frac{EF}{BC} = \frac{8}{4} = 2

DFAC=105=2\frac{DF}{AC} = \frac{10}{5} = 2

Alle forholdstala er like (=2= 2), så trekantane er formlikt: △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF.

Forstørringsfaktoren er k=2k = 2. Det betyr at △DEF\triangle DEF er dobbelt så stor som △ABC\triangle ABC.

📝Oppgave 1

Tenk deg to trekanter PQR og STU der PQ=5PQ = 5 cm, QR=12QR = 12 cm, PR=13PR = 13 cm, ST=10ST = 10 cm, TU=24TU = 24 cm og SU=26SU = 26 cm. a) Vis at trekantane er formlikt. b) Finn forstørringsfaktoren. c) Er nokon av trekantane rettvinklede?

a

Vis at trekantane er formlikt.

b

Finn forstørringsfaktoren.

c

Er nokon av trekantane rettvinklede?

Løs oppgavenTren
Formlikheitskriterier for trekanter
For å vise at to trekanter er formlikt, treng du ikkje kontrollere alle sider og vinklar. Det held å bruke eitt av desse kriteria:

Å-kriteriet (vinkel-vinkel): Dersom to vinklar i den eine trekanten er like store som to vinklar i den andre trekanten, er trekantane formlikt. (Den tredje vinkelen er då automatisk lik, sidan vinkelsummen er 180°180°.)

SSS-kriteriet (for formlikheit): Dersom alle tre par av svarande sider har det same forholdstalet, er trekantane formlikt.

DEAB=EFBC=DFAC=k\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{DF}{AC} = k

SVS-kriteriet (for formlikheit): Dersom to par av svarande sider har det same forholdstalet og vinkelen mellom dei er lik, er trekantane formlikt.

✏️Døme: Bruke Å-kriteriet

Tenk deg to trekanter. Trekant ABC har ∠A=35°\angle A = 35° og ∠B=90°\angle B = 90°. Trekant DEF har ∠D=35°\angle D = 35° og ∠F=55°\angle F = 55°. Er trekantane formlikt?

Løysing:

Vi finn dei manglade vinklane:

I △ABC\triangle ABC: ∠C=180°−35°−90°=55°\angle C = 180° - 35° - 90° = 55°

I △DEF\triangle DEF: ∠E=180°−35°−55°=90°\angle E = 180° - 35° - 55° = 90°

No samanliknar vi:
- ∠A=35°=∠D\angle A = 35° = \angle D
- ∠B=90°=∠E\angle B = 90° = \angle E
- ∠C=55°=∠F\angle C = 55° = \angle F

To par av vinklar er like (eigentleg alle tre), så etter Å-kriteriet er △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF.

📝Oppgave 2

Avgjør om følgjande trekantspar er formlikt. Grunngje svaret ditt med rett kriterium.

a

Trekant ABC med vinklar 50°50°, 60°60°, 70°70° og trekant DEF med vinklar 50°50°, 70°70°, 60°60°.

b

Trekant GHI med sider 33, 44, 66 og trekant JKL med sider 66, 88, 1212.

c

Trekant MNO med vinklar 30°30°, 60°60°, 90°90° og trekant PQR med vinklar 45°45°, 45°45°, 90°90°.

Løs oppgavenTren

Ein av dei viktigaste anvendingane av formlikheit er å finne ukjende sidelengder. Dersom to trekanter er formlikt, kan vi setje opp ei likning basert på forholdstala mellom svarande sider.

Framgangsmåte:
1. Vis at trekantane er formlikt (bruk Å, SSS eller SVS)
2. Skriv opp forholdstalet mellom kjende svarande sider
3. Setj opp ei likning med den ukjende sida
4. Løys likninga

✏️Døme: Finne ukjend side med formlikheit

Tenk deg ein trekant ABC der ei linje DE er trukken parallelt med BC. Linja treffer AB i D og AC i E. Vi veit at AD=4AD = 4 cm, DB=6DB = 6 cm, AE=3AE = 3 cm og at DE er parallell med BC. Finn lengda av EC og BC, gitt at DE=5DE = 5 cm.

Løysing:

Sidan DE∥BCDE \parallel BC, er △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC etter Å-kriteriet (vinklane ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC og ∠AED=∠ACB\angle AED = \angle ACB fordi dei er samsvarande vinklar ved parallelle linjer).

Forstørringsfaktoren:

k=ABAD=AD+DBAD=4+64=104=2,5k = \frac{AB}{AD} = \frac{AD + DB}{AD} = \frac{4 + 6}{4} = \frac{10}{4} = 2{,}5

Vi finn EC:

ACAE=k=2,5\frac{AC}{AE} = k = 2{,}5

AC=AE⋅2,5=3⋅2,5=7,5 cmAC = AE \cdot 2{,}5 = 3 \cdot 2{,}5 = 7{,}5 \text{ cm}

EC=AC−AE=7,5−3=4,5 cmEC = AC - AE = 7{,}5 - 3 = 4{,}5 \text{ cm}

Vi finn BC:

BCDE=k=2,5\frac{BC}{DE} = k = 2{,}5

BC=DE⋅2,5=5⋅2,5=12,5 cmBC = DE \cdot 2{,}5 = 5 \cdot 2{,}5 = 12{,}5 \text{ cm}

Svar: EC=4,5EC = 4{,}5 cm og BC=12,5BC = 12{,}5 cm.

📝Oppgave 3

Tenk deg ein trekant ABC der ei linje DE er trekt parallelt med BC, slik at D ligg på AB og E ligg på AC. Vi veit at AD=6AD = 6 cm, DB=9DB = 9 cm og DE=8DE = 8 cm. Finn lengda av BC.

Ein klassisk anvendelse av formlikskap er å måle høyda av ting som er for høge til å måle direkte – som trær, bygningar og flaggstangar. Vi kan bruke skuggar eller speil til å danne formlike trekanter.

Skugge-metoden: Når sola skinn, kastar alle gjenstandar skugga. Solstrålar er tilnærma parallelle, så ein person og eit tre dannar to formlike trekanter med bakken og solstrålane.

Speil-metoden: Legg eit speil på bakken. Gå bakover til du ser toppen av gjenstanden i speilet. Lysrefleksjonen dannar to formlike trekanter.

✏️Døme: Måle høyda av eit tre

Du vil finne høyda av eit tre. Du er 1,701{,}70 m høg, og skugga di er 2,002{,}00 m lang. Treets skugga er 14,0014{,}00 m lang. Kor høgt er treet?

Løysing:

Solstrålane er tilnærma parallelle. Du og treet dannar to rettvinklede trekanter med bakken:

- Din trekant: Høyde =1,70= 1{,}70 m, skugga =2,00= 2{,}00 m
- Treets trekant: Høyde =h= h, skugga =14,00= 14{,}00 m

Dei to trekantane er formlike (Å-kriteriet: båe har ein rett vinkel mot bakken og same vinkel frå solstrålane).

Vi set opp forholdstalet:

h1,70=14,002,00\frac{h}{1{,}70} = \frac{14{,}00}{2{,}00}

h=1,70⋅14,002,00=1,70⋅7=11,9 mh = 1{,}70 \cdot \frac{14{,}00}{2{,}00} = 1{,}70 \cdot 7 = 11{,}9 \text{ m}

Svar: Treet er 11,911{,}9 m høgt.

📝Oppgave 4

Du legg eit speil på bakken 8,08{,}0 m frå foten av ei bygning. Du går bakover frå speilet og ser toppen av bygningen i speilet når du er 2,02{,}0 m frå speilet. Øygna dine er 1,651{,}65 m over bakken. Finn høyda av bygningen.

Målestokk
Målestokk er forholdet mellom ein avstand på eit kart, ein tegning eller ein modell og den verkelege avstanden.

Ma˚lestokk=avstand pa˚ kart/tegningverkelig avstand\text{Målestokk} = \frac{\text{avstand på kart/tegning}}{\text{verkelig avstand}}

Målestokk skriv seg som eit forholdstall, til dømes:

- 1:1001 : 100 betyr at 1 cm på tegningen tilsvara 100 cm (=1= 1 m) i verkeligheta
- 1:50 0001 : 50\,000 betyr at 1 cm på kartet tilsvara 50 000 cm (=500= 500 m) i verkeligheta
- 1:1 000 0001 : 1\,000\,000 betyr at 1 cm på kartet tilsvara 10 km i verkeligheta

For å finne verkelig avstand: verkelig avstand=kartavstand⋅nemnaren i ma˚lestokken\text{verkelig avstand} = \text{kartavstand} \cdot \text{nemnaren i målestokken}

For å finne kartavstand: kartavstand=verkelig avstandnemnaren i ma˚lestokken\displaystyle \text{kartavstand} = \frac{\text{verkelig avstand}}{\text{nemnaren i målestokken}}

✏️Døme: Bruke målestokk

På eit kart med målestokk 1:50 0001 : 50\,000 måler du at avstanden mellom to byar er 7,47{,}4 cm. Kva er den verkelege avstanden?

Løysing:

Målestokk 1:50 0001 : 50\,000 betyr at 1 cm på kartet tilsvara 50 000 cm i verkeligheta.

Verkelig avstand=7,4⋅50 000=370 000 cm\text{Verkelig avstand} = 7{,}4 \cdot 50\,000 = 370\,000 \text{ cm}

Vi gjer om til kilometer:

370 000 cm=3 700 m=3,7 km370\,000 \text{ cm} = 3\,700 \text{ m} = 3{,}7 \text{ km}

Svar: Den verkelege avstanden er 3,73{,}7 km.

📝Oppgave 5

Eit turkart har målestokk 1:25 0001 : 25\,000.

a

Du måler 1212 cm på kartet mellom hytta og vatnet. Kva er den verkelege avstanden i meter?

b

Den verkelege avstanden frå hytta til toppen er 1,51{,}5 km. Kor lang er denne avstanden på kartet?

c

Eit rektangulært tjørn er 4,04{,}0 cm langt og 1,61{,}6 cm breitt på kartet. Finn det verkelege arealet av tjørnet i kvadratmeter.

Løs oppgavenTren

Arkitektar bruker målestokk for å tegne bygningar i ein handterleg storleik. Vanlege målestokkar i arkitekturtegiingar er:

- 1:1001 : 100 – Plantegningar (1 cm = 1 m)
- 1:501 : 50 – Detaljerte plantegningar (1 cm = 0,5 m)
- 1:201 : 20 – Snitt og detaljar (1 cm = 20 cm)
- 1:5001 : 500 – Situasjonsplan/utomhusplan

Modellbyggjarar bruker òg målestokk. Ein modell i 1:871 : 87 (H0-skala for modelltog) betyr at ein verkelig bygning på 10 m vert 10/87≈0,11510 / 87 \approx 0{,}115 m ≈11,5\approx 11{,}5 cm i modellen.

✏️Døme: Plantegning med målestokk

Ein plantegning av ei leilegheit har målestokk 1:1001 : 100. Stova er tegna som eit rektangel som er 4,54{,}5 cm breitt og 6,06{,}0 cm langt. Kva er det verkelege arealet av stova?

Løysing:

Målestokk 1:1001 : 100 betyr at 1 cm på tegningen er 100 cm (=1= 1 m) i verkeligheta.

Verkelig breidd: 4,5⋅100=4504{,}5 \cdot 100 = 450 cm =4,5= 4{,}5 m

Verkelig lengde: 6,0⋅100=6006{,}0 \cdot 100 = 600 cm =6,0= 6{,}0 m

Virkelig areal:

A=4,5⋅6,0=27,0 m2A = 4{,}5 \cdot 6{,}0 = 27{,}0 \text{ m}^2

Svar: Stova er 27,027{,}0 m2^2.

Merk: Arealforholdet er k2=1002=10 000k^2 = 100^2 = 10\,000. Areal på tegning: 4,5⋅6,0=27,04{,}5 \cdot 6{,}0 = 27{,}0 cm2^2. Verkelig areal: 27,0⋅10 000=270 00027{,}0 \cdot 10\,000 = 270\,000 cm2^2 =27,0= 27{,}0 m2^2. Same svar!

📝Oppgave 6

Ein arkitekt har tegna ei plantegning av eit hus i målestokk 1:501 : 50. a) Soverommet er tegna som eit rektangel på 6,06{,}0 cm ×\times 8,08{,}0 cm. Finn dei verkelege måla og arealet. b) Inngangsdøra er 1,81{,}8 cm bred på tegningen. Kor bred er ho i verkeligheta? c) Eit kvadratisk vindauge har eit areal på 1,441{,}44 cm2^2 på tegningen. Kva er det verkelege arealet i cm2^2?

a

Finn dei verkelege måla og arealet av soverommet.

b

Kor bred er inngangsdøra i verkeligheta?

c

Kva er det verkelege arealet av vindauget?

Løs oppgavenTren
Areal og volum ved formlikskap
Når to figurar er formlike med forstørringssfaktor kk, gjeld:

Lengder: Alle lengder blir multiplisert med kk

ny lengd=k⋅opphavleg lengd\text{ny lengd} = k \cdot \text{opphavleg lengd}

Areal: Arealet blir multiplisert med k2k^2

nytt areal=k2⋅opphavleg areal\text{nytt areal} = k^2 \cdot \text{opphavleg areal}

Volum: Volumet blir multiplisert med k3k^3

nytt volum=k3⋅opphavleg volum\text{nytt volum} = k^3 \cdot \text{opphavleg volum}

Døme: Dersom ein modell er i målestokk 1:101:10 (k=10k = 10), er det verkelege arealet 102=10010^2 = 100 gonger større, og det verkelege volumet er 103=1 00010^3 = 1\,000 gonger større.

✏️Døme: Areal og volum ved skalering

Ein skulptur er 30 cm høg og har eit volum på 2 7002\,700 cm3^3. Ein formlik kopi skal vere 50 cm høg. Finn volumet av kopien.

Løysing:

Forstørringssfaktoren:

k=5030=53k = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}

Volumet blir multiplisert med k3k^3:

Vkopi=k3⋅Voriginal=(53)3⋅2 700V_{\text{kopi}} = k^3 \cdot V_{\text{original}} = \left(\frac{5}{3}\right)^3 \cdot 2\,700

=12527⋅2 700=125⋅100=12 500 cm3= \frac{125}{27} \cdot 2\,700 = 125 \cdot 100 = 12\,500 \text{ cm}^3

Svar: Volumet av kopien er 12 50012\,500 cm3^3.

📝Oppgave 7

To formlike sylindrar har høydene h1=12h_1 = 12 cm og h2=18h_2 = 18 cm. Den minste sylinderen har grunnflate A1=28,3A_1 = 28{,}3 cm2^2 og volum V1=339,6V_1 = 339{,}6 cm3^3. Finn grunnflaten og volumet av den største sylinderen.

📝Oppgave F1
Finn feilen! Lisa har tegna eit rektangel som er 4 cm langt og 3 cm breitt på ei tegning med målestokk 1:501:50. Ho skal finne arealet av rektangelet i røynda og reknar slik:

«Målestokken er 1:501:50, so alle lengder i røynda er 5050 gonger større. Arealet på tegningen er 4⋅3=124 \cdot 3 = 12 cm2^2. Arealet i røynda er 12⋅50=60012 \cdot 50 = 600 cm2^2.»

Finn feilen og rekn ut rett areal.

📝Oppgave S1
Sant eller usant?

Dersom målestokken på eit kart er 1:1001:100, er arealet i røynda 100100 gonger større enn på kartet.

📝Oppgave D1
Drøftingsoppgåve: Den greske matematikasen Thales skal ha brukt formlike trekanter til å måle høyda av ein pyramide ved hjelp av skuggen. Han målte si eiga skugge og pyramiden sin skugge samtidig, og brukte formlikskap til å rekne ut høyda.

a) Forklar kvifor Thales' metode fungerer — kva føresetnader må vere oppfylte?

b) Ein person som er 1,701{,}70 m høg kastar ein skugge som er 2,402{,}40 m lang. Samtidig kastar eit tre ein skugge som er 8,008{,}00 m lang. Finn høyda av treet.

c) Drøft: Kva feilkjelder kan påverke nøyaktigheita av denne metoden?

Oppsummering

Formlike figurar har same form, men kan ha ulik storleik. Alle samsvarande vinklar er like store, og alle samsvarande sider har det same forholdstalet.

KriteriaKrav
ÅTo par like vinklar
SSS (formlikskap)Alle sidepar har likt forholdstall
SVS (formlikskap)To sidepar har likt forholdstall og vinkelen mellom er lik

Forstørringssfaktor kk:
- Lengder: blir multiplisert med kk
- Areal: blir multiplisert med k2k^2
- Volum: blir multiplisert med k3k^3

Målestokk 1:n1 : n betyr at 1 eining på tegningen svarar til nn einingar i røynda.
Praktiske bruksområde:
- Høydemåling med skuggar eller spegel
- Kartlesing og avstandsberekning

- Arkitekttegningar og modellbygging

📝Oppgave 8

Ein kommune skal bygge ein ny park. Arkitekten har tegna parken i målestokk 1:2001 : 200. Parken har form som ein trekant med sider 15,015{,}0 cm, 20,020{,}0 cm og 25,025{,}0 cm på tegningen. I parken er det ein sirkelforma fontene som har diameter 3,03{,}0 cm på tegningen.

a

Finn dei verkelege sidelengdene av parken i meter.

b

Vis at parken er rettvinkla og finn arealet.

c

Finn den verkelege diameteren og arealet av fontenen.

d

Kor stor prosentandel av parken sitt areal dekker fontenen?

Løs oppgavenTren
Repetisjonsoppgåver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.