4.3 2×2-tabeller: kji-kvadrat, OR, RR og PR

Oppstillingen der radene er eksponeringen (var personen utsatt for det vi undersøker?) og kolonnene er utfallet (fikk personen tilstanden?):

Andelen i en gruppe som får utfallet i løpet av perioden man følger dem: $R = a/(a+b)$ for de eksponerte.

Det som skiller risiko fra prevalens: risiko handler om hvor mange som får tilstanden i en periode; prevalens om hvor mange som har den på et tidspunkt. Skillet er ikke pedanteri — det avgjør hvilket effektmål du har lov til å regne ut, og det er hele grunnen til at PR finnes ved siden av RR.

Enhet: en andel mellom 0 og 1, ofte oppgitt i prosent. Er risikoen $0{,}30$, sier vi «30 prosent», eller «30 per hundre».

$$\text{RR} = \frac{a/(a+b)}{c/(c+d)}$$

Tolkningen, som SKAL skrives ut: «risikoen er RR ganger så høy blant de eksponerte». Er $\text{RR} = 2{,}0$, er risikoen dobbelt så høy. Er $\text{RR} = 0{,}6$, er den 40 prosent lavere.

Nullverdien er 1. Et konfidensintervall for RR som dekker 1, betyr at forskjellen ikke er påvist.

Bruksbetingelsen: RR krever at du kan regne risiko, altså at radsummene er grupper du har fulgt over tid. Er tallene hentet slik at du selv har bestemt hvor mange syke og hvor mange friske som skulle med i studien, er $a/(a+b)$ ikke en risiko i det hele tatt, og RR kan ikke regnes ut. Da må du bruke OR.

Forskjellen mellom de to risikoene: $\text{RD} = a/(a+b) - c/(c+d)$, oppgitt i prosentpoeng.

Tolkningen: «det er RD flere tilfeller per hundre blant de eksponerte». Er risikoen 30 mot 15 prosent, er $\text{RD} = 15$ prosentpoeng.

Nullverdien er 0, ikke 1 — differansen er en subtraksjon.

Hvorfor den alltid bør stå ved siden av RR: forholdstallet alene skjuler størrelsen. En dobling fra 0,1 til 0,2 prosent gir $\text{RR} = 2{,}0$ og $\text{RD} = 0{,}1$ prosentpoeng; en dobling fra 30 til 60 prosent gir samme RR og $\text{RD} = 30$ prosentpoeng. Samme forholdstall, tre hundre ganger så stor absolutt forskjell. Sensor ser etter kandidater som oppgir begge, og det er en av de billigste måtene å løfte et svar på.

Forholdet mellom antallet som får utfallet og antallet som ikke får det: $\text{odds} = a/b$ i den eksponerte gruppen.

Kontrasten til risiko: risiko er «av alle», odds er «for mot imot». Får 30 av 200 utfallet, er risikoen $30/200 = 0{,}15$ og oddsen $30/170 = 0{,}176$. Ulike nevnere, ulike tall.

Sammenhengen: $\text{odds} = R/(1-R)$. Når risikoen er liten, er $1-R$ nær 1, og da er odds omtrent lik risiko. Er risikoen 1 prosent, er oddsen $0{,}0101$ — nesten identisk. Er risikoen 50 prosent, er oddsen $1{,}00$ — dobbelt så stor som risikoen.

Det er hele hemmeligheten bak «OR ligner RR ved sjelden sykdom»: når begge risikoene er små, er begge odds nesten lik sine risikoer, og da er forholdet mellom dem også nesten likt.

$$\text{OR} = \frac{a/b}{c/d} = \frac{ad}{bc}$$

Formen $ad/bc$ kalles «kryssproduktet»: gang de to tallene på hoveddiagonalen, del på produktet av de to andre.

Tolkningen, som SKAL skrives ut: «oddsen for utfallet er OR ganger så høy blant de eksponerte». Merk ordet odds — å si «risikoen» her er felle E1.

Nullverdien er 1.

Hvorfor OR finnes i det hele tatt, og hvorfor eksamen bryr seg: OR kan regnes ut fra enhver 2×2-tabell, også fra design der man har valgt hvor mange med og uten utfallet som skulle inkluderes. I slike design er $a/(a+b)$ ikke en risiko, og RR er meningsløs — men kryssproduktet $ad/bc$ gir fortsatt riktig svar. Det er den egenskapen som gjør OR til epidemiologiens arbeidshest.

Prisen for den fleksibiliteten: OR er alltid lenger fra 1 enn RR er. Er RR over 1, er OR større; er RR under 1, er OR mindre. OR overdriver derfor alltid sammenhengen litt — og ved vanlige utfall mye.

Hypotesene: $H_0$ = ingen sammenheng mellom eksponering og utfall (de to variablene er uavhengige) mot $H_a$ = det er en sammenheng.

Snarveiformelen for en 2×2:
$$\chi^2 = \frac{N(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$$

Legg merke til $ad-bc$ i telleren: er kryssproduktene like, er $\chi^2 = 0$ og det er ingen sammenheng i det hele tatt. Kvadreringen gjør at fortegnet forsvinner — testen sier om det er en sammenheng, ikke hvilken vei.

Kritisk verdi: 3,84 ved 1 frihetsgrad og 5 prosent nivå. Er $\chi^2 > 3{,}84$, forkastes $H_0$.

Forutsetning: alle forventede celletall må være minst 5. Merk «forventede» — det er ikke de observerte tallene som må være over 5.

$$E = \frac{\text{radsum} \cdot \text{kolonnesum}}{N}$$

Med dette kan $\chi^2$ også regnes i sin generelle form:
$$\chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E}$$
summert over alle fire cellene, der $O$ er observert antall.

De to formene gir nøyaktig samme tall for en 2×2. Snarveiformelen er raskere; denne er den du bruker når oppgaven ber om forventede celletall, eller når tabellen er større enn 2×2.

Praktisk nytte: ved å sammenligne $O$ og $E$ celle for celle ser du hvor avviket sitter — hvilken celle som har flere enn ventet. Det er ofte det tolkningsleddet oppgaven faktisk er ute etter.

En 2×2-tabell har 1 frihetsgrad, og derfor er den kritiske verdien alltid 3,84 ved 5 prosent nivå.

Hvorfor bare én: når radsummene og kolonnesummene er gitt, holder det å kjenne ett celletall — de tre andre følger av subtraksjon. Bare én av de fire cellene kan velges fritt.

Den generelle regelen for større tabeller er $(\text{rader}-1) \cdot (\text{kolonner}-1)$, som for en 2×2 gir $1 \cdot 1 = 1$.

Kritiske $\chi^2$-verdier ved 1 frihetsgrad: 3,84 ved 5 prosent, 6,63 ved 1 prosent.

Alternativet til kji-kvadrat på en 2×2: regn differansen mellom de to andelene, del på standardfeilen, og sammenlign med 1,96.

Sammenhengen mellom de to testene: $\chi^2 = z^2$. Er $\chi^2 = 12{,}90$, er $z = \sqrt{12{,}90} = 3{,}59$. Og terskelverdiene henger sammen på samme måte: $3{,}84 = 1{,}96^2$.

De gir derfor alltid identisk konklusjon, og sensorveiledningen i blokk 1-settene H25 og V26 godtar begge veier. Velg den du har best kontroll på under tidspress.

Når den ene er å foretrekke: z-formen gir deg fortegnet, altså hvilken gruppe som ligger høyest, og den lar seg lett utvide til et konfidensintervall for differansen. Kji-kvadrat er raskere å regne fra rene celletall.

$$\text{PR} = \frac{a/(a+b)}{c/(c+d)}$$

Tolkningen: «prevalensen er PR ganger så høy blant de eksponerte», eller «forekomsten er 84 prosent høyere» om $\text{PR} = 1{,}84$.

Hvorfor navnet skifter når regnestykket ikke gjør det: fordi tolkningen skifter. RR sier noe om hvor mange som får tilstanden i en periode; PR sier hvor mange som har den nå. Å kalle det relativ risiko i et tverrsnitt er å påstå noe om utvikling over tid som designet ikke kan si noe om — og det er en variant av felle E1, altså å bruke risikospråk der designet ikke tillater det.

Den praktiske regelen: står ordet «tverrsnitt», «på ett tidspunkt» eller «forekomst» i oppgaveteksten, heter målet PR.

En kort oversikt som løser en hel oppgavetype:

Hvert mål har sitt verb, og feil verb er en faglig feil — ikke en språklig detalj.

Rad- og kolonnesummene i tabellen: $a+b$, $c+d$, $a+c$, $b+d$, og totalen $N$.

Hvorfor de er verdt fem sekunder: de inngår i nevneren i kji-kvadratformelen, i formelen for forventede celletall, og i alle risikoene. En avskrivningsfeil i én celle rammer flere av dem samtidig — og oppdages umiddelbart hvis du kontrollerer at $(a+b)+(c+d) = (a+c)+(b+d) = N$.

Og en dypere pointe: hvilke marginalsummer som var bestemt på forhånd av forskeren, avgjør hvilke effektmål du har lov til å regne. Radsummene fastsatt → OR, RR og RD kan regnes. Kolonnesummene fastsatt → bare OR.

Forholdstall er ikke symmetrisk fordelt — de kan ikke bli negative, men kan bli vilkårlig store — og derfor regnes konfidensintervallet for OR og RR på logaritmisk skala og gjøres om tilbake til slutt.

Resultatet er et intervall som er usymmetrisk om punktestimatet: et OR på 2,4 kan for eksempel ha intervallet fra 1,5 til 3,9, der det er lengre opp enn ned.

Det du må kunne: at nullverdien er 1, og at et intervall som dekker 1 betyr «ikke signifikant» — nøyaktig samme konklusjon som testen gir. Selve utregningen på logskala er stoff du bør kjenne til, ikke noe du forventes å utføre for hånd.

Alle effektmålene i kapitlet måler sammenheng — at to ting opptrer sammen oftere enn tilfeldig. Ingen av dem måler årsak.

Tre grunner til at en sammenheng kan finnes uten at det er en årsakssammenheng: gruppene skiller seg på noe annet som selv påvirker utfallet · rekkefølgen i tid er ukjent (særlig i tverrsnitt) · de som havnet i den eksponerte gruppen kan ha gjort det av grunner som selv henger sammen med utfallet.

Formuleringen som hører hjemme i tolkningen: «sammenhengen er statistisk sikker, men designet kan ikke avgjøre om eksponeringen er årsaken». Én setning, og den viser en varsomhet sensor premierer — det er nettopp den varsomheten faget forsøker å lære bort.

Teststatistikken avhenger av to ting samtidig: hvor sterk sammenhengen er, og hvor mange personer som er med.

Konsekvensen: en svak sammenheng i et enormt materiale gir høy $\chi^2$, og en sterk sammenheng i et lite materiale gir lav. Teststatistikkens størrelse er derfor ikke et mål på hvor sterk sammenhengen er — den er et mål på hvor sikker vi er på at den finnes.

I praksis: skriv aldri «$\chi^2 = 25$, altså en sterk sammenheng». Skriv «$\chi^2 = 25$, altså statistisk signifikant» og oppgi effektmålet ved siden av. Å blande de to er felle E3.

Fire raske kontroller som fanger de fleste regnefeil i denne sjangeren:

1. Ligger RR og OR på samme side av 1? Det skal de alltid gjøre. Får du $\text{RR} = 1{,}6$ og $\text{OR} = 0{,}8$, har du bommet på en celle.
2. Er OR lenger fra 1 enn RR? Det skal den alltid være. Er den nærmere, er noe galt.
3. Ligger $\chi^2$ i et rimelig område? Under 1 er «ingenting», rundt 4 er grensen, over 10 er tydelig. Får du 4 000, mangler det en marginalsum i nevneren.
4. Stemmer $\sqrt{\chi^2}$ med en z-verdi du kan kjenne igjen? Er $\chi^2 = 3{,}69$, er $z = 1{,}92$ — like under 1,96, akkurat som $3{,}69$ er like under $3{,}84$. Konsistent.