GeoGebra/S2 - Samfunnsfaglig matematikk/S2.1
S2 - Samfunnsfaglig matematikkKapittel S2.1

Integrasjon

Integrasjon er det motsatte av derivasjon. Vi bruker integral til å beregne areal under grafer, og til å finne funksjoner når vi kjenner den deriverte.

22 min
6 oppgaver
Dette skal du lære
  • •Ubestemt integral
  • •Bestemt integral
  • •Areal under graf
  • •CAS-integrasjon

Ubestemt integral

Det ubestemte integralet er den antideriverte av en funksjon:

∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x)\,dx = F(x) + C

Standardintegraler:

∫xn dx=xn+1n+1+C,n≠−1\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
∫ex dx=ex+C\int e^x\,dx = e^x + C
∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

Eksempel:

∫(3x2+2x−5) dx=x3+x2−5x+C\int (3x^2 + 2x - 5)\,dx = x^3 + x^2 - 5x + C

Ubestemt integral

Finn antideriverte av funksjoner.

Laster GeoGebra...

Bestemt integral

Det bestemte integralet beregner arealet under grafen fra a til b:

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Analysens fundamentalteorem:

Hvis F'(x) = f(x), så er arealet fra a til b lik F(b) - F(a)

Eksempel:

∫13x2 dx=[x33]13=273−13=263\int_1^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^3 = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}

Bestemt integral

Beregn areal under graf.

Laster GeoGebra...

Areal under graf

Integralet gir det signerte arealet under grafen:

Over x-aksen

Hvis f(x) ≥ 0: Integralet = positivt areal

Under x-aksen

Hvis f(x) ≤ 0: Integralet = negativt areal

Totalt areal:

For å finne totalt areal: Bruk absoluttverdien av integralet

A=∫ab∣f(x)∣ dxA = \int_a^b |f(x)|\,dx

Visualiser areal

Se hvordan integralet gir areal.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...
Ekstra oppgaver
  1. Finn ∫(4x³ + 2x - 1)dx
  2. Beregn ∫₀² (x² + 1)dx
  3. Finn arealet under f(x) = x³ - x fra x = 0 til x = 2
  4. Bruk integralet til å finne arealet mellom f(x) = x² og x-aksen fra 0 til 3
  5. Finn totalt areal mellom f(x) = sin(x) og x-aksen fra 0 til 2π

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

KommandoBeskrivelseEksempel
Integral(f)Ubestemt integral av fIntegral(x^2)
Integral(f, a, b)Bestemt integral fra a til bIntegral(x^2, 0, 2)
NIntegral(f, a, b)Numerisk integralNIntegral(sin(x), 0, pi)
IntegralBetween(f, a, b)Areal mellom funksjon og x-akseIntegralBetween(x^2, 0, 3)

Oppsummering

  • Ubestemt integral: ∫f(x)dx = F(x) + C
  • Bestemt integral: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a)
  • Integralet gir signert areal under graf
  • Bruk absoluttverdien for totalt areal