GeoGebra/S2 - Samfunnsfaglig matematikk/S2.2
S2 - Samfunnsfaglig matematikkKapittel S2.2

Areal og volum

Vi kan bruke integrasjon til å beregne areal mellom kurver og volum av omdreiningslegemer. Dette er nyttig i mange økonomiske og samfunnsfaglige anvendelser.

20 min
5 oppgaver
Dette skal du lære
  • •Areal mellom kurver
  • •Omdreiningslegemer
  • •Volum
  • •Numerisk integrasjon

Areal mellom to kurver

Arealet mellom to funksjoner f(x) og g(x) fra a til b er:

A=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dxA = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx

Hvis f(x) ≥ g(x):

A=∫ab(f(x)−g(x)) dxA = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx

Eksempel:

Finn arealet mellom f(x) = x² og g(x) = x fra 0 til 1:

A=∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=16A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{6}

Areal mellom kurver

Visualiser areal mellom to funksjoner.

Laster GeoGebra...

Skjæringspunkter

For å finne areal mellom kurver må vi ofte finne skjæringspunktene:

Fremgangsmåte:

  1. Finn skjæringspunkter: f(x) = g(x)
  2. Bestem hvilken funksjon som er øverst
  3. Beregn integralet mellom skjæringspunktene

Eksempel:

f(x) = 4 - x² og g(x) = x² skjærer i x = ±√2

A=∫−22(4−2x2) dxA = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2)\,dx

Finn skjæringspunkter

Finn hvor kurvene skjærer hverandre.

Laster GeoGebra...

Volum av omdreiningslegeme

Når vi dreier en kurve f(x) rundt x-aksen får vi et omdreiningslegeme:

V=π∫ab[f(x)]2 dxV = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx

Skivemetoden:

Vi tenker oss volumet som summen av tynne skiver med radius f(x)

Volumet av hver skive=π[f(x)]2Δx\text{Volumet av hver skive} = \pi [f(x)]^2 \Delta x

Eksempel:

Volum av kjegle ved å dreie f(x) = x rundt x-aksen fra 0 til h:

V=π∫0hx2 dx=πh33V = \pi \int_0^h x^2\,dx = \frac{\pi h^3}{3}

Omdreiningslegemer

Beregn volum av omdreiningslegemer.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...
Ekstra oppgaver
  1. Finn arealet mellom f(x) = x² og g(x) = 2x fra x = 0 til x = 2
  2. Beregn arealet mellom y = x³ og y = x
  3. Finn volumet når f(x) = √x dreies rundt x-aksen fra 0 til 4
  4. Beregn volumet av en kule med radius r ved å dreie f(x) = √(r² - x²)
  5. Finn arealet innesluttet av f(x) = sin(x) og g(x) = cos(x) fra 0 til π/4

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

KommandoBeskrivelseEksempel
IntegralBetween(f, g, a, b)Areal mellom f og gIntegralBetween(x, x^2, 0, 1)
Løs(f = g, x)Finn skjæringspunkterLøs(x^2 = 2x, x)
pi * Integral(f^2, a, b)Volum av omdreiningslegemepi * Integral(x^2, 0, 2)

Oppsummering

  • Areal mellom kurver: ∫ₐᵇ |f(x) - g(x)|dx
  • Finn skjæringspunkter først: f(x) = g(x)
  • Volum av omdreiningslegeme: V = π∫ₐᵇ [f(x)]²dx
  • Bruk skivemetoden for omdreiningslegemer