GeoGebra/S1 - Samfunnsfaglig matematikk/S1.1
S1 - Samfunnsfaglig matematikkKapittel S1.1

Funksjonsanalyse

Funksjonsanalyse handler om å forstå egenskapene til en funksjon: hvor den er definert, hvilke verdier den kan ta, hvor den vokser og avtar, og hvor den har sine høyeste og laveste punkter.

18 min
5 oppgaver
Dette skal du lære
  • •Definisjonsmengde
  • •Verdimengde
  • •Monotoni
  • •Ekstremalverdier

Definisjonsmengde og verdimengde

Definisjonsmengden (Df) er alle x-verdier funksjonen kan ta. Verdimengden (Vf) er alle y-verdier funksjonen kan gi.

Definisjonsmengde

Hvilke x-verdier kan vi sette inn?

  • For polynomer: Df = ℝ (alle reelle tall)
  • For brøk: x ≠ verdier som gjør nevner = 0
  • For √x: x ≥ 0

Verdimengde

Hvilke y-verdier kan funksjonen gi?

  • Se på grafen: hva er laveste/høyeste y?
  • Kvadratisk funksjon: y ≥ toppunkt (eller y ≤)
  • Lineær funksjon: Vf = ℝ

Eksempel: f(x) = x² - 4x + 3

Df = ℝ (alle reelle tall)
Vf = [-1, ∞) (funksjonen har minimum -1)

Utforsk definisjonsmengde og verdimengde

Se hvordan funksjonen oppfører seg og hvilke verdier den kan ta.

Laster GeoGebra...

Monotoni - vokser og avtar

En funksjon er voksende når y-verdiene øker når x øker. Den er avtagende når y-verdiene minker når x øker.

Voksende

f(x₁) < f(x₂) når x₁ < x₂

Grafen går oppover når x øker →

Avtagende

f(x₁) > f(x₂) når x₁ < x₂

Grafen går nedover når x øker →

Finn monotoni grafisk:

  1. Tegn grafen til funksjonen
  2. Se hvor grafen går opp (voksende) og ned (avtagende)
  3. Finn x-verdiene for intervallene

Analyser monotoni

Se hvor funksjonen vokser og avtar.

Laster GeoGebra...

Ekstremalverdier - topp- og bunnpunkt

Et toppunkt (maksimum) er det høyeste punktet lokalt på grafen. Et bunnpunkt (minimum) er det laveste punktet lokalt.

I GeoGebra:

Ekstremalpunkt(f)

Finner alle topp- og bunnpunkter automatisk

For kvadratisk funksjon f(x) = ax² + bx + c:

xtopp=−b2ax_{topp} = -\frac{b}{2a}

a > 0: bunnpunkt (smiler)
a < 0: toppunkt (sur)

Finn ekstremalverdier

Bruk Ekstremalpunkt() for å finne topp- og bunnpunkt.

Laster GeoGebra...

CAS - Computer Algebra System

GeoGebra CAS kan gjøre symbolske beregninger: forenkle, faktorisere, løse likninger og mye mer.

Viktige CAS-kommandoer:

  • Løs(likning, x) - løs likning
  • Faktoriser(uttrykk) - faktoriser
  • Utvid(uttrykk) - utvid
  • Forenkle(uttrykk) - forenkle

Eksempel:

Løs(x² - 5x + 6 = 0, x)
→ {x = 2, x = 3}

Faktoriser(x² - 5x + 6)
→ (x - 2)(x - 3)

Bruk CAS for funksjonsanalyse

Løs likninger og forenkle uttrykk symbolsk.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...
Ekstra oppgaver
  1. Finn definisjonsmengde og verdimengde for f(x) = x² - 6x + 5
  2. Bestem hvor f(x) = -x² + 8x - 7 er voksende og avtagende
  3. Finn toppunktet til f(x) = -2x² + 12x - 10
  4. Bruk CAS til å løse x² - 7x + 12 = 0
  5. Finn nullpunktene til f(x) = x³ - 4x

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

KommandoBeskrivelseEksempel
f(x) = uttrykkDefinerer en funksjonf(x) = x^2 - 4x + 3
Ekstremalpunkt(f)Finner alle ekstremalverdierEkstremalpunkt(f)
Løs(f(x) = 0, x)Løser likning i CASLøs(x^2 - 5x + 6 = 0, x)
Factor(uttrykk)Faktoriserer uttrykkFactor(x^2 - 5x + 6)
Simplify(uttrykk)Forenkler uttrykkSimplify((x^2-4)/(x-2))

Oppsummering

  • Definisjonsmengde: hvilke x-verdier funksjonen kan ta
  • Verdimengde: hvilke y-verdier funksjonen kan gi
  • Voksende: grafen går opp, avtagende: grafen går ned
  • Extremum(f) finner topp- og bunnpunkt
  • Bruk CAS for symbolske beregninger