GeoGebra/S1 - Samfunnsfaglig matematikk/S1.2
S1 - Samfunnsfaglig matematikkKapittel S1.2

Derivasjon

Den deriverte av en funksjon forteller oss hvor bratt grafen er i et punkt. Den viser hvor raskt funksjonen endrer seg, og er et kraftig verktøy for å analysere vekst, optimering og bevegelse.

22 min
6 oppgaver
Dette skal du lære
  • •Derivert
  • •Tangent
  • •Derivasjonsregler
  • •CAS-derivasjon

Hva er den deriverte?

Den deriverte f'(x) til en funksjon f(x) er stigningstallet til tangenten i punktet (x, f(x)).

Definisjon:

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Geometrisk tolkning

f'(x) = stigningstallet til tangenten

Fysisk tolkning

f'(x) = momentan endringshastighet

Viktig sammenheng:

  • f'(x) > 0 ⟹ f er voksende
  • f'(x) < 0 ⟹ f er avtagende
  • f'(x) = 0 ⟹ horisontal tangent (topp/bunn/terrassepunkt)

Utforsk den deriverte

Se hvordan tangenten endrer seg langs grafen.

Laster GeoGebra...

Derivasjonsregler

I stedet for å bruke definisjonen hver gang, bruker vi derivasjonsregler:

Potensregelen:

f(x)=xn⇒f′(x)=n⋅xn−1f(x) = x^n \quad \Rightarrow \quad f'(x) = n \cdot x^{n-1}

Konstantregel:

f(x)=c⇒f′(x)=0f(x) = c \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 0

Sumregel:

f(x)=g(x)+h(x)⇒f′(x)=g′(x)+h′(x)f(x) = g(x) + h(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = g'(x) + h'(x)

Konstantfaktorregel:

f(x)=c⋅g(x)⇒f′(x)=c⋅g′(x)f(x) = c \cdot g(x) \quad \Rightarrow \quad f'(x) = c \cdot g'(x)

Eksempel:

f(x)=3x4−5x2+7x−2f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2
f′(x)=12x3−10x+7f'(x) = 12x^3 - 10x + 7

Øv på derivasjon

Bruk Derivert() for å finne den deriverte.

Laster GeoGebra...

Tangentligning

Tangenten til f(x) i punktet (a, f(a)) er en rett linje med stigningstall f'(a).

Ettpunktsformelen:

y−f(a)=f′(a)⋅(x−a)y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)

eller

y=f′(a)⋅x+(f(a)−a⋅f′(a))y = f'(a) \cdot x + (f(a) - a \cdot f'(a))

Framgangsmåte:

  1. Finn f(a) - y-koordinaten til punktet
  2. Finn f'(x) - den deriverte
  3. Finn f'(a) - stigningstallet i x = a
  4. Sett inn i ettpunktsformelen

I GeoGebra:

Tangent((a, f(a)), f)

Finn tangentligning

Tegn tangenten i et punkt og finn likningen.

Laster GeoGebra...

Derivasjon i CAS

GeoGebra CAS kan derivere funksjoner både symbolsk og numerisk.

Symbolsk derivasjon:

Derivert(f(x))

Gir den deriverte som en formel

Numerisk derivasjon:

Derivert(f, a)

Gir verdien av f'(a)

Høyere ordens deriverte:

  • Derivert(f, 2) - andrederiverte f''(x)
  • Derivert(f, 3) - tredjederiverte f'''(x)

Bruk CAS for derivasjon

Deriver funksjoner både symbolsk og numerisk.

Laster GeoGebra...

Øv selv

Laster øvelser...
Ekstra oppgaver
  1. Deriver f(x) = 2x³ - 5x² + 3x - 7
  2. Finn tangentlikningen til f(x) = x² - 4x + 1 i x = 3
  3. Bestem hvor f(x) = x³ - 3x² har horisontal tangent
  4. Bruk CAS til å finne f''(x) for f(x) = x⁴ - 8x²
  5. Finn stigningstallet til f(x) = -x² + 6x i x = 2

Øvingsvindu

Løs oppgavene over.

Laster GeoGebra...

Nyttige kommandoer

KommandoBeskrivelseEksempel
Derivert(f)Deriverer funksjonen f symbolskDerivert(x^3 - 2x)
Derivert(f, a)Beregner f'(a) numeriskDerivert(f, 2)
Tangent(punkt, f)Tegner tangent til f i punktetTangent((2, f(2)), f)
Derivert(f, n)n-te deriverte av fDerivert(f, 2)

Oppsummering

  • f'(x) = stigningstallet til tangenten i x
  • Potensregelen: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
  • f'(x) > 0: voksende, f'(x) < 0: avtagende, f'(x) = 0: horisontal tangent
  • Tangent i (a, f(a)): y - f(a) = f'(a)·(x - a)
  • Derivative(f) i CAS gir den deriverte symbolsk