6.3 Linser, speil og synet

En samlelinse (konveks, tykkest på midten) bøyer parallelle stråler inn mot ett punkt, brennpunktet. Avstanden fra linsa til brennpunktet er brennvidden $f$, og for en samlelinse er $f > 0$.

En spredelinse (konkav, tynnest på midten) sprer parallelle stråler. Forlenget bakover ser de ut til å komme fra et brennpunkt på inngangssiden, og vi setter $f < 0$.

Optisk akse er linja gjennom linsemidten, vinkelrett på linsa. Alle avstander måles langs denne.

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$$

Alle tre størrelsene måles langs den optiske aksen, og formelen brukes også for speil (med $f = R/2$ for et kulespeil).

Merk brøkstrukturen: skal du finne $b$, blir det

$$\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{a} \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{1}{\ \tfrac1f - \tfrac1a\ }$$

Den vanligste regnefeilen er å glemme det siste steget og svare $1/b$ i stedet for $b$.

Dette er kapitlets viktigste enkeltavsnitt. Konvensjonen boka bruker:

- $a > 0$ for et vanlig objekt foran linsa.
- $f > 0$ for samlelinse, $f < 0$ for spredelinse.
- $b > 0$: bildet ligger på motsatt side av linsa. Det er da reelt — strålene møtes faktisk der, og bildet kan fanges på en skjerm. Det er også omvendt.
- $b < 0$: bildet ligger på samme side som objektet. Det er da virtuelt — strålene møtes bare når de forlenges bakover, og bildet kan ikke fanges på en skjerm. Det er rettvendt.

Får du negativ $b$, er det altså ikke en feil: det er svaret på om bildet er virtuelt.

$$m = \frac{b}{a} = \frac{y'}{y}$$

Tolkningen i boka følger fortegnskonvensjonen over:

- $m > 0$ (altså $b > 0$): reelt og omvendt bilde;
- $m < 0$ (altså $b < 0$): virtuelt og rettvendt bilde.

Tallverdien $|m|$ er hvor mange ganger større bildet er. Er $|m| < 1$, er bildet forminsket.

Slik leses fortegnet: fortegnet i $m$ kommer fra $b$, altså fra hvilken side bildet ligger på. Høydene $y$ og $y'$ regnes som tallverdier, så $|m| = y'/y$ er hvor mange ganger større bildet er, mens fortegnet forteller bildetypen.

Konstruksjonen bygger på tre stråler fra objektets topp. Du trenger bare to av dem, men den tredje er en gratis kontroll:

1. Parallellstrålen: går parallelt med den optiske aksen inn mot linsa, og videre gjennom brennpunktet på baksiden.
2. Brennpunktstrålen: går gjennom brennpunktet på framsiden, og videre parallelt med aksen.
3. Senterstrålen: går rett gjennom linsemidten uten å skifte retning.

Bildet ligger der strålene møtes. Møtes de bare når du forlenger dem bakover (stiplet), er bildet virtuelt.

For en spredelinse brukes samme tre stråler, men parallellstrålen ser ut til å komme fra brennpunktet på inngangssiden.

Et reelt bilde dannes der lysstrålene faktisk møtes. Du kan sette opp et papir der og se bildet på papiret. Reelle bilder fra en enkel linse er alltid omvendte, og $b > 0$.

Et virtuelt bilde dannes der strålene ser ut til å komme fra, når du forlenger dem bakover. Ingen lys går gjennom det punktet, så et papir der viser ingenting — men øyet ditt ser bildet, fordi øyet tolker strålene som om de kom derfra. Virtuelle bilder fra en enkel linse er alltid rettvendte, og $b < 0$.

Speilbildet ditt i et flatt speil er et virtuelt bilde. Det ser ut til å ligge like langt bak speilet som du står foran.

Står objektet nærmere linsa enn brennvidden ($a < f$), blir $1/f - 1/a$ negativ, og dermed $b < 0$: bildet er virtuelt, rettvendt og forstørret.

Dette er hele prinsippet bak en lupe. Du holder lupa slik at gjenstanden er innenfor brennpunktet, og øyet ser et forstørret, rettvendt bilde et stykke bak gjenstanden.

Løfter du lupa forbi brennvidden, snur bildet og blir reelt — det er derfor bildet «vipper» når du beveger lupa.

$$D = \frac{1}{f}$$

Enheten er dioptri, forkortet dpt, og $1\ \text{dpt} = 1\ \text{m}^{-1}$.

Det kritiske: $f$ må være i meter. En linse med $f = 25\ \text{cm} = 0{,}25\ \text{m}$ har styrken $D = 1/0{,}25 = +4{,}0\ \text{dpt}$ — ikke $1/25 = 0{,}04$.

Samlelinser har positiv styrke, spredelinser negativ. Et brilleglass merket $-2{,}5$ er altså en spredelinse med $f = -0{,}40\ \text{m}$.

$$D = D_1 + D_2$$

Dette er bruksnivå — utledningen trenger du ikke. Formelen er grunnen til at optikere regner i dioptrier: styrker legges sammen, mens brennvidder ikke gjør det.

Eksempel på hvorfor: en linse på $+3{,}0\ \text{dpt}$ ($f = 33\ \text{cm}$) og en på $-1{,}0\ \text{dpt}$ ($f = -100\ \text{cm}$) gir til sammen $+2{,}0\ \text{dpt}$, altså $f = 50\ \text{cm}$. Brennviddene $33$ og $-100$ gir ingen enkel sum.

Øyelinsen har fast avstand til netthinnen, så bildeavstanden $b$ kan ikke endres. I stedet endrer øyet brennvidden ved å stramme eller slappe av muskler rundt linsen. Dette kalles akkomodasjon.

Nærpunktet er den korteste avstanden øyet kan fokusere skarpt på. For et normalt ungt øye er det rundt $25\ \text{cm}$; det øker med alderen fordi linsen blir stivere.

Fjernpunktet er den største avstanden øyet kan fokusere skarpt på. For et normalt øye er det uendelig langt.

Akkomodasjonsområdet er strekningen mellom nærpunkt og fjernpunkt.

Langsynt (hypermetropi): øyet bryter for svakt, og nærpunktet ligger for langt ute. Rettes med en samlelinse (positiv styrke), som styrker brytningen.

Huskeregelen: nærsynt ser nært — trenger minus. Langsynt ser langt — trenger pluss.

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}, \qquad f = \frac{R}{2}$$

der $R$ er speilets krumningsradius.

- Konkavt (hult) speil: $f > 0$, virker som en samlelinse. Sminkespeil og barberspeil er konkave — objektet står innenfor $f$ og gir et forstørret, rettvendt, virtuelt bilde.
- Konvekst (utoverbuet) speil: $f < 0$, virker som en spredelinse. Alltid forminsket, rettvendt, virtuelt bilde — men med stort synsfelt. Derfor brukes de som trafikkspeil og i butikktak.
- Flatt speil: $R \to \infty$, altså $f \to \infty$. Da gir formelen $b = -a$: bildet ligger like langt bak speilet som objektet står foran, og er virtuelt og rettvendt.

Med $f > 0$ gir objektavstanden fire ulike utfall:

Fem steg:

1. tegn grovt — linse, optisk akse, brennpunkter, objekt;
2. konstruér med to av de tre standardstrålene, og se hvor bildet lander;
3. les av kvalitativt: reelt eller virtuelt, rettvendt eller omvendt, større eller mindre;
4. regn med linseformelen og $m = b/a$;
5. sammenlign regning og konstruksjon. Er de uenige, har du en fortegnsfeil.

Rekkefølgen er ikke tilfeldig: konstruksjonen først gjør at du oppdager fortegnsfeil i stedet for å skrive dem ned.

Det er ikke øyelinsen alene som bryter lyset. Den største delen av brytningen skjer i hornhinnen (cornea), som utgjør rundt $2/3$ av øyets samlede styrke på omtrent $+60$ dpt.

Øyelinsens rolle er finjusteringen — den bidrar med noen få dioptrier som kan endres ved akkomodasjon. Det er derfor laserkirurgi virker på hornhinnen: der ligger mesteparten av brytningen.

Et kamera har fast brennvidde per objektiv og fokuserer ved å endre avstanden mellom linse og sensor, altså $b$.

Et øye har fast $b$ (avstanden til netthinnen) og fokuserer ved å endre brennvidden $f$ gjennom akkomodasjon.

Begge bruker samme linseformel; de holder bare ulik størrelse fast. Bildet på netthinnen er reelt og omvendt — hjernen snur det.

Forstørrelsen til en lupe øker når objektet nærmer seg brennpunktet, men da flytter det virtuelle bildet seg samtidig langt bort.

I praksis holder man lupa slik at det virtuelle bildet havner rundt nærpunktet, altså $25\ \text{cm}$ fra øyet. Det gir en praktisk forstørrelse på omtrent $D\cdot0{,}25\ \text{m}$ ganger — en lupe på $+10$ dpt gir altså rundt $2{,}5$ ganger. Vil du mer, trenger du mikroskop, som bruker to linser i serie.

Sett $f \to \infty$ i speilformelen: $\dfrac1a + \dfrac1b = 0$, altså $b = -a$.

Bildet ligger like langt bak speilet som du står foran, det er virtuelt ($b < 0$), rettvendt og like stort ($|m| = 1$). At det virker «speilvendt» handler om at forsiden og baksiden byttes, ikke om at bildet er snudd opp ned.

$$f = \frac{1}{D} = \frac{1}{-2{,}5\ \text{m}^{-1}} = -0{,}40\ \text{m} = -40\ \text{cm}$$

Negativt fortegn betyr nærsynt, positivt betyr langsynt (eller lesetillegg). Tallets størrelse forteller hvor kraftig korreksjonen er: $-0{,}5$ er svakt nærsynt, $-6$ er sterkt.

$$A = \frac{1}{a_{\text{nær}}} - \frac{1}{a_{\text{fjern}}}$$

med avstandene i meter. Et ungt øye med nærpunkt $0{,}10\ \text{m}$ og fjernpunkt uendelig har $A = 10\ \text{dpt}$. Ved 50 år er nærpunktet ofte $0{,}50\ \text{m}$, altså $A = 2\ \text{dpt}$ — det er dette tapet lesebrillene erstatter.