1.3 To-er komplement og byte-tolkning

Lesningen der alle åtte bit har positiv vekt, etter vanlig plassverdi: 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Verdiområdet er 0 til 255 — altså $2^8 = 256$ ulike verdier.

Denne tolkningen brukes for størrelser som aldri kan være negative: antall, adresser, fargekomponenter, tegn.

Den faste feilslutningen: å tro at dette er «den riktige» tolkningen fordi det er den enkleste. Uten en avtale om tolkning er begge like gyldige.

Det mest signifikante bitet ($b_7$ i en byte), som ved signert tolkning avgjør om tallet er negativt.

Er bitet 0, er tallet null eller positivt. Er det 1, er tallet negativt.

Merk formuleringen: bitet er ikke bare et fortegn — det bærer også vekten −128. Å behandle det som et rent fortegnsmerke og lese de sju andre bitene som tallverdien er en klassisk feil: 10101100₂ er ikke «minus 44», men −128 + 44 = −84.

Åtte bit gir alltid 256 ulike mønstre. Hvordan de fordeles på tallinja, avhenger av tolkningen:

Sifferet som overføres til neste bitposisjon når summen i en posisjon ikke får plass i ett bit.

1 + 1 er 10₂, altså 0 i posisjonen og mente 1 videre. 1 + 1 + 1 er 11₂, altså 1 i posisjonen og mente 1 videre.

To menter har egne navn og egne roller i overflytsregelen: menten inn i bit 7 (fra posisjon 6) og menten ut av bit 7 (som faller ut av byten). Ikke bland dem — det er nettopp forholdet mellom dem som avgjør om resultatet er gyldig.

At resultatet av en regneoperasjon ikke får plass i verdiområdet tolkningen tillater, slik at den lagrede verdien blir feil.

Ved signert tolkning oppstår overflyt når menten inn i bit 7 er forskjellig fra menten ut av bit 7. Er de like, er svaret gyldig.

Ved usignert tolkning er kriteriet et annet: overflyt oppstår når det er mente ut av bit 7, altså når summen passerer 255.

Den faste feilslutningen: å tro at «mente ut» alltid betyr overflyt. Legger du sammen to negative tall i to-er komplement, er mente ut helt normalt — og svaret er riktig så lenge menten inn også er 1.

Å finne bitmønsteret for det motsatte tallet: inverter alle bit og legg til 1.

00101101₂ (45) blir invertert til 11010010₂, og pluss 1 gir 11010011₂ (−45).

Metoden virker begge veier. Den faste feilen er å stoppe etter inverteringen — da har du ener-komplementet, som er én for lite.

Å bytte hvert 0 med 1 og hvert 1 med 0 i et bitmønster. Skrives ofte ¬N eller med en strek over navnet.

Inverteringen av en byte gir alltid 255 − N, siden de to mønstrene til sammen har alle åtte bit satt.

Invertering alene er ikke negasjon i to-er komplement — det mangler pluss-én-steget.

Å utvide et signert tall til flere bit ved å gjenta fortegnsbitet i de nye posisjonene, slik at verdien bevares.

11010011₂ (−45 i åtte bit) blir 1111111111010011₂ i seksten bit — fortsatt −45.

Fyller du på med nuller i stedet, endrer du verdien fra −45 til 211. Det er derfor utvidelse av signerte og usignerte tall gjøres ulikt.

At en signert byte har én negativ verdi mer enn positive: området går fra −128 til 127.

Årsaken er at null tar plassen til én av de positive verdiene. De 256 mønstrene fordeles på 128 negative, null, og 127 positive.

Konsekvens: −128 har ingen positiv motpart, og negasjonen av −128 gir −128 tilbake.

Regelen om at den signerte verdien er den usignerte minus 256 når fortegnsbitet er satt.

11001001₂ er 201 usignert, og 201 − 256 = −55 signert.

Snarveien er ett regnestykke i stedet for åtte vektbidrag, og den er derfor den raskeste veien under tidspress. Er fortegnsbitet 0, er de to verdiene like.

Menten som kommer fra bitposisjon 6 og legges til i posisjon 7 under en addisjon.

Denne menten er den ene halvdelen av overflytskriteriet for signerte tall.

Den forveksles lett med menten UT av bit 7 — men de to har helt ulik rolle, og det er nettopp forskjellen mellom dem som avgjør om resultatet er gyldig.

Menten som faller ut av byten når summen passerer 255. Den lagres ikke i resultatet.

For usignerte tall betyr mente ut alltid overflyt: summen fikk ikke plass.

For signerte tall betyr den ingenting alene. Legger du sammen to negative tall, er mente ut helt normalt, og resultatet er riktig så lenge menten inn også er 1.

Overflyt ved signert tolkning oppstår hvis og bare hvis menten inn i bit 7 er forskjellig fra menten ut av bit 7.

En praktisk variant av samme regel: to positive operander som gir negativt svar, eller to negative som gir positivt svar, er alltid overflyt. To operander med ulikt fortegn kan aldri gi overflyt.

Den faste feilen er å bruke det usignerte kriteriet (mente ut) på et signert regnestykke.

Overflyt ved usignert tolkning oppstår når det er mente ut av bit 7, altså når summen overstiger 255.

10010110₂ + 11101011₂ er 150 + 235 = 385, som ikke får plass. Byten inneholder 129, som er 385 minus 256.

Samme regnestykke kan være gyldig signert og ugyldig usignert, eller omvendt — kriteriene er uavhengige.

At $A - B$ regnes ut som $A + (-B)$, der $-B$ finnes ved å invertere og legge til 1.

Dette er grunnen til at en prosessor ikke trenger egen subtraksjonskrets: den samme adderen brukes, med en invertering og et ekstra ett-tall på inngangen.

Du møter samme idé igjen i kap. 2.4, der en fulladder brukes som subtraktor ved å sette mente inn lik 1.

Null har nøyaktig ett bitmønster: 00000000₂.

Dette er en av grunnene til at to-er komplement vant fram: i eldre representasjoner fantes både «positiv null» og «negativ null», som kompliserte sammenligninger.

Kontroll: negasjonen av null er invertert 11111111 pluss 1, som gir 00000000 med menten ut — altså null igjen.

Dette er verdt å kunne utenat, både fordi mønsteret dukker opp stadig, og fordi det er en rask kontroll på at du har forstått snarveien: 255 − 256 = −1.

Generaliseringen: alle bit satt er alltid −1 i to-er komplement, uansett hvor mange bit du har.

De fire mønstrene du bør kjenne igjen umiddelbart:

Antall bit maskinen behandler under ett. En byte er 8 bit, men prosessorer arbeider også med 16, 32 og 64 bit.

Verdiområdet følger av bredden: med $n$ bit er signert område $-2^{n-1}$ til $2^{n-1}-1$, og usignert 0 til $2^n - 1$.

Oppgavene i IN1020 bruker gjennomgående 8 bit, men prinsippene er de samme — det er bare vekten på det øverste bitet som endres.

At et bitmønster ikke bærer sin egen tolkning: det er avtalen mellom den som skriver og den som leser, som avgjør om 10101100₂ betyr 172 eller −84.

I et program ligger avtalen i datatypen; på eksamen ligger den i oppgaveteksten.

Dette er grunnen til at et spørsmål om en byte ofte har to riktige svar samtidig — og til at du må lese oppgaveteksten nøye for å se om den ber om én tolkning eller begge.

De fire tilfellene du trenger når du legger sammen to byte:

Situasjonen der en flervalgsoppgave om ett bitmønster har både den usignerte og den signerte verdien blant alternativene — og begge skal krysses av.

Dette er den vanligste formen sjanger B kommer i, fordi den tester nettopp innsikten om at bitmønsteret ikke bærer sin egen tolkning.

Den faste feilen er å slutte å lese etter det første alternativet som stemmer. Det gir deg halve poenget uten at du har krysset noe galt — se felle #8 i registeret.