5.2 Bevegelsesmengde, impuls og støt

Impulsbevaring gjennom støt (begrunn «ingen ytre krefter»), elastisk vs. uelastisk, ballistisk pendel og relativt energitap — med metodefellen som gir 0p.

65 min

14 oppgaver

Bevegelsesmengdeimpulsstøt

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Arbeid, energi og energibevaring

Brukes videre i

5.3Drill: bevaringslover (sjanger D)

Støtoppgaven er nesten like sikker som energioppgaven. Bevegelsesmengde og støt har minst én deloppgave i 5 av 7 sett (71 %) i eksamensarkivet, i tre gjenkjennelige innpakninger: en sammentrykt fjær som skyter to klosser fra hverandre, en kule som blir sittende fast i en kloss, og en ballistisk pendel som svinger opp etter et støt.

Kapitlet hører til sjanger D — bevaringslover, altså oppgavetypen der du velger en bevart størrelse, begrunner hvorfor den er bevart, og setter opp et før/etter-regnskap. Sjangerbokstavene A–K er listet opp i kap. 0.1.

Her bor bokas viktigste metodefelle. Å bruke energibevaring på et uelastisk støt gir null poeng — ikke delvis uttelling, ikke trekk, men null. Grunnen er at det er en metodefeil, ikke en regnefeil: du har brukt en lov der forutsetningen ikke holder. Kapitlet underviser fellen eksplisitt, med tall som viser hvor mye energi som faktisk forsvinner.

De tre tingene som gir poeng nesten hver gang:

- begrunnelsen for impulsbevaring — «ingen ytre krefter i denne retningen», skrevet ut;
- riktig valg av lov per fase — driv gjennom støtet, energi først etterpå;
- retning på hver bevegelsesmengde. Bevegelsesmengde er en vektor, og manglende retning koster $-2$ poeng.

Prioritet: høyeste — dette må sitte.

Forkunnskaper — sist du var her

Kapitlet bygger på kap. 5.1 og på Newtons lover i kap. 3.1. Det du trenger, oppfrisket:

Newtons 2. og 3. lov:

$\sum \mathbf{F} = m\mathbf{a}, \qquad \mathbf{F}_{A\to B} = -\mathbf{F}_{B\to A}$

Den tredje loven er selve grunnen til at bevegelsesmengden er bevart — vi utleder det i løkke 2.

Energiregnskapet fra kap. 5.1, med gyldighetsbetingelsen:

$\tfrac12 mv_A^2 + U_A = \tfrac12 mv_B^2 + U_B \quad \text{(bare når de kreftene som gjør arbeid, er konservative)}$

Potensiell energi $U = mgy$ , og at referansenivået velges fritt, men skrives ned.

Notasjon i dette kapitlet: bevegelsesmengde $\mathbf{p}$ og impuls $\mathbf{J}$ er vektorer og skrives med fet markering; energiene $K$ og $U$ er skalarer. I endimensjonale oppgaver arbeider vi med komponentene $p_x$ og $J_x$ langs en akse vi velger, og da bærer fortegnet retningen. Snordrag skrives $T$ . Tyngden skrives $m\mathbf{g}$ eller $\mathbf{F}_g$ , aldri $\mathbf{G}$ . Vi regner med $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$ .

Ordbruk: «bevegelsesmengde» og «driv» er to navn på samme størrelse, $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$ . Eksamenssettene bruker begge; vi skriver «bevegelsesmengde» i teksten og «driv» der det er kortere.

Løkke 1 — bevegelsesmengde og impuls (~15 min)

En kollisjonspute redder liv uten å endre noe som helst ved hvor fort bilen stopper. Den endrer bare hvor lang tid stoppen tar — fra noen millisekunder mot rattet til et par hundredeler mot en pute.

At det er nok, forteller deg at det finnes en fysisk størrelse der kraft og tid opptrer sammen. Den heter impuls, og motstykket er bevegelsesmengden.

Bevegelsesmengde (driv)

\mathbf{p} = m\mathbf{v}

Impuls

\mathbf{J} = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\,dt

📜Impulsteoremet (Newtons 2. lov i drivform)

Impulsen fra resultantkraften er lik endringen i bevegelsesmengde:

$\mathbf{J} = \int \sum\mathbf{F}\,dt = \Delta\mathbf{p} = \mathbf{p}_{\text{etter}} - \mathbf{p}_{\text{før}}$

Dette er Newtons 2. lov skrevet på en annen måte. Er massen konstant, følger det direkte:

$\sum\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = m\mathbf{a}$

Drivformen er faktisk den mer generelle: den gjelder også når massen endrer seg, som for en rakett som brenner drivstoff.

Teoremet er også en parallell til arbeids–energi-teoremet i kap. 5.1: der integrerte vi kraften over strekning og fikk energi; her integrerer vi over tid og får bevegelsesmengde.

✏️Eksempel 1: Ballen mot veggen — og kollisjonsputen

En ball med masse $0{,}145\ \text{kg}$ treffer en vegg med farten $32\ \text{m/s}$ og spretter rett tilbake med $24\ \text{m/s}$ . Kontakten varer $1{,}2\ \text{ms}$ .

a) Finn endringen i bevegelsesmengde.

b) Finn middelkraften fra veggen.

c) En passasjer på $75\ \text{kg}$ i en bil som kjører $14\ \text{m/s}$ , stanses av en kollisjonspute over $0{,}15\ \text{s}$ i stedet for mot rattet over $0{,}015\ \text{s}$ . Sammenlign kreftene.

Metodevalg først: impulsteoremet,

\mathbf{J} = \Delta\mathbf{p}

. Vi velger positiv retning bort fra veggen, altså i ballens retning etter sprettet.

a) Før støtet går ballen mot veggen, altså i negativ retning: $p_{\text{før}} = 0{,}145 \cdot (-32) = -4{,}64\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ . Etter: $p_{\text{etter}} = 0{,}145 \cdot 24 = 3{,}48\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .

$\Delta p = 3{,}48 - (-4{,}64) = 8{,}12\ \text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

rettet bort fra veggen. Legg merke til at endringen er større enn hver av de to enkeltverdiene: fordi ballen snur, legges de to bidragene sammen. Det er en av de hyppigste fortegnsfeilene i faget — hadde ballen blitt liggende inntil veggen, ville endringen bare vært $4{,}64\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ .

$\bar F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{8{,}12}{1{,}2 \cdot 10^{-3}} = 6{,}8 \cdot 10^{3}\ \text{N}$

rettet bort fra veggen. Til sammenligning er ballens tyngde bare $1{,}4\ \text{N}$ — under en promille av støtkraften. Det er derfor tyngden trygt kan neglisjeres under selve støtet.

c) Endringen i bevegelsesmengde er den samme i begge tilfellene:

$\Delta p = 75 \cdot 14 = 1{,}05 \cdot 10^{3}\ \text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

Med kollisjonspute: $\bar F = 1\,050/0{,}15 = 7{,}0\cdot 10^{3}\ \text{N}$ .
Uten: $\bar F = 1\,050/0{,}015 = 7{,}0\cdot 10^{4}\ \text{N}$ .

Ti ganger så lang stopptid gir en tidel så stor kraft. Puta endrer ingenting ved hvor mye bevegelsesmengde som skal bort — bare hvor lang tid det tar, og dermed hvor hardt kroppen belastes.

📝Oppgave 1

a) Forklar med egne ord forskjellen på bevegelsesmengde og kinetisk energi.

b) To biler med samme masse kjører like fort i motsatt retning. Sammenlign summen av bevegelsesmengdene og summen av de kinetiske energiene.

📝Oppgave 2

En vannstråle treffer en vegg vannrett med farten $18\ \text{m/s}$ og renner ned langs veggen uten å sprette tilbake. Strålen leverer $2{,}5\ \text{kg}$ vann per sekund.

a) Hvor stor bevegelsesmengde treffer veggen per sekund?

b) Hvor stor kraft utøver strålen på veggen?

c) Hvordan ville svaret endret seg om vannet spratt rett tilbake med samme fart?

Løkke 2 — impulsbevaring (~15 min)

Nå kommer den loven som løser støtoppgavene. Den er ikke ny fysikk — den er Newtons 3. lov sett fra en litt annen vinkel.

System og systemgrense

Før du kan bruke en bevaringslov, må du si hva systemet er . Systemet er de legemene du regner som «innenfor»; alt annet er omgivelser. Kreftene deles da i to: - indre krefter virker mellom legemer inne i systemet (kule på kloss, kloss på kule). Etter Newtons 3. lov opptrer de parvis og motsatt rettet; - ytre krefter kommer utenfra (tyngden, normalkraften fra bordet, friksjon mot underlaget). Bare de ytre kreftene kan endre systemets samlede bevegelsesmengde — de indre opphever hverandre parvis. Å tegne systemgrensen som en stiplet ring rundt legemene er derfor ikke pynt: det er selve begrunnelsen for bevaringsloven.

Impulsbevaring

\sum \mathbf{p}_{\text{før}} = \sum \mathbf{p}_{\text{etter}}

Hvorfor bevegelsesmengden er bevart — utledningen du skal kunne

Steg 1. Se på to legemer $A$ og $B$ som støter sammen, og ingen ytre krefter. Under støtet virker $\mathbf{F}_{A\to B}$ på $B$ og $\mathbf{F}_{B\to A}$ på $A$ .

Intuisjon: de to kreftene er det eneste som skjer. Alt annet er borte fra regnestykket.

Steg 2. Newtons 3. lov gir at de er like store og motsatt rettet:

$\mathbf{F}_{A\to B} = -\mathbf{F}_{B\to A}$

Intuisjon: kula dytter like hardt på klossen som klossen dytter tilbake — og i nøyaktig like lang tid, siden de er i kontakt samtidig.

Steg 3. Integrer begge over kontakttiden. Da får vi impulser, og impulsteoremet gjør dem om til endringer i bevegelsesmengde:

$\Delta\mathbf{p}_B = -\Delta\mathbf{p}_A$

Intuisjon: like store og motsatt rettede krefter over samme tid gir like store og motsatt rettede endringer i driv. Det ene legemet vinner nøyaktig det det andre taper.

Steg 4. Flytt over:

$\Delta\mathbf{p}_A + \Delta\mathbf{p}_B = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{p}_A + \mathbf{p}_B = \text{konstant}$

Intuisjon: summen endrer seg ikke — den er bevart. Merk hva utledningen ikke krevde: den sa ingenting om hvor hard kollisjonen var, om legemene henger sammen etterpå, eller om energi går tapt. Derfor gjelder impulsbevaring i alle støt, også de der mekanisk energi forsvinner.

Hvorfor tyngden kan neglisjeres under støtet

\mathbf{F}\Delta t

✏️Eksempel 2: Fjæren som skyter to klosser

To klosser med masse $m_A = 0{,}60\ \text{kg}$ og $m_B = 1{,}80\ \text{kg}$ holdes sammen med en sammentrykt fjær mellom seg på et friksjonsfritt, vannrett bord. Fjæren har lagret energien $U_0 = 12{,}0\ \text{J}$ . Systemet slippes.

a) Finn forholdet mellom fartene rett etter at fjæren har sluppet.

b) Finn de to fartene.

c) Hvor stor andel av $U_0$ havner i den letteste klossen?

Metodevalg og begrunnelse: systemet er de to klossene og fjæren. Bordet er friksjonsfritt, og bevegelsen er vannrett, så det virker ingen ytre krefter i vannrett retning. Den samlede vannrette bevegelsesmengden er derfor bevart. Fjæren er en konservativ kraft, så den lagrede energien går uavkortet over i kinetisk energi — her er altså begge lovene i bruk, hver med sin begrunnelse.

a) Før: begge i ro, samlet bevegelsesmengde null. Etter: klossene går hver sin vei. Med positiv retning mot høyre, altså den veien $B$ går:

$0 = m_A v_A + m_B v_B \quad \Rightarrow \quad v_A = -\frac{m_B}{m_A}v_B = -3{,}00\,v_B$

Minustegnet betyr at $A$ går motsatt vei av $B$ , altså mot venstre. Den letteste klossen får tre ganger så stor fart — nøyaktig i omvendt forhold til massene.

b) All fjærenergien blir kinetisk:

$U_0 = \tfrac12 m_A v_A^2 + \tfrac12 m_B v_B^2 = \tfrac12 \cdot 0{,}60 \cdot 9v_B^2 + \tfrac12 \cdot 1{,}80 \cdot v_B^2 = 3{,}60\,v_B^2$

$v_B^2 = \frac{12{,}0}{3{,}60} = 3{,}333 \quad \Rightarrow \quad v_B = 1{,}83\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \ (\text{mot høyre})$

$v_A = 3{,}00 \cdot 1{,}826 = 5{,}48\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \ (\text{mot venstre})$

Kontroll: $m_A v_A = 0{,}60 \cdot 5{,}477 = 3{,}29$ og $m_B v_B = 1{,}80 \cdot 1{,}826 = 3{,}29$ — like store og motsatt rettet ✓.

$K_A = \tfrac12 \cdot 0{,}60 \cdot 30{,}0 = 9{,}00\ \text{J} \quad \Rightarrow \quad \frac{K_A}{U_0} = \frac{9{,}00}{12{,}0} = 0{,}750$

Altså $75\ \%$ . Generelt gjelder $K_A/U_0 = m_B/(m_A + m_B)$ : den letteste klossen får mest energi, i forhold gitt av den andres masse. Kontroll: $1{,}80/2{,}40 = 0{,}750$ ✓.

Det er derfor rekylen fra et gevær er beskjeden sammenlignet med kulas energi — geværet og skytteren er den «tunge klossen».

📝Oppgave 3

En astronaut med masse $84\ \text{kg}$ svever i ro i forhold til romstasjonen og kaster en verktøykasse på $6{,}0\ \text{kg}$ fra seg med farten $3{,}5\ \text{m/s}$ .

a) Begrunn hvorfor bevegelsesmengden er bevart, og finn astronautens fart etterpå.

b) Sammenlign de kinetiske energiene til astronauten og kassa etterpå.

c) Hvor kom energien fra?

Løkke 3 — elastisk og uelastisk støt, og fellen (~20 min)

— naturlig pausepunkt —

To biljardkuler som treffer hverandre, spretter fra hverandre nesten uten energitap. To biler som kolliderer og blir hengende sammen, gjør det stikk motsatte: nesten all bevegelsesenergi forsvinner inn i deformert plate.

Bevegelsesmengden er bevart i begge tilfellene. Den mekaniske energien er det bare i det første. Denne forskjellen er den enkeltinnsikten som gir og tar flest poeng i hele Del 5.

Fullstendig uelastisk støt

m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2 = (m_1 + m_2)\mathbf{v}

Elastisk støt

m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2, \qquad \tfrac12 m_1u_1^2 + \tfrac12 m_2u_2^2 = \tfrac12 m_1v_1^2 + \tfrac12 m_2v_2^2

Metodefellen: energibevaring i et uelastisk støt gir NULL poeng

Dette er den viktigste enkeltadvarselen i hele boka (felle #2 — energibevaring brukt på et uelastisk støt). Feilkodene #1–#15 er bokas register over de feilene som koster mest på eksamen; hele lista står i kap. 0.1.

Slik ser feilen ut i praksis. Oppgaven sier at en kule blir sittende fast i en kloss, og kandidaten skriver:

> $\tfrac12 m v_0^2 = \tfrac12 (m + M)v^2$

Dette gir null poeng. Ikke fordi regningen er feil, men fordi loven ikke gjelder: i et uelastisk støt forsvinner mekanisk energi inn i deformasjon og varme. Å bruke energibevaring der er en metodefeil, og metodefeil gir ikke delvis uttelling.

Riktig er:

> $m v_0 = (m + M)v$ , fordi det ikke virker ytre krefter i vannrett retning under > støtet.

Hvor galt blir det? Ta tallene fra eksempel 3 under: den gale metoden gir $v = 2{,}85\ \text{m/s}$ , den riktige $1{,}80\ \text{m/s}$ — nesten $60\ \%$ for høyt. Feilen forplanter seg deretter til alle senere deloppgaver.

Slik unngår du den, hver gang: før du skriver en eneste likning, still deg spørsmålet «henger de sammen etterpå?» Er svaret ja, er det bevegelsesmengden — og bare den — som er bevart gjennom støtet. Energiregnskapet får du bruke i fasen etter, når systemet svinger opp eller glir bortover.

Beslektede feller i samme sjanger:

- Å glemme at et delsystem også får fart (felle #14). I fjæroppgaven er det ikke bare den lille klossen som beveger seg — den store gjør det også, og glemmer du den, får du maks 2 poeng.
- Manglende retning på bevegelsesmengden (felle #9). $\mathbf{p}$ er en vektor. Et svar uten retning koster $-2$ poeng.
- Bevaring uten begrunnelse (felle #7). Skriv setningen om de ytre kreftene, hver gang.

✏️Eksempel 3: Det uelastiske støtet, med og uten fellen

En vogn med masse $0{,}80\ \text{kg}$ ruller med $4{,}5\ \text{m/s}$ mot en vogn med masse $1{,}20\ \text{kg}$ som står i ro på et friksjonsfritt, vannrett spor. De to kobles sammen i støtet.

a) Finn den felles farten etter støtet, og begrunn metodevalget.

b) Hvor mye mekanisk energi er tapt, og hvor stor andel er det?

c) Vis hva du ville fått om du (feilaktig) brukte energibevaring, og kommenter avviket.

a) Metodevalg og begrunnelse: systemet er de to vognene. Sporet er friksjonsfritt og vannrett, så det virker ingen ytre krefter i bevegelsesretningen; tyngden og normalkraften er loddrette og opphever hverandre. Den vannrette bevegelsesmengden er derfor bevart gjennom støtet.

Mekanisk energi er derimot ikke bevart, siden vognene henger sammen etterpå — det er et fullstendig uelastisk støt, og deformasjonen i koblingen tar energi.

Med positiv retning i den første vognas fartsretning:

$m_1u_1 = (m_1 + m_2)v \quad \Rightarrow \quad v = \frac{0{,}80 \cdot 4{,}5}{2{,}00} = \frac{3{,}60}{2{,}00} = 1{,}80\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

i samme retning som den første vogna gikk.

$K_{\text{før}} = \tfrac12 \cdot 0{,}80 \cdot 4{,}5^2 = 8{,}10\ \text{J}, \qquad K_{\text{etter}} = \tfrac12 \cdot 2{,}00 \cdot 1{,}80^2 = 3{,}24\ \text{J}$

$\Delta K = 8{,}10 - 3{,}24 = 4{,}86\ \text{J} \ \text{omdannet til varme og deformasjon}$

Andelen som er igjen, er $3{,}24/8{,}10 = 0{,}400$ , altså $40\ \%$ — og $60\ \%$ er borte. Generelt gjelder for et fullstendig uelastisk støt der det ene legemet er i ro:

$\frac{K_{\text{etter}}}{K_{\text{før}}} = \frac{m_1}{m_1 + m_2}$

Kontroll: $0{,}80/2{,}00 = 0{,}400$ ✓. Jo tyngre det stillestående legemet er, desto større andel av energien forsvinner.

c) Den gale veien, for sammenligning. Hadde vi feilaktig satt $\tfrac12 m_1u_1^2 = \tfrac12(m_1+m_2)v^2$ , ville vi fått

$v = u_1\sqrt{\frac{m_1}{m_1+m_2}} = 4{,}5 \cdot \sqrt{0{,}400} = 2{,}85\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

altså $58\ \%$ for høyt. Og feilen er verre enn tallet: den bygger på en lov som ikke gjelder, og gir derfor null poeng på deloppgaven, ikke delvis uttelling. Bruker du dessuten det gale svaret videre i neste deloppgave, ryker den også — selv om regningen der er upåklagelig.

Vanen som redder deg: spør «henger de sammen etterpå?» før du velger lov.

📝Oppgave 4

En kule med masse $30\ \text{g}$ skytes horisontalt med farten $320\ \text{m/s}$ inn i en sandsekk med masse $2{,}0\ \text{kg}$ som ligger på et friksjonsfritt bord. Kula blir sittende.

a) Finn den felles farten rett etter, og begrunn metodevalget.

b) Hvor stor andel av den kinetiske energien er igjen?

c) Hvor ble resten av energien av?

📜Elastisk støt i én dimensjon

Støter et legeme med masse

m_1

og fart

u_1

elastisk mot et legeme med masse

m_2

som er i ro, gir de to bevaringslovene til sammen

$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,u_1, \qquad v_2 = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,u_1$

Tre grensetilfeller er verdt å kjenne igjen, og de kontrollerer utledningen:

- Like masser ( $m_1 = m_2$ ): $v_1 = 0$ og $v_2 = u_1$ . Det første legemet stopper helt, det andre overtar farten — som i biljard.
- Lett mot tungt ( $m_1 \ll m_2$ ): $v_1 \to -u_1$ . Legemet spretter tilbake med nesten uendret fart, som en ball mot en vegg.
- Tungt mot lett ( $m_1 \gg m_2$ ): $v_1 \to u_1$ og $v_2 \to 2u_1$ . Det tunge legemet merker knapt noe, og det lette skytes av gårde med dobbelt fart.

Formlene er ikke på formelarket og skal ikke pugges. Kan du sette opp de to bevaringslovene og løse likningssettet, har du dem — og det er nettopp det som gir poeng.

📝Oppgave 5

En kule med masse $0{,}30\ \text{kg}$ og fart $4{,}0\ \text{m/s}$ treffer en kule med masse $0{,}50\ \text{kg}$ i ro. Støtet er elastisk.

a) Skriv opp de to bevaringslovene, og si hvorfor hver av dem gjelder her.

b) Finn de to fartene etter støtet.

c) Kontroller at både bevegelsesmengden og energien stemmer.

d) Hvordan ville svaret sett ut om massene var like?

Løkke 4 — den ballistiske pendelen: kjeden som gir full uttelling (~15 min)

Nå kobler vi det hele sammen. Den ballistiske pendelen er en gammel metode for å måle farten til en kule: du skyter den inn i en tung kloss som henger i snorer, og måler hvor høyt klossen svinger.

Oppgaven er en gjenganger nettopp fordi den tester om du klarer å holde to bevaringslover fra hverandre i to faser. Klarer du det, er hele oppgaven grei. Blander du dem, ryker alt.

📜Den ballistiske pendelen — kjeden

En kule med masse

m

og fart

v_0

skytes inn i en kloss med masse

M

som henger i ro. Kula blir sittende, og klossen svinger opp til høyden

h

Fase 1 — gjennom støtet: bevegelsesmengde. Støtet varer noen millisekunder, så tyngdens impuls er neglisjerbar og snorene er fortsatt loddrette. Ingen ytre krefter i vannrett retning:

$m v_0 = (m + M)\,v$

Fase 2 — etter støtet: energi. Nå er kula og klossen ett legeme som svinger fritt. Bare tyngden gjør arbeid; snorene står vinkelrett på bevegelsen:

$\tfrac12 (m+M)v^2 = (m+M)gh \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2gh}$

Sett sammen:

$v_0 = \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}$

Merk rekkefølgen. Bevegelsesmengden er bevart i fase 1, men ikke i fase 2 (tyngden virker over lang tid). Energien er bevart i fase 2, men ikke i fase 1. Ingen av lovene gjelder gjennom hele forløpet — og det er hele poenget med oppgaven.

✏️Eksempel 4: Ballistisk pendel (eksamensnivå)

En kule med masse $12{,}0\ \text{g}$ skytes horisontalt inn i en trekloss med masse $1{,}20\ \text{kg}$ som henger i ro i en snor med lengde $1{,}10\ \text{m}$ . Kula blir sittende fast, og systemet svinger opp.

a) Kulas fart er $210\ \text{m/s}$ . Finn den felles farten rett etter støtet, og begrunn hvorfor mekanisk energi ikke er bevart her.

b) Finn hvor høyt klossen svinger, og hvilken vinkel snora danner med loddlinja.

c) Hvor stor andel av kulas kinetiske energi er igjen etter støtet?

d) Forklar hvorfor metoden fungerer som en fartsmåler, og hva som ville gått galt om du brukte energibevaring gjennom støtet.

a) Metodevalg og begrunnelse: systemet er kule pluss kloss. Under støtet — som varer noen få millisekunder — er snora fortsatt loddrett, og det virker ingen ytre krefter i vannrett retning. Tyngdens impuls over så kort tid er neglisjerbar. Den vannrette bevegelsesmengden er derfor bevart.

Mekanisk energi er ikke bevart: kula blir sittende fast, altså et fullstendig uelastisk støt, der energi går til deformasjon av tre og bly og til varme.

$m v_0 = (m + M)v \quad \Rightarrow \quad v = \frac{0{,}0120 \cdot 210}{1{,}212} = \frac{2{,}52}{1{,}212} = 2{,}08\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

i kulas opprinnelige retning.

— naturlig pausepunkt —

b) Ny fase, ny begrunnelse: etter støtet svinger kule og kloss som ett legeme. Nå gjør bare tyngden arbeid — snordraget står i hvert punkt vinkelrett på bevegelsen — så mekanisk energi er bevart i denne fasen. Med $y = 0$ i det laveste punktet:

$\tfrac12 (m+M)v^2 = (m+M)gh \quad \Rightarrow \quad h = \frac{v^2}{2g} = \frac{4{,}323}{19{,}62} = 0{,}220\ \text{m}$

Massene forkortes bort. Vinkelen finner vi av geometrien, $h = \ell(1 - \cos\varphi)$ :

$\cos\varphi = 1 - \frac{h}{\ell} = 1 - \frac{0{,}2203}{1{,}10} = 0{,}7997 \quad \Rightarrow \quad \varphi = 36{,}9^\circ$

$K_{\text{før}} = \tfrac12 \cdot 0{,}0120 \cdot 210^2 = 265\ \text{J}, \qquad K_{\text{etter}} = \tfrac12 \cdot 1{,}212 \cdot 2{,}079^2 = 2{,}62\ \text{J}$

$\frac{K_{\text{etter}}}{K_{\text{før}}} = \frac{m}{m+M} = \frac{0{,}0120}{1{,}212} = 0{,}00990$

altså under ett prosent. Over $99\ \%$ av kulas energi er blitt varme og deformasjon i klossen — nettopp fordi kula er så mye lettere enn klossen.

d) Metoden fungerer fordi du kan snu kjeden: måler du svinghøyden $h$ , finner du $v = \sqrt{2gh}$ fra fase 2, og deretter $\displaystyle v_0 = \frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}$ fra fase 1. Høyden er lett å måle, mens kulas fart ikke er det — og det er hele ideen bak innretningen.

Brukte du derimot energibevaring gjennom støtet, ville du fått

$v = v_0\sqrt{\frac{m}{m+M}} = 210 \cdot \sqrt{0{,}00990} = 20{,}9\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$

altså ti ganger for stor fart, og en svinghøyde på $22\ \text{m}$ — som er tjue ganger snorlengden og fysisk umulig. Her avslører altså et grensetilfelle fellen helt av seg selv: et svar som ikke kan stemme, er alltid verdt en ekstra gjennomlesing av metodevalget.

📝Oppgave 6

Eksamensnivå, sjanger D

En kloss med masse $M = 0{,}90\ \text{kg}$ ligger i ro på et vannrett bord. En kule med masse $m = 45\ \text{g}$ skytes horisontalt inn i klossen og blir sittende. Systemet glir deretter $1{,}6\ \text{m}$ før det stopper. Friksjonstallet mellom kloss og bord er $\mu_d = 0{,}32$ .

a) Del prosessen i faser og si hvilken bevaringslov som gjelder i hver, med begrunnelse.

b) Finn farten rett etter støtet.

c) Finn kulas fart før støtet.

d) Hvor stor andel av kulas opprinnelige kinetiske energi ble omdannet i selve støtet?

📝Oppgave 7

To biler kolliderer i et kryss og blir hengende sammen. Bil A ( $1\,200\ \text{kg}$ ) kjørte østover med $15{,}0\ \text{m/s}$ , bil B ( $1\,600\ \text{kg}$ ) nordover med $12{,}0\ \text{m/s}$ .

a) Begrunn hvorfor bevegelsesmengden er bevart, og finn de to komponentene av den samlede bevegelsesmengden.

b) Finn farten og retningen til vraket rett etter kollisjonen.

c) Hvor mye mekanisk energi ble omdannet?

Løkke 5 — massesenteret (~5 min)

Kaster du en skiftenøkkel som roterer gjennom lufta, ser bevegelsen kaotisk ut. Men ett punkt i nøkkelen følger en ren parabel, som om hele massen var samlet der. Det punktet er massesenteret.

Massesenter

\mathbf{R}_{cm} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\mathbf{r}_i, \qquad M = \sum_i m_i

Massesenterets bevegelse

M\mathbf{a}_{cm} = \sum \mathbf{F}_{\text{ytre}}, \qquad \mathbf{p}_{\text{total}} = M\mathbf{v}_{cm}

📝Oppgave 8

a) To klosser,

2{,}0\ \text{kg}

i posisjon

x = 0

3{,}0\ \text{kg}

x = 1{,}5\ \text{m}

, ligger på et friksjonsfritt bord. Finn massesenteret.

b) En sammentrykt fjær mellom dem slippes, og klossene skyves fra hverandre. Hva skjer med massesenteret? Begrunn.

c) En medstudent sier: «Etter støtet må vraket ha mindre bevegelsesmengde, for det har jo mindre energi.» Hva er galt med resonnementet?

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Bevegelsesmengde kontra kinetisk energi — når gjelder hva?

\mathbf{p} = m\mathbf{v}

Bevegelsesmengde $\mathbf{p} = m\mathbf{v}$	Kinetisk energi $K = \tfrac12 mv^2$
Type	vektor	skalar
Bevart når	ingen ytre krefter i retningen	bare konservative krefter gjør arbeid
Endres av	kraft ganger tid (impuls)	kraft ganger strekning (arbeid)
I et uelastisk støt	bevart	ikke bevart
I et elastisk støt	bevart	bevart

Relativt kontra absolutt energitap

\Delta K = K_{\text{før}} - K_{\text{etter}}

Eksplosjon som et støt baklengs

m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2 = 0

Newtons 3. lov som grunnlag for bevaring

Impulsbevaring er ikke en ny naturlov — den er en direkte følge av Newtons 3. lov. Kreftene mellom to legemer i kontakt er like store og motsatt rettet, og de virker i nøyaktig like lang tid . Impulsene blir derfor like store og motsatt rettede, og endringene i bevegelsesmengde opphever hverandre. Å kunne si dette i én setning er verdt et poeng i seg selv, og det gjør det også lettere å huske betingelsen: det er bare de ytre kreftene som ikke har noen partner inne i systemet, og derfor bare de som kan endre summen.

Kraft–tid-grafen i et støt

\bar F = J/\Delta t

Fasevalget i en støtoppgave

Nesten alle eksamensoppgaver i denne sjangeren har minst to faser, og hver fase har sin egen gyldige lov: 1. Før støtet: ofte et fritt fall eller en pendelsving — energi bevart. 2. Gjennom støtet: noen millisekunder — bevegelsesmengde bevart, energi ikke. 3. Etter støtet: oppsving, glidning eller kast — energi bevart hvis ingen friksjon, ellers energiregnskap med friksjonsledd. Skriv fasene ned som overskrifter i besvarelsen, med begrunnelsen under hver. Det gjør det umulig for deg selv å blande dem, og det gjør det lett for sensor å se at du har kontroll. Metoden drilles i kap. 5.3 .

Retning på bevegelsesmengden

\mathbf{p}

Systemer med variabel masse (kjenne til)

\sum\mathbf{F} = m\mathbf{a}

Delvis uelastisk støt

De aller fleste virkelige støt ligger mellom ytterpunktene: legemene spretter fra hverandre, men med mindre samlet energi enn før. Bevegelsesmengden er fortsatt bevart, men energilikningen er det ikke, og da har du én likning og to ukjente . Oppgaven må derfor gi deg en tilleggsopplysning — for eksempel energitapet i joule, farten til det ene legemet etterpå, eller en restitusjonskoeffisient. Er du usikker på hvilken type støt du står overfor, tell ukjente mot likninger. Har du flere ukjente enn likninger, mangler du en opplysning — og da har du sannsynligvis oversett noe i teksten.

Sensorkravet til en støtbesvarelse

En full besvarelse på en støtoppgave inneholder fem ting: 1. Systemet — hvilke legemer regner du som innenfor? 2. Fasen — hvilken del av forløpet ser du på? 3. Loven og begrunnelsen — «bevegelsesmengden er bevart fordi det ikke virker ytre krefter i vannrett retning under støtet». 4. Positiv retning — sagt eksplisitt før den første likningen. 5. Svar med enhet og retning. Punkt 3 er det dyreste å utelate, og punkt 2 er det som oftest går galt. En besvarelse som gjør alle fem, får uttelling selv om regningen skulle stoppe underveis — sensor gir poeng for en god løsningsidé.

Støt mot noe som roterer (kommer senere)

En variant du vil møte, er en kule som treffer enden av en stav som kan rotere om et opphengspunkt. Da er ikke bevegelsesmengden bevart: opphengspunktet leverer en ytre kraft. I stedet er det spinnet om opphengspunktet som er bevart, siden den ytre kraften ikke gir noe kraftmoment om nettopp det punktet. Spinn, kraftmoment og treghetsmoment innføres i delen om rotasjon og stive legemer, og vi bruker dem ikke i Del 5. Nevner vi varianten her, er det for at du skal kjenne igjen signalet: er det et fast opphengspunkt, er ikke bevegelsesmengden bevart.

Bevaring i én retning, men ikke i en annen

x

Energifordelingen ved en fjærutskyting

\frac{K_1}{U_0} = \frac{m_2}{m_1+m_2}, \qquad \frac{K_2}{U_0} = \frac{m_1}{m_1+m_2}

Sprett kontra full stopp

mv

Tell ukjente mot likninger

En rask diagnose når du står fast i en støtoppgave: tell hvor mange ukjente du har, og hvor mange likninger. - Fullstendig uelastisk: én ukjent (den felles farten), én likning (bevegelsesmengde). Alltid løsbart. - Elastisk: to ukjente, to likninger (bevegelsesmengde og energi). Løsbart. - Delvis uelastisk: to ukjente, men bare én likning. Da må oppgaven gi deg en opplysning til — og har den ikke gjort det, har du oversett noe i teksten. Tellingen tar ti sekunder og forteller deg umiddelbart om du mangler informasjon eller bare mangler idé.

Symbol- og formelliste

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av den aktuelle utdanningsinstitusjonen. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.