1.1 Potenser og røtter | Matematikk 9. klasse

Potensregler, kvadratrøtter og enkle røtter.

50 min

14 oppgaver

PotenserPotensreglerKvadratrotRøtter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

1.4Standardform

Repetisjon av potenser

En potens er gjentatt multiplikasjon:
$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ faktorer}}$

hvor $a$ er grunntallet og $n$ er eksponenten.

Potensregler

a \neq 0

✏️Eksempel 1

Forenkle ved hjelp av potensreglene:

a) $2^3 \cdot 2^4$
b) $\displaystyle \frac{5^7}{5^3}$
c) $(3^2)^4$
d) $4^{-2}$

Løsning:

a) $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

b) $\displaystyle \frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 = 625$

c) $(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8 = 6561$

d) $\displaystyle 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

📝Oppgave 1

Forenkle ved hjelp av potensreglene

3^2 \cdot 3^5

\displaystyle \frac{7^6}{7^2}

(2^3)^3

5^{-3}

10^4 \cdot 10^{-2}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave F1

Finn feilen! Henrik har skrevet:

$2^3 \cdot 3^3 = 6^6$

Finn feilen og skriv riktig utregning.

Kvadratrøtter

Kvadratroten av et tall $a$ er det positive tallet som ganget med seg selv gir $a$ :
$\sqrt{a} = b \quad \text{betyr at} \quad b^2 = a$

For eksempel: $\sqrt{25} = 5$ fordi $5^2 = 25$ .

Rotregler

a \geq 0

✏️Eksempel 2

Forenkle:

a) $\sqrt{36}$
b) $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}$
c) $\sqrt{50}$
d) $\displaystyle \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$

Løsning:

a) $\sqrt{36} = 6$

b) $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$

c) $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

d) $\displaystyle \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4$

📝Oppgave 2

Forenkle

\sqrt{81}

\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}

\sqrt{72}

\sqrt{18}

\displaystyle \frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 3

Skriv som potens:

a) $\sqrt{a}$
b) $\sqrt[3]{b}$ (kubikkrot)
c) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}$

Løsning:

a) $\displaystyle \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$

b) $\displaystyle \sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$

c) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$

📝Oppgave 3

Skriv som potens

\sqrt{x}

\sqrt[4]{a}

\sqrt{x^3}

\displaystyle \frac{1}{\sqrt[3]{y}}

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 4

Regn ut uten kalkulator:

a) $\displaystyle 16^{\frac{1}{2}}$
b) $\displaystyle 27^{\frac{1}{3}}$
c) $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}}$

Løsning:

a) $\displaystyle 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$

b) $\displaystyle 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$ (fordi $3^3 = 27$ )

c) $\displaystyle 8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$

📝Oppgave 4

Regn ut uten kalkulator

\displaystyle 25^{\frac{1}{2}}

\displaystyle 64^{\frac{1}{3}}

\displaystyle 4^{\frac{3}{2}}

\displaystyle 27^{\frac{2}{3}}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Forenkle potensuttrykkene

2^5 \cdot 2^3

\displaystyle \frac{4^6}{4^4}

(5^2)^3

3^0

6^{-1}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Forenkle ved å bruke flere potensregler

\displaystyle \frac{3^5 \cdot 3^2}{3^4}

(2^3)^2 \cdot 2^{-4}

\displaystyle \frac{5^4 \cdot 5^{-2}}{5^3}

(4^2)^3 \div 4^5

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Regn ut kvadratrøttene

\sqrt{49}

\sqrt{144}

\sqrt{196}

\sqrt{0{,}25}

\displaystyle \sqrt{\frac{9}{16}}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Skriv på enkleste form (trekk ut av rottegnet)

\sqrt{32}

\sqrt{45}

\sqrt{98}

\sqrt{125}

\sqrt{200}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 9

Bruk rotreglene til å forenkle

\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}

\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}

\displaystyle \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}

\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}

\displaystyle \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Forenkle uttrykkene med røtter

\sqrt{12} + \sqrt{27}

\sqrt{50} - \sqrt{8}

2\sqrt{18} + 3\sqrt{2}

\sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{5}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Regn ut med brøkeksponenter

\displaystyle 81^{\frac{1}{4}}

\displaystyle 32^{\frac{1}{5}}

\displaystyle 16^{\frac{3}{4}}

\displaystyle 125^{\frac{2}{3}}

\displaystyle 9^{\frac{3}{2}}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Sammensatte oppgaver med potenser og røtter

\sqrt{2^6}

(\sqrt{5})^4

\sqrt{4^3}

\displaystyle 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}

\displaystyle \frac{3^{\frac{5}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 13

Se pa figuren over som viser $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ . Bruk samme metode til a regne ut folgende potenser:

3^4

(skriv ut som gjentatt multiplikasjon forst)

5^3

2^5

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 14

Fra figuren ser vi at grunntallet er tallet som ganges, og eksponenten forteller hvor mange ganger. Hva er grunntallet og eksponenten i folgende potenser?

7^2

4^5

10^4

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave D1

Drøftingsoppgave: En elev sier: «

\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}

for alle positive tall.» Er dette riktig? Undersøk påstanden med talleksempler, og drøft om det finnes noen verdier der likheten stemmer. Begrunn svaret ditt.

Oppsummering

I dette kapittelet har du lært:

- Potensregler: Regler for å forenkle uttrykk med potenser, inkludert produktregelen, kvotientregelen, potens av potens, nullte potens og negativ eksponent
- Kvadratrøtter: Hva en kvadratrot er, og hvordan man forenkler uttrykk med røtter ved å trekke ut av rottegnet
- Rotregler: Regler for multiplikasjon og divisjon under rottegnet
- Brøkeksponenter: Sammenhengen mellom røtter og potenser, der $\displaystyle \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

Nøkkelbegreper

Begrep	Forklaring
Potens	Gjentatt multiplikasjon: $a^n = a \cdot a \cdots a$ ( $n$ faktorer)
Grunntall	Tallet som ganges med seg selv i en potens
Eksponent	Antall ganger grunntallet ganges med seg selv
Kvadratrot	Det positive tallet som ganget med seg selv gir $a$ : $\sqrt{a}$
Brøkeksponent	Eksponent skrevet som brøk, f.eks. $\displaystyle a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$

Viktige formler

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

a^0 = 1

\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n}

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

- $\displaystyle \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.