1.1 Potenser og røtter

Hva om du kunne forkorte gjentatt ganging?

Tenk deg at du legger et ark papir dobbelt, så dobbelt igjen, og igjen, og igjen. Etter $1$ brett er det $2$ lag. Etter $2$ brett er det $4$ lag. Etter $3$ brett er det $8$ lag. Ser du mønsteret? Antall lag er alltid $2$ ganget med seg selv et visst antall ganger: $2$, $2 \times 2$, $2 \times 2 \times 2$, ...

Det blir fort slitsomt å skrive alle disse gangetegnene. Heldigvis finnes det en elegant forkortelse: potenser. I stedet for $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ skriver vi ganske enkelt $2^5$. Liten skrift, stor effekt!

I dette kapittelet skal vi utforske hvordan potenser fungerer, hvilke regler som gjelder, og hvordan røtter henger sammen med potenser som en slags omvendt operasjon.

Hva er en potens?

Når vi skriver $a^n$, kaller vi $a$ for grunntallet og $n$ for eksponenten. Uttrykket betyr at vi ganger $a$ med seg selv $n$ ganger:

$$a^n = \underbrace{a \times a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ faktorer}}$$

Noen eksempler:
- $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
- $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$
- $10^6 = 1\,000\,000$ (en million)
- $(-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8$

Pass godt på negative grunntall! Det er stor forskjell på $(-3)^2$ og $-3^2$:
- $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ (minus ganger minus er pluss)
- $-3^2 = -(3^2) = -9$ (her er det bare $3$ som opphøyes, og minustegnet settes på etterpå)

Et par spesialtilfeller er verdt å huske:
- $a^1 = a$ (hva som helst opphøyd i $1$ er seg selv)
- $a^0 = 1$ for alle $a \neq 0$ (dette virker kanskje rart, men det følger logisk av potensreglene vi snart skal se)
- $1^n = 1$ for alle $n$ (én ganget med seg selv er alltid én)

Potensreglene -- snarveier for regning

Potenser følger noen elegante regler som gjør det mye enklere å regne. Tenk på dem som snarveier:

Regel 1 -- Multiplikasjon med samme grunntall:
$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$

Når du ganger potenser med samme grunntall, adderer du eksponentene. Logikken er enkel: $2^3 \times 2^4 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) = 2^7$.

Regel 2 -- Divisjon med samme grunntall:
$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$

Når du deler potenser med samme grunntall, subtraherer du eksponentene. For eksempel: $5^7 \div 5^3 = 5^{7-3} = 5^4$.

Regel 3 -- Potens av potens:
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Når du opphøyer en potens i en ny potens, multipliserer du eksponentene. For eksempel: $(3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8$.

Regel 4 -- Potens av produkt:
$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$

For eksempel: $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$.

Regel 5 -- Potens av brøk:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

For eksempel: $\displaystyle \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$.

Disse reglene gjelder bare når grunntallene er like (for regel 1 og 2) eller når eksponentene er like (for regel 4 og 5). Du kan altså ikke forenkle $2^3 \times 3^4$ med regel 1, fordi grunntallene er forskjellige.

Negative eksponenter

Hva skjer når eksponenten er negativ? La oss bruke divisjonsregelen: $2^3 \div 2^5 = 2^{3-5} = 2^{-2}$. Men vi kan også regne det ut direkte:

$$\frac{2^3}{2^5} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2}$$

Altså betyr $\displaystyle 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Generelt:

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

En negativ eksponent betyr altså «snu brøken» eller «ta den omvendte verdien». Noen eksempler:
- $\displaystyle 5^{-1} = \frac{1}{5}$
- $\displaystyle 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$
- $\displaystyle 10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10\,000} = 0{,}0001$

For brøker «snur» den negative eksponenten alt:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$

For eksempel: $\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.

Negative eksponenter er spesielt nyttige når vi skriver svært små tall, som vi skal se når vi kommer til standardform.

Røtter -- potensenes motsetning

Å ta en rot er det omvendte av å opphøye. Hvis $3^2 = 9$, er $\sqrt{9} = 3$. Generelt:

$$\text{Hvis } a^n = b, \text{ da er } \sqrt[n]{b} = a$$

Kvadratroten ($\sqrt{\phantom{x}}$, altså $n = 2$) er den vanligste. Den spør: «Hvilket tall ganget med seg selv gir dette?»
- $\sqrt{25} = 5$ fordi $5^2 = 25$
- $\sqrt{100} = 10$ fordi $10^2 = 100$
- $\sqrt{2} = 1{,}4142\ldots$ (dette er et irrasjonalt tall!)

Kubikkroten ($\sqrt[3]{\phantom{x}}$, $n = 3$) spør: «Hvilket tall ganget med seg selv tre ganger gir dette?»
- $\sqrt[3]{8} = 2$ fordi $2^3 = 8$
- $\sqrt[3]{27} = 3$ fordi $3^3 = 27$
- $\sqrt[3]{-8} = -2$ fordi $(-2)^3 = -8$ (kubikkrøtter av negative tall gir mening!)

Det finnes en elegant sammenheng mellom røtter og potenser:

$$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$$

Altså er $\sqrt{9} = 9^{1/2}$ og $\sqrt[3]{8} = 8^{1/3}$. Mer generelt:

$$\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$$

Denne sammenhengen betyr at alle potensreglene vi allerede har lært, gjelder for røtter også! For eksempel: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = a^{1/2} \cdot b^{1/2} = (ab)^{1/2} = \sqrt{ab}$.

Her er noen nyttige regneregler for kvadratrøtter:
- $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, for eksempel $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
- $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$, for eksempel $\displaystyle \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$
- Men pass på: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ ! (En vanlig feil!)

Potenser i praksis

Potenser og røtter dukker opp overalt i den virkelige verden:

Eksponentiell vekst: Tenk deg en bakteriekultur der antallet dobles hver time. Etter $t$ timer er antallet $N = N_0 \cdot 2^t$, der $N_0$ er startantallet. Starter du med $100$ bakterier, har du etter $10$ timer $100 \cdot 2^{10} = 100 \cdot 1024 = 102\,400$ bakterier!

Areal og volum: Arealet av et kvadrat med side $s$ er $s^2$ (derav navnet «kvadrat»). Volumet av en kube med side $s$ er $s^3$ (derav «kube»). Hvis du kjenner arealet og vil finne siden, tar du kvadratroten: $s = \sqrt{A}$.

Papirfolding: Hvert brett dobler antall lag. Etter $n$ brett har du $2^n$ lag. Med et vanlig papir på $0{,}1$ mm tykkelse gir $42$ brett en tykkelse på $0{,}1 \cdot 2^{42}$ mm $\approx 440\,000$ km -- mer enn avstanden til månen!

Pythagorassetningen: I en rettvinklet trekant gjelder $a^2 + b^2 = c^2$, der $c$ er hypotenusen. For å finne $c$ tar du kvadratroten: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Oppsummering

Potenser er en forkortelse for gjentatt multiplikasjon: $a^n$ betyr $a$ ganget med seg selv $n$ ganger.

Potensreglene: