5.3 Arealer av sammensatte figurer

Hvor høyt er egentlig det treet?

Du står i hagen og ser opp på et digert grantre. Naboen påstår det er over ti meter høyt og må felles. Men hvordan måler man høyden på et tre? Du kan ikke akkurat klatre opp med målebånd.

Her kommer et av matematikkens eldste triks inn: du trenger bare to ting du kan måle – avstanden bort til treet, og vinkelen du må løfte blikket for å se toppen. Resten ordner trigonometrien, læren om forholdene mellom sider og vinkler i trekanter. Med tre funksjoner – sinus, cosinus og tangens – kan du beregne høyder på bygninger, helningen på en rullestolrampe, stigningen på en vei og avstanden fra et fyrtårn til en båt. I denne fortellingen lærer du å bruke alle tre.

Tre forhold som styrer alt

Alt handler om den rettvinklede trekanten – en trekant der én vinkel er $90°$. Den lengste siden, som ligger rett overfor den rette vinkelen, heter hypotenusen. De to korteste sidene kalles kateter. Og her er nøkkelen: setene har navn i forhold til vinkelen vi ser på. Kateten rett overfor vinkelen $v$ kalles den motstående kateten, og kateten som ligger inntil vinkelen, kalles den hosliggende.

De tre trigonometriske funksjonene er rett og slett forholdene mellom disse sidene:

$$\sin v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}, \quad \cos v = \frac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}, \quad \tan v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}$$

Det magiske er at disse forholdene bare avhenger av vinkelen, ikke av trekantens størrelse – det er formlikheten som sørger for det. Derfor kan kalkulatoren ha verdiene lagret for enhver vinkel.

Nå kan vi måle treet. Du står $12$ meter fra stammen, og vinkelen opp til toppen er $35°$. Tegn trekanten: den hosliggende kateten er avstanden $12$ m, den motstående er høyden $h$ vi leter etter. Siden vi har motstående og hosliggende, er tangens riktig verktøy: $\displaystyle \tan 35° = \frac{h}{12}$. Da er $h = 12 \cdot \tan 35° = 12 \cdot 0{,}700 \approx 8{,}4$ meter. Naboen tok feil – treet er under ti meter. Oppskriften er alltid den samme: tegn figuren, finn ut hvilke sider du har, og velg funksjonen som knytter dem sammen.

Å finne ukjente sider

Når du skal finne en ukjent side, er strategien å velge den funksjonen som inneholder både siden du kjenner og siden du leter etter.

En stige på $5$ meter står lent mot en vegg med $70°$ vinkel mot bakken. Hvor høyt opp på veggen rekker den? Stigen er hypotenusen, og høyden på veggen er den motstående kateten til vinkelen ved bakken. Motstående og hypotenus – det er sinus: $h = 5 \cdot \sin 70° = 5 \cdot 0{,}940 \approx 4{,}7$ meter.

Noen ganger står den ukjente i nevneren, og da må vi snu litt på likningen. Fra toppen av et $25$ meter høyt fyrtårn ser du en båt, og blikket peker $12°$ under horisonten – det kalles nedsynsvinkelen. Hvor langt fra foten av fyrtårnet er båten? Tegner du figuren, ser du en rettvinklet trekant der tårnhøyden $25$ m er motstående katet og avstanden $d$ er hosliggende. Dermed: $\displaystyle \tan 12° = \frac{25}{d}$, som gir $\displaystyle d = \frac{25}{\tan 12°} \approx 118$ meter.

Og glem ikke gamle Pytagoras – når du kjenner to sider og vil finne den tredje, trenger du ingen vinkler i det hele tatt: $a^2 + b^2 = c^2$. Et rom er $4$ meter bredt og $3$ meter langt; diagonalen blir $\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$ meter. Trigonometri og Pytagoras utfyller hverandre: vinkler og én side gir trigonometri, to sider gir Pytagoras.

Å finne ukjente vinkler

Hittil har vi kjent vinkelen og lett etter sider. Men hva når det er vinkelen som er ukjent? Da bruker vi inversfunksjonene $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ og $\tan^{-1}$ – de svarer på spørsmålet «hvilken vinkel gir dette forholdet?».

Et praktisk eksempel: en rullestolrampe er $6$ meter lang og stiger $0{,}5$ meter. Er den brattere enn reglene tillater? Stigningen $0{,}5$ m er motstående katet, og rampens lengde $6$ m er hypotenusen. Da er $\displaystyle \sin v = \frac{0{,}5}{6} \approx 0{,}0833$, og vinkelen blir $v = \sin^{-1}(0{,}0833) \approx 4{,}8°$.

Veiskilt bruker et annet språk for det samme. Når skiltet varsler «$8\,\%$ stigning», betyr det at veien stiger $8$ meter for hver $100$ meter du kjører bortover. Det er nettopp tangens: $\displaystyle \tan v = \frac{8}{100} = 0{,}08$, som gir $v = \tan^{-1}(0{,}08) \approx 4{,}6°$. Bratte fjelloverganger på $10$–$12\,\%$ er altså bare rundt $6$–$7$ grader – vinkler lurer øyet!

Til slutt, rommet fra i stad: diagonalen på $5$ meter danner en vinkel med den lengste veggen på $4$ meter. Den motstående kateten til vinkelen er kortveggen på $3$ m, og den hosliggende er langveggen på $4$ m, så $\displaystyle \tan v = \frac{3}{4} = 0{,}75$ og $v = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}9°$. Husk fremgangsmåten: tegn figuren, merk av den rette vinkelen, finn hvilke sider du kjenner – og velg riktig forhold.

Oppsummering

Vi startet med et tre vi ikke kunne klatre i, og endte med å måle det fra bakken. I en rettvinklet trekant gjelder de tre forholdene $\displaystyle \sin v = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}$, $\displaystyle \cos v = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}$ og $\displaystyle \tan v = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}$ – og de avhenger bare av vinkelen, ikke av trekantens størrelse.

Skal du finne en ukjent side, velger du funksjonen som knytter sammen vinkelen og sidene du kjenner – slik vi fant trehøyden med tangens og stigehøyden med sinus. Skal du finne en ukjent vinkel, bruker du inversfunksjonene $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ og $\tan^{-1}$ – slik rampen viste seg å helle $4{,}8°$ og veien med $8\,\%$ stigning bare $4{,}6°$. Kjenner du to sider, holder Pytagoras ($a^2 + b^2 = c^2$) lenge. Og uansett oppgave gjelder den samme rutinen: tegn figuren, merk den rette vinkelen, identifiser sidene – og velg riktig forhold.