4.4 Normalfordeling

Kortet som forandret alt

Du spiller kort med venner og trenger et ess. I en full kortstokk er sjansen $\displaystyle \frac{4}{52}$. Du trekker – og får et ess! Men så trekker du en gang til, uten å legge det første kortet tilbake. Hva er sjansen for ess nå? Ikke $\displaystyle \frac{4}{52}$ lenger – det ligger jo bare $3$ ess igjen blant $51$ kort. Sannsynligheten har endret seg, fordi noe allerede har skjedd.

Dette er kjernen i betinget sannsynlighet: sjansen for en hendelse avhenger av hva vi vet fra før. Trekker du kuler fra en pose uten å legge dem tilbake, velger læreren elever til fremføring, eller tester en fabrikk produkter for feil – overalt dukker det samme mønsteret opp. I denne fortellingen lærer du å regne på det, med en formel, et prinsipp og et tegneverktøy som gjør alt oversiktlig.

Gitt at … – den nye spillereglen

Vi skriver betinget sannsynlighet som $P(B \mid A)$, og leser det «sannsynligheten for $B$ gitt at $A$ har inntruffet». Den loddrette streken betyr altså «gitt at» – informasjonen om at $A$ har skjedd, endrer spillebrettet for $B$. Formelt er $$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$ der $P(A \cap B)$ er sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer.

Snur vi formelen, får vi multiplikasjonsprinsippet, som er arbeidshesten i dette kapittelet: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$$ Sannsynligheten for at begge skjer, er sjansen for den første, ganget med sjansen for den andre gitt at den første har skjedd.

La oss bruke det. En pose inneholder $4$ røde og $6$ blå kuler, og du trekker to kuler uten å legge den første tilbake. Hva er sjansen for at begge er røde? Første trekk: $\displaystyle P(R_1) = \frac{4}{10}$. Men nå er situasjonen endret – det ligger bare $3$ røde igjen blant $9$ kuler, så $\displaystyle P(R_2 \mid R_1) = \frac{3}{9}$. Multiplikasjonsprinsippet gir $$P(\text{begge røde}) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \approx 13{,}3\,\%$$

Legg merke til det viktigste grepet: etter første trekk oppdaterer vi både telleren og nevneren. Én kule mindre i posen, én rød mindre å trekke. Det er nettopp dette «uten tilbakelegging» betyr – hvert trekk endrer forutsetningene for det neste.

Valgtreet – kartet over alle muligheter

Når situasjonene blir mer sammensatte, er et valgtre det beste verktøyet. Du tegner første trekk som grener ut fra start, og fra hver gren tegner du neste trekk – med oppdaterte sannsynligheter. Så gjelder to regler: multipliser langs grenene for å finne sannsynligheten for én bestemt vei, og adder sannsynlighetene for ulike veier som fører til samme resultat.

Prøv dette: i en klasse er det $15$ jenter og $13$ gutter, altså $28$ elever, og to skal trekkes tilfeldig til en fremføring. Hva er sjansen for at begge er jenter? Langs «jente–jente»-veien i treet: $\displaystyle P = \frac{15}{28} \cdot \frac{14}{27} = \frac{210}{756} = \frac{5}{18} \approx 27{,}8\,\%$.

Men hva når flere veier fører til målet? En fruktskål har $3$ epler og $2$ pærer, og du forsyner deg med to tilfeldige frukter. Hva er sjansen for å få ett eple og én pære? Her finnes to veier: eple først og så pære, eller pære først og så eple. Den første veien gir $\displaystyle \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$, den andre gir $\displaystyle \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{20}$. Siden begge veiene fører til samme resultat, adderer vi: $\displaystyle \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

Det er lett å glemme den andre veien og ende på halvparten av riktig svar. Derfor er valgtreet gull verdt: når alle veier er tegnet opp, ser du hvilke som skal med. Multipliser langs grenene, adder mellom veiene – det er hele oppskriften.

Uavhengige hendelser – og trikset med «minst én»

Noen ganger påvirker ikke hendelsene hverandre i det hele tatt. Da kalles de uavhengige, og kjennetegnet er at $P(B \mid A) = P(B)$ – informasjonen om $A$ endrer ingenting. For uavhengige hendelser blir multiplikasjonsprinsippet ekstra enkelt: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Værmeldingen sier $70\,\%$ sjanse for regn på mandag og $40\,\%$ på tirsdag, uavhengig av hverandre. Sjansen for regn begge dager er da $0{,}70 \cdot 0{,}40 = 0{,}28$, altså $28\,\%$. Ingen oppdatering nødvendig – tirsdagens vær bryr seg ikke om mandagens.

Til slutt et av sannsynlighetsregningens mest elegante triks. En fabrikk vet at $2\,\%$ av produktene er defekte, og du trekker to produkter fra et stort parti. Hva er sjansen for minst ett defekt? Å regne direkte er kronglete – «minst ett» kan bety ett eller to defekte, altså flere tilfeller å holde styr på. Men motsatsen til «minst ett defekt» er «ingen defekte», og den er lett: $P(\text{ingen}) = 0{,}98 \cdot 0{,}98 = 0{,}9604$. Dermed er $$P(\text{minst ett defekt}) = 1 - 0{,}9604 = 0{,}0396 \approx 4{,}0\,\%$$

Regelen er verdt å ramme inn: $P(\text{minst én}) = 1 - P(\text{ingen})$. Når du ser ordene «minst én» i en oppgave, gå via komplementet – det sparer deg nesten alltid for arbeid.

Oppsummering

Vi startet med et ess som forandret kortstokken, og nå har du hele verktøykassen. Betinget sannsynlighet $P(B \mid A)$ er sjansen for $B$ gitt at $A$ allerede har skjedd, definert ved $\displaystyle P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$. Multiplikasjonsprinsippet $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$ lar oss regne på hendelser i rekkefølge – og ved trekning uten tilbakelegging må både teller og nevner oppdateres etter hvert trekk.

Valgtreet holder orden på det hele: multipliser langs grenene, og adder sannsynlighetene for ulike veier som fører til samme resultat – som de to veiene til «ett eple og én pære». Er hendelsene uavhengige, gjelder $P(B \mid A) = P(B)$, og alt forenkles til $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Og når oppgaven spør om «minst én», husker du snarveien: $P(\text{minst én}) = 1 - P(\text{ingen})$. Fra kortspill til kvalitetskontroll – det er samme matematikk hele veien.