3.4 Drill: normal-regneoppgaven (sjanger A)

Åpningsoppgaven på eksamenstempo: standardisering, lineærkombinasjoner, betingede sannsynligheter og kvantiler — feilfritt og fort.

85 min

12 oppgaver

Drillnormal-regneoppgaven (sjanger A)

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.3Sentralgrenseteoremet og normaltilnærming

Brukes videre i

3.PPrøver til del 3: Normalfordelingen og grenseteoremer

Dette er drillkapitlet for åpningsoppgaven. Sjanger A — den rene normal-regneoppgaven — står i nesten hvert sett, ofte som første oppgave. Det er «billige poeng som må sitte automatisk»: kan du dem raskt og feilfritt, får du en trygg start; roter du her, taper du tid og selvtillit på resten av settet.

- I Inspera-form kreves 2–3 desimalers presisjon, og kun tallsvaret teller — ingen delpoeng for metode. Da må mellomregningen være avrundingsfri.
- Variantene som roterer i arkivet: ren standardisering, kombinasjon med kovarians, betinget hale, tetthetsformel-avlesning (Des24, Des25) og baklengs-kvantil.

Målet med kapitlet er tempo og presisjon, ikke ny teori — alt bygger på kap. 3.1–3.3. Prioritet: høyeste prioritet. Regn oppgavene på tid, og sammenlign svaret ditt siffer for siffer med fasiten.

Dette kapitlet er langt (ca. 85 min). Del det gjerne over to økter — det er satt inn pausepunkter underveis.

Forkunnskaper: Alt fra normalfordelingsdelen: standardisering og

\Phi

-tabellen (kap. 3.1), lineærkombinasjoner med kovariansledd (kap. 3.2) og — for et par oppgaver — gjennomsnittsfordelingen

\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)

. Ingen ny teknikk introduseres her; kapitlet drillliner det du allerede kan.

Sist du var her — de fire formlene du trenger klare:

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}, \qquad \Phi(-z) = 1 - \Phi(z),$

$\text{Var}(aX + bY) = a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\,\text{Cov}(X,Y), \qquad x = \mu + z_\alpha \sigma \ \text{(baklengs)}.$

Løsningsoppskrift — normal-regneoppgaven i seks trinn

Den samme ryggraden løser alle variantene. Kjør den mekanisk:

1. Definer variabelen og fordelingen. Skriv «La $X$ = … , da er $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ » med tallverdiene. Er tettheten oppgitt som formel, les av $\mu$ (trekkes fra $x$ ) og $\sigma$ (fra nevneren $2\sigma^2$ i eksponenten).
2. Bygg lineærkombinasjonen (om nødvendig) og regn $E$ og Var. For en sum/differanse/veid kombinasjon: forventning lineært, varians med kvadrerte koeffisienter og kovariansledd $2ab\,\text{Cov}$ . Sjekk om oppgaven oppgir en kovarians — den er ofte en felle.
3. Standardiser med STANDARDAVVIKET. $z = (\text{grense} - E)/SD$ , der $SD = \sqrt{\text{Var}}$ . Del aldri på variansen.
4. Slå opp med symmetri-håndtering. $\Phi(z)$ direkte for venstre hale; $1 - \Phi(z)$ for høyre; $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ for negativ $z$ ; differanse av to oppslag for et intervall; brøk av to haler for en betinget sannsynlighet.
5. Angi tabelloppslaget eksplisitt. Skriv « $\Phi(1{,}25) = 0{,}8944$ » i utregningen — sensor krever å se oppslaget (sensorkrav 4).
6. Svar med riktig presisjon. Inspera: 2–3 desimaler, og aldri avrund i mellomregningen — behold $z$ med fire desimaler til siste steg. Konkluder i ord når oppgaven ber om det.

Baklengs-varianten (finn grensen fra en gitt sannsynlighet) kjører trinn 1–2 som vanlig, men bytter trinn 3–4 mot: finn kvantilen $z$ fra tabellen ( $\Phi(z) = p$ , eller $z_\alpha$ for øvre hale $\alpha$ ), og regn $x = \mu + z\sigma$ .

✏️Gjennomregnet eksamenscase (med sensormerknader)

Bruddstyrken til en sveisefuge har tetthet $\displaystyle f(x) = \dfrac{1}{5\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-35)^2}{50}}$ (i kN).

a) Les av $\mu$ og $\sigma$ .

b) Finn $P(X > 42)$ .

c) Finn $P(30 < X < 42)$ .

d) Gitt at en fuge tåler mer enn 38 kN, finn $P(X > 42 \mid X > 38)$ .

e) Bestem grensen $x_0$ som bare 5 % av fugene overstiger.

a) Sammenlign med standardformen. Tallet som trekkes fra

x

35

, så

\mu = 35

. Nevneren i eksponenten er

2\sigma^2 = 50

, altså

\sigma^2 = 25

\sigma = 5

(passer med faktoren

\displaystyle \frac{1}{5\sqrt{2\pi}}

). Altså

X \sim N(35, 25)

> Sensormerknad: les av — ikke integrer. Poenget er å gjenkjenne $\mu$ og $2\sigma^2$ direkte. Full uttelling krever at $\sigma = 5$ (ikke $\sigma^2 = 50$ ).

b) $z = \dfrac{42 - 35}{5} = 1{,}40$ . $P(X > 42) = 1 - \Phi(1{,}40) = 1 - 0{,}9192 = 0{,}0808$ .

> Sensormerknad: oppslaget $\Phi(1{,}40) = 0{,}9192$ skal stå eksplisitt.

c) $z_1 = \dfrac{30 - 35}{5} = -1{,}00$ , $z_2 = 1{,}40$ . $P(30 < X < 42) = \Phi(1{,}40) - \Phi(-1{,}00) = 0{,}9192 - (1 - 0{,}8413) = 0{,}9192 - 0{,}1587 = 0{,}7605$ .

d) Betinget hale — del de to halene: $z_{38} = \dfrac{38 - 35}{5} = 0{,}60$ , $P(X > 38) = 1 - \Phi(0{,}60) = 1 - 0{,}7257 = 0{,}2743$ . Da
$P(X > 42 \mid X > 38) = \frac{P(X > 42)}{P(X > 38)} = \frac{0{,}0808}{0{,}2743} = 0{,}2946.$

> Sensormerknad: her faller mange for å regne $P(X > 4)$ som om normalfordelingen var minneløs. Den er ikke det — betinget = brøk.

e) $P(X > x_0) = 0{,}05$ gir $z = z_{0{,}05} = 1{,}6449$ , så $x_0 = \mu + z_{0{,}05}\,\sigma = 35 + 1{,}6449 \cdot 5 = 43{,}22$ kN.

> Sensormerknad: bruk den nøyaktige kvantilen $1{,}6449$ . Rundet du til $1{,}64$ , ville du fått $43{,}20$ — feil siste desimal i Inspera.

Fasitsvar: (a) $\mu = 35$ , $\sigma = 5$ ; (b) $0{,}0808$ ; (c) $0{,}7605$ ; (d) $0{,}2946$ ; (e) $43{,}22$ kN.

— naturlig pausepunkt — Har du fulgt hele casen, har du sett alle fem variantene i sammenheng. Nå er det din tur: oppgavene under roterer de samme grepene. Regn dem på tid.

Bolk 1 — grunnvariantene (ca. 25 min)

📝Oppgave 1

(Innstegsoppgave — ren standardisering.) Diameteren på en boret hull er $X \sim N(100, 15^2)$ mikrometer over nominell. Finn $P(X > 120)$ .

📝Oppgave 2

En variabel har tetthet $\displaystyle f(x) = \dfrac{1}{5\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{(x-40)^2}{50}}$ . Les av $\mu$ og $\sigma$ , og finn $P(32 < X < 48)$ .

📝Oppgave 3

Levetiden til et relé er $X \sim N(1000, 50^2)$ timer. Gitt at et relé har vart mer enn 1050 timer, finn $P(X > 1100 \mid X > 1050)$ .

📝Oppgave 4

Baklengs. Fyllmengden i en pose er $X \sim N(500, 20^2)$ gram. Bestem grensen $c$ slik at $10 \%$ av posene har mengde over $c$ .

— naturlig pausepunkt —

Bolk 2 — kovarians, gjennomsnitt og intervall (ca. 25 min)

📝Oppgave 5

To materialegenskaper $X$ (styrke) og $Y$ (vekt) er simultant normale med $\mu_X = 30$ , $\mu_Y = 25$ , $\sigma_X^2 = 16$ , $\sigma_Y^2 = 9$ og $\text{Cov}(X, Y) = 4$ . Finn $P(X - Y > 10)$ .

📝Oppgave 6

Trykket i et system er $X \sim N(75, 10^2)$ kPa. Finn $P(60 < X < 90)$ .

📝Oppgave 7

Vekten på en komponent er $X \sim N(250, 12^2)$ g. Det tas $n = 9$ uavhengige veiinger, og gjennomsnittet $\bar{X}$ regnes. Finn $P(\bar{X} < 245)$ .

📝Oppgave 8

X

Y

er simultant normale med

\mu_X = 40

\mu_Y = 35

\sigma_X^2 = 25

\sigma_Y^2 = 16

\text{Cov}(X, Y) = -6

. La

U = 2X + Y

a) Finn $E(U)$ og $\text{Var}(U)$ .

b) Finn $P(U < 110)$ .

c) Finn $P(U > 130)$ .

— naturlig pausepunkt —

Bolk 3 — Inspera-kortsvar med presisjonskrav (ca. 25 min)

Disse tre er i Inspera-format: svar med nøyaktig 2 desimaler, og pass på at du ikke avrunder underveis. Kun tallsvaret teller.

📝Oppgave 9

(Inspera, 2 desimaler.)

X \sim N(20, 3^2)

. Finn

P(X < 25{,}5)

📝Oppgave 10

(Inspera, 2 desimaler.) To uavhengige leveringstider er

X \sim N(50, 6^2)

Y \sim N(48, 8^2)

minutter. Finn

P(X > Y)

📝Oppgave 11

(Inspera, 2 desimaler — baklengs.) Levetiden til et batteri er

X \sim N(1200, 80^2)

ladesykluser. Bestem den

x

som

95 \%

av batteriene ligger under (den 95. persentilen).

📝Oppgave 12

En sensor har målefeil $X \sim N(0, 2^2)$ (mV). To uavhengige målinger tas, og gjennomsnittet $\bar{X} = (X_1 + X_2)/2$ rapporteres.

a) Finn fordelingen til $\bar{X}$ .

b) Finn $P(|\bar{X}| > 2)$ (at snittfeilen er større enn 2 mV i tallverdi).

Typiske feil (på tempo)

- Avrunding i mellomregninger som gir feil Inspera-tallsvar. Behold $z$ med fire desimaler helt til slutt.
- Kovariansfellene fra 3.2: glemt kovariansledd, uglemte kvadrater på koeffisientene, eller varianser trukket fra hverandre i en differanse.
- Lese $\sigma^2$ der formelen gir $2\sigma^2$ . Nevneren i tetthetseksponenten er $2\sigma^2$ — halver den for variansen.
- Betinget hale regnet som minneløshet. $P(X > a \mid X > b) \ne P(X > a - b)$ for normalfordelingen — det er en brøk av to haler.
- Standardisere gjennomsnittet med $\sigma$ i stedet for standardfeilen $\sigma/\sqrt{n}$ .
- Bruke rundet kvantil ( $1{,}64$ i stedet for $1{,}6449$ ) i baklengs-oppgaver.

Formel- og oppskriftskort

De fem grepene i kortform — pugg rutinen, ikke tallene.

Flashcard-/repetisjonsstoff — hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget gjelder kjernestoffet.

Formelkort: standardisering og oppslag

z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}

Formelkort: lineærkombinasjon

U = aX + bY

Formelkort: betinget hale

\displaystyle P(X > a \mid X > b) = \dfrac{1 - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)}{1 - \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)}

Oppskriftskort: baklengs (kvantil)

\Phi(z) = p

Oppskriftskort: Inspera-presisjon

z

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.