9.3 Programmering med følger og rekker

a)

$$a_{n+1} = a_n \cdot 1{,}05 - 35\,000, \quad a_0 = 500\,000$$

Restgjelden vokser med 5 % rente, men reduseres med årsbetalingen.

b) Python-program:

import matplotlib.pyplot as plt

a = 500_000  # Startlån
rente = 1.05
betaling = 35_000

år = [0]
gjeld = [a]

n = 0
while a > 0:
    a = a * rente - betaling
    n += 1
    år.append(n)
    # Ikke vis negativ gjeld
    gjeld.append(max(a, 0))

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(
    år, gjeld, "b-o", markersize=4
)
plt.axhline(
    y=0,
    color="red",
    linestyle="--",
)
plt.xlabel("År")
plt.ylabel("Restgjeld (kr)")
plt.title(
    "Lånamortisering: 500 000 kr"
    " til 5 % rente"
)
plt.grid(True)
plt.show()
print(
    "Lånet er nedbetalt etter"
    f" {n} år."
)

c) Resultat:

Programmet skriver ut «Lånet er nedbetalt etter 26 år.» Etter 25 år er restgjelden ca. 22 729 kr, og i år 26 blir den negativ.

Kontroll: Gjelden vokser bare dersom rentene $0{,}05 \cdot a_n$ er større enn betalingen på 35 000 kr, altså dersom $a_n > 700\,000$ kr. Siden $500\,000 < 700\,000$, synker gjelden hvert år.

Eksplisitt formel: $a_n = 700\,000 - 200\,000 \cdot 1{,}05^n$. Da gir $a_n \leq 0$ at $1{,}05^n \geq 3{,}5$, altså $\displaystyle n \geq \frac{\ln 3{,}5}{\ln 1{,}05} \approx 25{,}7$.

Svar: a) $a_{n+1} = 1{,}05 \cdot a_n - 35\,000$ med $a_0 = 500\,000$. c) Lånet er nedbetalt i løpet av år 26.

import matplotlib.pyplot as plt

N_max = 10000
p_verdier = [0.5, 1.0, 1.5, 2.0]

plt.figure(figsize=(10, 6))

for p in p_verdier:
    S = 0
    n_list = []
    s_list = []
    for n in range(1, N_max + 1):
        S += 1 / n**p
        if (
            n % 100 == 0
            or n <= 50
        ):
            n_list.append(n)
            s_list.append(S)
    print(
        f"p = {p}: S_10000 ="
        f" {S:.6f}"
    )
    plt.plot(
        n_list,
        s_list,
        label=f"p = {p}",
    )

plt.xlabel("N")
plt.ylabel("$S_N$")
plt.title(
    "Delsummer av $\\sum 1/n^p$"
)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Resultater:
- $p = 0{,}5$: $S_{10\,000} \approx 198{,}5$ (divergerer)
- $p = 1$: $S_{10\,000} \approx 9{,}79$ (divergerer, men sakte)
- $p = 1{,}5$: $S_{10\,000} \approx 2{,}592$ (konvergerer langsomt mot $\zeta(1{,}5) \approx 2{,}612$)
- $p = 2$: $S_{10\,000} \approx 1{,}6448$ (konvergerer mot $\pi^2/6 \approx 1{,}6449$)

Svar: c) Rekken $\sum 1/n^p$ konvergerer når $p > 1$ og divergerer når $p \leq 1$.

import matplotlib.pyplot as plt

r = 0.8
K = 1000
# Startpopulasjon P_0
P = 100
N = 30

n_verdier = [0]
p_verdier = [P]
for n in range(1, N + 1):
    P = P + r * P * (1 - P / K)
    n_verdier.append(n)
    p_verdier.append(P)

for n in range(11):
    print(
        f"P_{n:>2} ="
        f" {p_verdier[n]:.1f}"
    )

plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(
    n_verdier,
    p_verdier,
    "b-o",
    markersize=3,
)
plt.axhline(
    y=K,
    color="red",
    linestyle="--",
    label="Bæreevne K = 1000",
)
plt.xlabel("Generasjon n")
plt.ylabel("Populasjon P_n")
plt.title(
    "Logistisk populasjonsmodell"
    " (r = 0,8, K = 1000)"
)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

b) Analyse:

Programmet skriver ut $P_0 = 100$, $P_1 = 172{,}0$, $P_2 = 285{,}9$, $P_3 = 449{,}3$, $P_4 = 647{,}2$, $P_5 = 829{,}9$, $P_6 = 942{,}8$, $P_7 = 985{,}9$, $P_8 = 997{,}0$, $P_9 = 999{,}4$ og $P_{10} = 999{,}9$.

Likevekt: $\displaystyle P^* = P^* + rP^*\left(1 - \frac{P^*}{K}\right)$ gir $\displaystyle rP^*\left(1 - \frac{P^*}{K}\right) = 0$, altså $P^* = 0$ eller $P^* = K$.

Populasjonen vokser først nesten eksponentielt, så bremser veksten, og følgen nærmer seg bæreevnen $K = 1000$ uten å gå over.

c) $r = 1{,}8$:

Programmet gir $P_1 = 262{,}0$, $P_2 = 610{,}0$, $P_3 = 1038{,}2$, $P_4 = 966{,}8$, $P_5 = 1024{,}6$ og $P_6 = 979{,}2$.

Populasjonen går over bæreevnen og svinger rundt 1000 med stadig mindre utslag. For $0 < r < 2$ nærmer følgen seg $K$.

Svar: b) Populasjonen nærmer seg bæreevnen $K = 1000$. c) Med $r = 1{,}8$ svinger populasjonen rundt 1000 med avtagende utslag, men nærmer seg fortsatt 1000.