7.2 Korrelasjon og kausalitet

Tallet som måler samvariasjon

En avis melder: «Forskere finner sterk sammenheng mellom skjermtid og dårlig søvn.» Men hvor sterk er «sterk»? Og betyr sammenhengen at skjermen forårsaker søvnproblemene? De to spørsmålene — styrke og årsak — er dette kapittelets tema, og de må holdes strengt fra hverandre.

Styrken måles med Pearsons korrelasjonskoeffisient $r$. For et datasett $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ er

$$r = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum(y_i - \bar{y})^2}}$$

Tallet ligger alltid mellom $-1$ og $1$. Er $r > 0$, har vi en positiv lineær sammenheng (begge øker sammen); er $r < 0$, en negativ (den ene øker når den andre synker); og $r = 0$ betyr ingen lineær sammenheng. Jo nærmere $|r|$ er 1, desto strammere ligger punktene langs en linje. En vanlig tommelfingerregel: $|r|$ under 0,3 er svakt, 0,3–0,7 moderat, og over 0,7 sterkt.

Det er en vakker kobling til forrige kapittel: for enkel lineær regresjon er $R^2 = r^2$. Klassens studiedata med $R^2 \approx 0{,}976$ gir dermed $r = \sqrt{0{,}976} \approx 0{,}988$ — positivt fortegn siden mer lesing ga flere poeng. En nesten perfekt positiv korrelasjon.

Men husk begrensningen: $r$ ser bare lineære mønstre. To variabler kan følge en perfekt parabel — en sterk sammenheng — og likevel gi $r \approx 0$. Et lavt $r$-tall betyr derfor «ingen lineær sammenheng», ikke «ingen sammenheng». Plott alltid dataene før du konkluderer.

Korrelasjon er ikke kausalitet

Nå til kapittelets viktigste innsikt — kanskje den viktigste i hele statistikken: korrelasjon betyr ikke årsakssammenheng. At to variabler samvarierer, beviser ikke at den ene forårsaker den andre.

Den vanligste forklaringen på en ikke-kausal korrelasjon er en konfunderende variabel (lurende eller bakenforliggende variabel): en tredje størrelse som påvirker begge variablene og dermed skaper en tilsynelatende sammenheng. Klassikeren: issalg og drukningsulykker korrelerer sterkt. Men is forårsaker ikke drukning — den konfunderende variabelen er sommervarmen, som gir både mer iskremspising og mer bading.

Prøv selv på dette eksempelet: ved branner er det sterk korrelasjon mellom antall brannmenn på stedet og skadeomfanget. Bør kommunen sende færre brannmenn for å redusere skadene? Selvsagt ikke. Den konfunderende variabelen er brannens størrelse: store branner tilkaller mange brannmenn og gjør stor skade. Korrelasjonen mellom brannmenn og skade er ekte i tallene, men kausalt sett en illusjon — den forklares av den felles årsaken.

Slike villedende sammenhenger kalles spuriøse korrelasjoner. Noen oppstår via konfundere, andre av ren tilfeldighet — særlig når man leter i store datamengder. Kjente kuriositeter: antall filmer Nicolas Cage spilte i per år korrelerer med drukningsulykker i svømmebasseng; margarinforbruket per innbygger korrelerer med skilsmisseraten i Maine; utgifter til romforskning korrelerer med antall selvmord. Ingen av dem har noen kausal forklaring — de er statistisk støy som tilfeldigvis danner mønster.

Hva kreves da for å sannsynliggjøre kausalitet? Mer enn et regneark: kontrollerte eksperimenter der andre faktorer holdes like, eller solid faglig begrunnelse kombinert med kontroll for kjente konfundere. Inntil det foreligger, er den ærlige formuleringen alltid «henger sammen med» — aldri «fører til».

Oppsummering: mål styrken, men vokt deg for årsaken

Avisens «sterke sammenheng» kan du nå både tallfeste og kritisere. Pearsons korrelasjonskoeffisient $r$ måler styrken og retningen på en lineær samvariasjon: $r \in [-1, 1]$, der fortegnet gir retningen og tallverdien styrken — under 0,3 svakt, 0,3–0,7 moderat, over 0,7 sterkt. Koblingen $R^2 = r^2$ binder den til regresjonsanalysen fra 7.1, og begrensningen er innebygd: $r$ ser bare rette linjer, så krumme sammenhenger kan gjemme seg bak et lavt tall. Plott alltid først.

Den andre — og største — lærdommen: korrelasjon er ikke kausalitet. En samvariasjon kan skyldes en konfunderende variabel som driver begge størrelsene (varmen bak is og drukning, brannstørrelsen bak brannmenn og skade), eller ren tilfeldighet i store datamengder (spuriøse korrelasjoner som Nicolas Cage og bassengulykker). Å sannsynliggjøre årsak krever kontrollerte eksperimenter eller solid fagkunnskap med kontroll for alternative forklaringer.

For ditt eget prosjektarbeid betyr det to regler: rapporter $r$ med plott, og formuler funnene som «henger sammen med», ikke «fører til» — med en eksplisitt drøfting av mulige konfundere. Det er den forskjellen som skiller statistisk håndverk fra avisoverskrifter. I neste kapittel utvider vi verktøykassen til sammenhenger som ikke er rette linjer.