6.3 Hastighet og akselerasjon

Newtons verktøy

Da Isaac Newton skulle forklare hvorfor planetene går i baner og hvorfor eplet faller, manglet han noe ingen før ham hadde hatt: et matematisk språk for bevegelse. Posisjoner som endrer seg, hastigheter som endrer seg, krefter som endrer hastighetene — alt sammen i kontinuerlig flyt. Så han laget språket selv. Kalkulus ble til, bokstavelig talt, for dette kapittelet.

Du har allerede grammatikken. En bevegelse i planet er en posisjonsvektor $\vec{r}(t) = [x(t), y(t)]$ — i rommet $[x(t), y(t), z(t)]$ — og når tiden løper, tegner spissen opp banen. Fra forrige kapittel vet du at derivasjon skjer komponentvis og gir tangentvektoren. Nå setter vi fysikkens navn på hele kjeden:

$$\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t) \qquad \text{og} \qquad \vec{a}(t) = \vec{v}\,'(t) = \vec{r}\,''(t)$$

Hastigheten er posisjonens deriverte; akselerasjonen er hastighetens. Og veien går begge retninger: integrerer du akselerasjonen, får du hastigheten tilbake, og integrerer du igjen, posisjonen — med startverdiene som fastlegger integrasjonskonstantene.

Med denne kjeden skal vi regne på de store klassikerne: det skrå kastet, der en fotball følger sin parabel gjennom luften; sirkelbevegelsen, der karuseller og satellitter holdes i bane av en akselerasjon som alltid peker mot sentrum; og baner med varierende fart — spiraler og det rullende hjulets sykloide. Det er fysikkens kjernepensum, regnet med vektorfunksjoner — nøyaktig slik Newton tenkte det.

Kjeden: posisjon, hastighet, akselerasjon

La oss få kjeden i fingrene. Hastighetsvektoren $\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)$ er tangent til banen og peker i bevegelsesretningen; farten er lengden $v(t) = |\vec{v}(t)|$. Akselerasjonsvektoren $\vec{a}(t) = \vec{r}\,''(t)$ måler hvordan hastigheten endrer seg — i størrelse, retning eller begge deler — og måles i $\text{m/s}^2$.

Enkleste tilfelle først: $\vec{r}(t) = [2t + 1, 3t - 2]$. Derivasjon gir $\vec{v}(t) = [2, 3]$ — konstant. Objektet flytter seg $2$ meter i $x$-retning og $3$ i $y$-retning hvert sekund, langs en rett linje, og $\vec{a}(t) = [0, 0]$: ingen akselerasjon, ingen endring. Rettlinjet, jevn bevegelse er derivasjonens nullnivå.

Så et rikere eksempel: $\vec{r}(t) = [t^3 - 3t, t^2]$. Her blir $\vec{v}(t) = [3t^2 - 3, 2t]$ og $\vec{a}(t) = [6t, 2]$. Ved $t = 1$ er $\vec{a}(1) = [6, 2]$ med størrelse $\sqrt{40} = 2\sqrt{10}$. Og merk: akselerasjonen er aldri null her, for $y$-komponenten er $2$ uansett — banen krummer hele tiden.

Kjeden går også baklengs, med integrasjon. Anta $\vec{a}(t) = [2, 6t]$ med startverdier $\vec{v}(0) = [1, 0]$ og $\vec{r}(0) = [0, 0]$. Første integrasjon: $\vec{v}(t) = [2t + C_1, 3t^2 + C_2]$, og $\vec{v}(0) = [1, 0]$ gir $C_1 = 1$, $C_2 = 0$, altså $\vec{v}(t) = [2t + 1, 3t^2]$. Andre integrasjon: $\vec{r}(t) = [t^2 + t + D_1, t^3 + D_2]$, og startposisjonen gir $D_1 = D_2 = 0$:

$$\vec{r}(t) = [t^2 + t, t^3]$$

Derivasjon ned, integrasjon opp — med startverdiene som ankerfester. Det er hele maskineriet bak alt som kommer.

Det skrå kastet

Fotballen forlater foten, stiger, flater ut, faller — og lander. Hele dramaet styres av én eneste opplysning: i luften virker bare tyngdekraften, så $\vec{a}(t) = [0, -g]$. Integrer to ganger (slik vi nettopp lærte), med startfart $v_0$ i vinkel $\alpha$ fra origo, og du får bevegelseslikningene:

$$\vec{v}(t) = [v_0 \cos \alpha, \; v_0 \sin \alpha - gt] \qquad \vec{r}(t) = [v_0 t \cos \alpha, \; v_0 t \sin \alpha - \tfrac{1}{2}gt^2]$$

Les dem som to uavhengige historier: horisontalt skjer ingenting — konstant fart $v_0 \cos\alpha$, siden ingen kraft virker den veien. Vertikalt er det fritt fall med starthastighet $v_0 \sin\alpha$. Kastets parabel er bare disse to enkle bevegelsene lagt oppå hverandre.

Konkret: en fotball sparkes med $v_0 = 20$ m/s i $\alpha = 30°$, med $g = 10$ m/s². Da er $\cos 30° \approx 0{,}866$ og $\sin 30° = 0{,}5$, så $\vec{r}(t) = [17{,}32t, \; 10t - 5t^2]$. Toppunktet nås når den vertikale farten er brukt opp: $v_y = 10 - 10t = 0$ gir $t = 1$ s, og høyden der er $y(1) = 10 - 5 = 5$ m. Landingen skjer når $y = 0$: $5t(2 - t) = 0$ gir $t = 2$ s — nøyaktig dobbelt så lenge som til toppen, for parabelen er symmetrisk — og skuddlengden blir $x(2) = 17{,}32 \cdot 2 \approx 34{,}6$ m.

Varianten med kast fra høyde: en ball kastes horisontalt ($\alpha = 0$) med $15$ m/s fra en klippe $80$ m over bakken. Med origo på klippekanten er $\vec{r}(t) = [15t, -5t^2]$. Bakken nås når $-5t^2 = -80$, altså $t = 4$ s, hele $60$ m ut fra klippen. Og hastigheten i nedslaget? $\vec{v}(4) = [15, -40]$, med fart $\sqrt{225 + 1600} = \sqrt{1825} \approx 42{,}7$ m/s. (Virkelighetens baller bremses av luftmotstand — et ledd av typen $-kv$ i akselerasjonen — som korter både høyde og lengde og til slutt gir en terminalfart. Modellen vår er luftens tomme ideal.)

Sirkelbevegelse — å falle rundt jorda

Karusellen snurrer med konstant fart, og likevel kjenner du deg dratt — for retningen endres hele tiden, og endring av hastighet er per definisjon akselerasjon. La oss finne den.

Uniform sirkelbevegelse med radius $r$ og vinkelhastighet $\omega$ (radianer per sekund, $\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{T}$ for omløpstid $T$) har posisjon $\vec{r}(t) = [r\cos(\omega t), r\sin(\omega t)]$. Derivasjon gir $\vec{v}(t) = [-r\omega\sin(\omega t), r\omega\cos(\omega t)]$ med konstant fart $v = r\omega$, og enda en derivasjon gir gullkornet:

$$\vec{a}(t) = [-r\omega^2\cos(\omega t), -r\omega^2\sin(\omega t)] = -\omega^2\, \vec{r}(t)$$

Akselerasjonen er posisjonsvektoren snudd: den peker alltid rett mot sentrum. Dette er sentripetalakselerasjonen, med størrelse $\displaystyle |\vec{a}| = r\omega^2 = \frac{v^2}{r}$ — kraften du kjenner i karusellen er nettopp det som trengs for å bøye banen din.

Karusellen i tall: radius $4$ m, ett omløp på $8$ s. Da er $\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$ rad/s, farten $v = r\omega = \pi \approx 3{,}14$ m/s, og sentripetalakselerasjonen $\displaystyle r\omega^2 = \frac{\pi^2}{4} \approx 2{,}47$ m/s².

Og nå kapittelets vakreste regnestykke. En satellitt i bane $7000$ km fra jordsenteret bruker $90$ minutter på et omløp. Samme formler: $\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{5400} \approx 1{,}16 \cdot 10^{-3}$ rad/s, fart $v = r\omega \approx 8{,}1$ km/s — og sentripetalakselerasjonen $\displaystyle \frac{v^2}{r} \approx 9{,}5$ m/s². Kjenner du igjen tallet? Det er nesten nøyaktig $g$. Tyngdekraften er satellittens sentripetalkraft: den faller fritt mot jorda hele tiden, men beveger seg sideveis akkurat fort nok til alltid å bomme. En bane er et evig fall — Newtons innsikt, levert av to derivasjoner.

Når farten varierer: spiraler og det rullende hjulet

Kast og jevn sirkelgang er klassikerne, men kjeden posisjon–hastighet–akselerasjon takler hva som helst. To siste baner viser spennvidden.

Først en spiral: $\vec{r}(t) = [t\cos t, t\sin t]$. Avstanden fra origo er $|\vec{r}(t)| = \sqrt{t^2\cos^2 t + t^2 \sin^2 t} = t$ — partikkelen roterer mens den skrur seg jevnt utover, en arkimedisk spiral. Hastigheten krever produktregelen i hver komponent: $\vec{v}(t) = [\cos t - t\sin t, \; \sin t + t\cos t]$. Og farten? Kvadrér og legg sammen — kryssleddene $\mp 2t\sin t\cos t$ utsletter hverandre, og identiteten $\cos^2 + \sin^2 = 1$ rydder resten:

$$v(t) = \sqrt{1 + t^2}$$

Farten vokser med tiden: hver runde er lengre enn den forrige, men tar like lang tid.

Så sykloiden — banen til et punkt på kanten av et hjul som ruller, med $\vec{r}(t) = [t - \sin t, 1 - \cos t]$. Derivasjon gir $\vec{v}(t) = [1 - \cos t, \sin t]$ og $\vec{a}(t) = [\sin t, \cos t]$, og fartsberegningen er en liten perle: $v(t) = \sqrt{(1-\cos t)^2 + \sin^2 t} = \sqrt{2 - 2\cos t}$, som identiteten $\displaystyle 1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$ forvandler til

$$v(t) = 2\left|\sin\frac{t}{2}\right|$$

Farten er null når $\displaystyle \sin\frac{t}{2} = 0$, altså ved $t = 0, 2\pi, 4\pi, \ldots$ — nøyaktig der punktet berører bakken. Tenk på det neste gang du ser et hjul rulle: punktet nederst står stille i berøringsøyeblikket, mens punktet øverst farer av sted med dobbel fart av navet. Matematikken ser det blotte øyet ikke kan: to derivasjoner, og bevegelsens innerste koreografi ligger åpen.

Oppsummering

Newtons språk for bevegelse viste seg å være én kjede av derivasjoner: posisjonen $\vec{r}(t) = [x(t), y(t)]$ gir hastigheten $\vec{v}(t) = \vec{r}\,'(t)$ — alltid tangent til banen — med farten $v(t) = |\vec{v}(t)|$ som lengde, og akselerasjonen $\vec{a}(t) = \vec{r}\,''(t)$ som neste ledd. Integrasjon går kjeden motsatt vei, med startverdier som fastlegger konstantene: fra $\vec{a} = [2, 6t]$ klatret vi tilbake til $\vec{r}(t) = [t^2 + t, t^3]$.

Det skrå kastet var to historier i én: konstant horisontalfart $v_0\cos\alpha$ og vertikalt fritt fall, samlet i $\displaystyle \vec{r}(t) = [v_0 t\cos\alpha, v_0 t \sin\alpha - \frac{1}{2}gt^2]$. Fotballen toppet ved $v_y = 0$ ($t = 1$ s, $5$ m) og landet symmetrisk ved $t = 2$ s etter $34{,}6$ m; klippekastet falt i $4$ s og traff med $42{,}7$ m/s.

Sirkelbevegelsen avslørte sin hemmelighet i $\vec{a} = -\omega^2\vec{r}$: akselerasjonen peker alltid mot sentrum, med størrelse $\displaystyle r\omega^2 = \frac{v^2}{r}$. Karusellen ga $\displaystyle \frac{\pi^2}{4}$ m/s² — og satellitten ga $9{,}5 \approx g$: en bane er et evig fall, der tyngdekraften er sentripetalkraften.

Til slutt de varierende fartene: spiralens $v = \sqrt{1 + t^2}$ og sykloidens $\displaystyle v = 2|\sin\frac{t}{2}|$ — null nøyaktig når hjulpunktet berører bakken.

Dermed er bevegelsens matematikk komplett. I neste kapittel løfter vi blikket fra baner til virkeligheten i bredden: matematisk modellering — kunsten å velge riktig funksjon for et fenomen.