6.3 Hastighet og akselerasjon

a) Vi setter inn verdiene for $t$:

Ved $t = 0$: $\vec{r}(0) = [2 \cdot 0 + 1, 3 \cdot 0 - 2] = [1, -2]$

Ved $t = 1$: $\vec{r}(1) = [2 \cdot 1 + 1, 3 \cdot 1 - 2] = [3, 1]$

Ved $t = 2$: $\vec{r}(2) = [2 \cdot 2 + 1, 3 \cdot 2 - 2] = [5, 4]$

b) Objektet starter i punktet $(1, -2)$ og beveger seg langs en rett linje. For hvert sekund flytter det seg 2 meter i $x$-retning og 3 meter i $y$-retning.

Dette er rettlinjet bevegelse med konstant hastighet.

Svar: a) $(1, -2)$, $(3, 1)$ og $(5, 4)$ b) Rettlinjet bevegelse med konstant hastighet $[2, 3]$ m/s.

a) Vi beregner avstanden fra origo:

$$|\vec{r}(t)| = \sqrt{(3\cos t)^2 + (3\sin t)^2}$$
$$= \sqrt{9\cos^2 t + 9\sin^2 t}$$
$$= \sqrt{9(\cos^2 t + \sin^2 t)}$$
$$= \sqrt{9 \cdot 1} = 3$$

Avstanden fra origo er alltid 3, så partikkelen beveger seg på en sirkel med radius 3.

b) Posisjonene:

Ved $t = 0$: $\vec{r}(0) = [3\cos 0, 3\sin 0] = [3, 0]$

Ved $\displaystyle t = \frac{\pi}{2}$: $\displaystyle \vec{r}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left[3\cos \frac{\pi}{2}, 3\sin \frac{\pi}{2}\right] = [0, 3]$

Ved $t = \pi$: $\vec{r}(\pi) = [3\cos \pi, 3\sin \pi] = [-3, 0]$

Partikkelen starter i $(3, 0)$ og beveger seg mot klokken rundt sirkelen.

Svar: a) $|\vec{r}(t)| = 3$ for alle $t$, så banen er sirkelen med radius 3. b) $(3, 0)$, $(0, 3)$ og $(-3, 0)$

Vi deriverer komponent for komponent:

$$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [\frac{d}{dt}(2t + 1), \frac{d}{dt}(3t - 2)]$$
$$= [2, 3]$$

Hastighetsvektoren er konstant: $\vec{v}(t) = [2, 3]$.

Dette bekrefter at objektet har konstant hastighet - det beveger seg med 2 m/s i $x$-retning og 3 m/s i $y$-retning.

Svar: $\vec{v}(t) = [2, 3]$

a) Vi deriverer:

$$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [\frac{d}{dt}(3\cos t), \frac{d}{dt}(3\sin t)]$$
$$= [-3\sin t, 3\cos t]$$

b) To vektorer står vinkelrett på hverandre hvis skalarproduktet er null:

$$\vec{r}(t) \cdot \vec{v}(t) = [3\cos t, 3\sin t] \cdot [-3\sin t, 3\cos t]$$
$$= 3\cos t \cdot (-3\sin t) + 3\sin t \cdot 3\cos t$$
$$= -9\cos t \sin t + 9\sin t \cos t$$
$$= 0$$

Skalarproduktet er alltid null, så $\vec{v}(t) \perp \vec{r}(t)$ for alle $t$.

Dette gir fysisk mening: ved sirkelbevegelse peker hastigheten langs tangenten, som er vinkelrett på radiusvektoren.

a) Hastighetsvektoren:
$$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [2t, 2]$$

b) Farten:
$$\begin{aligned} v(t) &= |\vec{v}(t)| \\ &= \sqrt{(2t)^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{4t^2 + 4} \\ &= 2\sqrt{t^2 + 1} \end{aligned}$$

c) Ved $t = 2$:
$$v(2) = 2\sqrt{2^2 + 1} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 \text{ m/s}$$

Svar: a) $\vec{v}(t) = [2t, 2]$ b) $v(t) = 2\sqrt{t^2 + 1}$ c) $v(2) = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47$ m/s

Fra Eksempel 4 har vi hastighetsvektoren:
$$\vec{v}(t) = [-3\sin t, 3\cos t]$$

Farten blir:
$$v(t) = |\vec{v}(t)| = \sqrt{(-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2}$$
$$= \sqrt{9\sin^2 t + 9\cos^2 t}$$
$$= \sqrt{9(\sin^2 t + \cos^2 t)}$$
$$= \sqrt{9} = 3$$

Farten er konstant lik 3 m/s for alle $t$.

Dette er karakteristisk for uniform sirkelbevegelse: farten er konstant selv om hastigheten (retningen) endrer seg kontinuerlig.

a) Vi deriverer hastighetsvektoren $\vec{v}(t) = [-3\sin t, 3\cos t]$:

$$\vec{a}(t) = \vec{v}'(t) = [-3\cos t, -3\sin t]$$

b) Vi ser at:
$$\begin{aligned} \vec{a}(t) &= [-3\cos t, -3\sin t] \\ &= -[3\cos t, 3\sin t] \\ &= -\vec{r}(t) \end{aligned}$$

Akselerasjonen peker i motsatt retning av posisjonsvektoren, altså mot origo (sentrum av sirkelen).

Dette kalles sentripetalakselerasjon - akselerasjonen som holder objektet i sirkelbanen.

c) Størrelsen:
$$|\vec{a}(t)| = |-\vec{r}(t)| = |\vec{r}(t)| = 3$$

Akselerasjonen har konstant størrelse 3 m/s$^2$.

a) Hastigheten:
$$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [3t^2 - 3, 2t]$$

Akselerasjonen:
$$\vec{a}(t) = \vec{v}'(t) = [6t, 2]$$

b) Ved $t = 1$:
$$\vec{a}(1) = [6 \cdot 1, 2] = [6, 2]$$

Størrelsen: $|\vec{a}(1)| = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ m/s$^2$.

c) Akselerasjonen er null når $\vec{a}(t) = [0, 0]$:
- $6t = 0 \Rightarrow t = 0$
- $2 = 0$ (umulig)

Det finnes ingen $t$ der begge komponentene er null. Akselerasjonen er aldri null fordi $y$-komponenten alltid er 2.

Svar: a) $\vec{v}(t) = [3t^2 - 3, 2t]$ og $\vec{a}(t) = [6t, 2]$ b) $\vec{a}(1) = [6, 2]$, $|\vec{a}(1)| = 2\sqrt{10}$ m/s$^2$ c) Aldri, fordi $y$-komponenten alltid er 2.

Vi har $v_0 = 20$ m/s, $\alpha = 30°$, $g = 10$ m/s$^2$.

Først beregner vi:
- $\displaystyle \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$
- $\displaystyle \sin 30° = \frac{1}{2} = 0{,}5$

a) Posisjonsvektoren:
$$\vec{r}(t) = [20t \cdot \cos 30°, 20t \cdot \sin 30° - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2]$$
$$= [20t \cdot 0{,}866, 20t \cdot 0{,}5 - 5t^2]$$
$$= [17{,}32t, 10t - 5t^2]$$

b) Maksimal høyde nås når $v_y(t) = 0$:
$$v_y(t) = 20 \sin 30° - 10t = 10 - 10t = 0$$
$$t = 1 \text{ s}$$

Maksimal høyde:
$$y(1) = 10 \cdot 1 - 5 \cdot 1^2 = 10 - 5 = 5 \text{ m}$$

c) Ballen lander når $y(t) = 0$:
$$10t - 5t^2 = 0$$
$$5t(2 - t) = 0$$
$$t = 0 \text{ eller } t = 2 \text{ s}$$

Ved $t = 2$ s:
$$x(2) = 17{,}32 \cdot 2 = 34{,}64 \text{ m}$$

Svar: a) $\vec{r}(t) = [17{,}32t,\ 10t - 5t^2]$ b) 5 m c) Skuddlengden er ca. $34{,}6$ m.

Horisontalt kast betyr $\alpha = 0°$, så $\cos 0° = 1$ og $\sin 0° = 0$.

a) Posisjonsvektoren:
$$\vec{r}(t) = [15t, 0 - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2] = [15t, -5t^2]$$

(Negativ $y$ betyr nedover fra startpunktet.)

b) Ballen lander når $y = -80$:
$$-5t^2 = -80$$
$$t^2 = 16$$
$$t = 4 \text{ s}$$

c) Horisontal avstand:
$$x(4) = 15 \cdot 4 = 60 \text{ m}$$

d) Hastigheten ved landing:
$$\vec{v}(t) = [15, -10t]$$
$$\vec{v}(4) = [15, -40]$$

Farten:
$$\begin{aligned} v(4) &= |\vec{v}(4)| \\ &= \sqrt{15^2 + (-40)^2} \\ &= \sqrt{225 + 1600} \\ &= \sqrt{1825} \\ &\approx 42{,}7 \text{ m/s} \end{aligned}$$

Svar: b) $4$ s c) $60$ m d) $\sqrt{1825} \approx 42{,}7$ m/s

a) Vinkelhastigheten:

Én omdreining er $2\pi$ radianer på 8 sekunder:
$$\omega = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \text{ rad/s}$$

b) Posisjonsvektoren med $r = 4$:
$$\vec{r}(t) = \left[4\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right), 4\sin\left(\frac{\pi t}{4}\right)\right]$$

c) Farten:
$$v = r\omega = 4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi \approx 3{,}14 \text{ m/s}$$

d) Sentripetalakselerasjonen:
$$|\vec{a}| = r\omega^2 = 4 \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 = 4 \cdot \frac{\pi^2}{16} = \frac{\pi^2}{4} \approx 2{,}47 \text{ m/s}^2$$

Alternativt: $\displaystyle |\vec{a}| = \frac{v^2}{r} = \frac{\pi^2}{4}$ m/s$^2$.

Svar: a) $\displaystyle \omega = \frac{\pi}{4}$ rad/s b) $\displaystyle \vec{r}(t) = \left[4\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right), 4\sin\left(\frac{\pi t}{4}\right)\right]$ c) $\pi \approx 3{,}14$ m/s d) $\displaystyle \frac{\pi^2}{4} \approx 2{,}47$ m/s$^2$

Gjør om til SI-enheter:
- $r = 7000 \text{ km} = 7{,}0 \cdot 10^6$ m
- $T = 90 \text{ min} = 5400$ s

a) Vinkelhastigheten:
$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{5400} \approx 1{,}16 \cdot 10^{-3} \text{ rad/s}$$

b) Farten:
$$\begin{aligned} v &= r\omega \\ &= 7{,}0 \cdot 10^6 \cdot \frac{2\pi}{5400} \\ &\approx 8145 \text{ m/s} \\ &\approx 8{,}1 \text{ km/s} \end{aligned}$$

c) Akselerasjonen:
$$|\vec{a}| = \frac{v^2}{r} = \frac{8145^2}{7{,}0 \cdot 10^6} \approx 9{,}5 \text{ m/s}^2$$

Akselerasjonen er nesten like stor som tyngdeakselerasjonen ved jordoverflaten, $g \approx 9{,}8$ m/s$^2$.

Svar: a) $\omega \approx 1{,}16 \cdot 10^{-3}$ rad/s b) ca. 8,1 km/s c) ca. $9{,}5$ m/s$^2$

a) Avstanden fra origo er $|\vec{r}(t)| = \sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin^2 t} = |t|$.

For $t > 0$ øker avstanden lineært med tiden mens partikkelen roterer rundt origo. Dette er en archimedisk spiral som utvider seg utover.

b) Hastighetsvektoren (produktregelen):
$$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [\cos t - t\sin t, \sin t + t\cos t]$$

c) Farten:
$$v(t) = |\vec{v}(t)| = \sqrt{(\cos t - t\sin t)^2 + (\sin t + t\cos t)^2}$$

Utvider vi og forenkler:
$$= \sqrt{\begin{aligned}&\cos^2 t - 2t\cos t\sin t + t^2\sin^2 t \\ &\quad {} + \sin^2 t + 2t\sin t\cos t + t^2\cos^2 t\end{aligned}}$$
$$= \sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t + t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}$$
$$= \sqrt{1 + t^2}$$

Farten øker med tiden: $v(t) = \sqrt{1 + t^2}$.

Svar: a) En spiral som starter i origo og vikler seg utover. b) $\vec{v}(t) = [\cos t - t\sin t,\ \sin t + t\cos t]$ c) $v(t) = \sqrt{1 + t^2}$

Finn hastigheten ved integrasjon

$$\vec{v}(t) = \int \vec{a}(t) \, dt = \int [2, 6t] \, dt = [2t + C_1, 3t^2 + C_2]$$

Bruker initialbetingelsen $\vec{v}(0) = [1, 0]$:
$$[C_1, C_2] = [1, 0]$$

Altså: $\vec{v}(t) = [2t + 1, 3t^2]$

Finn posisjonen ved integrasjon

$$\begin{aligned} \vec{r}(t) &= \int \vec{v}(t) \, dt \\ &= \int [2t + 1, 3t^2] \, dt \\ &= [t^2 + t + D_1, t^3 + D_2] \end{aligned}$$

Bruker initialbetingelsen $\vec{r}(0) = [0, 0]$:
$$[D_1, D_2] = [0, 0]$$

Svar:
$$\vec{r}(t) = [t^2 + t, t^3]$$

Horisontal komponent: $a_x = -0{,}1v_x$
- Negativ akselerasjon proporsjonal med $v_x$
- Dette representerer luftmotstand som bremser horisontal bevegelse
- Jo raskere objektet går, desto større er motstanden

Vertikal komponent: $a_y = -10 - 0{,}1v_y$
- Leddet $-10$ er tyngdeakselerasjonen (ned)
- Leddet $-0{,}1v_y$ er vertikal luftmotstand
- Når objektet går oppover ($v_y > 0$): både tyngdekraft og luftmotstand virker nedover
- Når objektet faller ($v_y < 0$): tyngdekraften virker ned, men luftmotstanden virker oppover (bremser fallet)

Konsekvenser:
- Objektet når ikke så høyt som uten luftmotstand
- Rekkevidden blir kortere
- Objektet når til slutt en terminal hastighet der luftmotstanden balanserer tyngdekraften

a) Hastigheten:
$$\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [1 - \cos t, \sin t]$$

Akselerasjonen:
$$\vec{a}(t) = \vec{v}'(t) = [\sin t, \cos t]$$

b) Farten:
$$v(t) = |\vec{v}(t)| = \sqrt{(1 - \cos t)^2 + \sin^2 t}$$

Utvider:
$$= \sqrt{1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t}$$
$$= \sqrt{1 - 2\cos t + 1}$$
$$= \sqrt{2 - 2\cos t}$$
$$= \sqrt{2(1 - \cos t)}$$

Bruker identiteten $\displaystyle 1 - \cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$:
$$= \sqrt{4\sin^2\frac{t}{2}} = 2\left|\sin\frac{t}{2}\right|$$

c) Farten er null når $\displaystyle \sin\frac{t}{2} = 0$:
$$\frac{t}{2} = n\pi, \quad n = 0, 1, 2, ...$$
$$t = 0, 2\pi, 4\pi, ...$$

Dette er tidspunktene der punktet på hjulet er i kontakt med bakken. Da står punktet stille et øyeblikk.

Svar: a) $\vec{v}(t) = [1 - \cos t, \sin t]$ og $\vec{a}(t) = [\sin t, \cos t]$ b) $\displaystyle v(t) = 2\left|\sin\frac{t}{2}\right|$ c) $t = 0, 2\pi, 4\pi, \ldots$

$$z(10) = \frac{1}{4} \cdot 10 = 2{,}5$$

Svar: Bilen er $2{,}5$ m over bakkenivå.

b) Én runde er fullført når $\displaystyle \frac{\pi}{8}t = 2\pi$:

$$t = 16$$

$$z(16) - z(0) = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$$

Svar: Avstanden mellom etasjene er $4$ m.

c)

$$\vec{v}(t) = \left[-\frac{3\pi}{4}\sin\left(\frac{\pi}{8}t\right),\ \frac{3\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{8}t\right),\ \frac{1}{4}\right]$$

$$\begin{aligned} |\vec{v}(t)| &= \sqrt{\frac{9\pi^2}{16}\left(\sin^2\left(\frac{\pi}{8}t\right) + \cos^2\left(\frac{\pi}{8}t\right)\right) + \frac{1}{16}} \\ &= \frac{\sqrt{9\pi^2 + 1}}{4} \end{aligned}$$

Svar: Farten er konstant lik $\displaystyle \frac{\sqrt{9\pi^2 + 1}}{4} \approx 2{,}37$ m/s.

$$4s = 6 + 2t, \qquad 2s = 3t - 11, \qquad 30 - 2s = 20$$

Tredje likning gir $s = 5$. Første likning gir da $20 = 6 + 2t$, så $t = 7$.

Kontroll i andre likning: $2 \cdot 5 = 10$ og $3 \cdot 7 - 11 = 10$.

Banene krysser hverandre i $\vec{r}_1(5) = [20, 10, 20]$, altså punktet $(20, 10, 20)$. Dronen er der etter $5$ s og fuglen etter $7$ s.

Svar: Banene krysser hverandre i $(20, 10, 20)$, men dronen og fuglen treffer ikke hverandre, fordi de er i punktet ved ulike tidspunkter.

b)

$$\vec{r}_1(t) - \vec{r}_2(t) = [2t - 6,\ 11 - t,\ 10 - 2t]$$

$$\begin{aligned} d(t)^2 &= (2t - 6)^2 + (11 - t)^2 + (10 - 2t)^2 \\ &= 9t^2 - 86t + 257 \end{aligned}$$

$$\left(d(t)^2\right)' = 18t - 86 = 0$$

$$t = \frac{43}{9} \approx 4{,}78$$

$$\begin{aligned} d\left(\frac{43}{9}\right) &= \sqrt{9 \cdot \left(\frac{43}{9}\right)^2 - 86 \cdot \frac{43}{9} + 257} \\ &= \sqrt{\frac{464}{9}} \\ &= \frac{4\sqrt{29}}{3} \end{aligned}$$

Svar: Den minste avstanden er $\displaystyle \frac{4\sqrt{29}}{3} \approx 7{,}18$ m, etter ca. $4{,}78$ s.